在過去的一個半世紀裡， 無數數學家從各種角度為探索Riemann猜想（黎曼猜想）付出了艱辛的努力， 但可惜的是， 直到今天它仍是一個未被證明 (或否證) 的猜想， 對這一猜想的探索迄今仍是不斷延伸著的未竟的征途。
無與倫比的黎曼猜想
在數學領域中， 超過一個半世紀未能解決的猜想當然不止 Riemann 猜想一個， 比如著名的 Fermat 猜想 (即如今的 “Fermat 大定理”) 自提出後隔了超過三個半世紀才被解決； 迄今尚未被證明 (或否證) 的哥德巴赫猜想 (Goldbach conjecture) 也已存在了兩個半世紀以上， Riemann 猜想的歷史與它們相比還差得很遠。
但在所有高難度的數學猜想中， 若以它們跟其它數學命題之間的關係， 乃至與物理學那樣的自然科學領域之間的關係 (這些關係在很大程度上決定了一個數學猜想的重要性) 而論， Riemann 猜想可以說是無與倫比的。
與 Fermat 猜想或 Goldbach 猜想那種連中學生都能看懂題意的數學猜想不同， 理解 Riemann 猜想是有一定 “門檻” 的， 因為僅僅理解其表述就需要有一些複分析方面的知識。
由於這一特點， 這一遠比 Fermat 猜想和 Goldbach 猜想更重要的數學猜想的公眾知名度要遠遠低於後兩者， 也較少受到民科們的青睞——當然也絕非沒有， 但起碼是不曾有任何機構收到過數以麻袋計的來信， 聲稱自己證明 (或否證) 了 Riemann 猜想 (Fermat 猜想和 Goldbach 猜想都曾引發過此等 “盛舉”)。 不過， 儘管 “雜音” 相對較少， 但在 Riemann 猜想那樣艱深的數學猜想面前， 無論多麼精英的群體也難免會搞出意外事件來。
我們在第六節中曾經介紹過一次那樣的事件， 即荷蘭數學家 Stieltjes 聲稱自己證明了一個比 Riemann 猜想更強的命題， 但後來卻一直沒有發表完整的 “證明”， 最終不了了之。 在最近這十幾年裡， 也出現過兩次值得一提的事件。 在結束我們的漫談之前， 我們先來聊聊這兩次事件。
愚人節的“Connes 事件”
這兩次事件中的第一次始於二十世紀九十年代， 核心人物是法國數學家 Alain Connes (1947-)。 Connes 是一位極有聲望的數學家， 曾獲得過 1982 年的 Fields 獎， 並且是非對易幾何 (noncommutative geometry) 的主要奠基者。 二十世紀九十年代中期時， 他開始研究 Riemann 猜想。
（Alain Connes）
對於小道消息相對匱乏的數學界來說， 這樣一位著名人物開始研究 Riemann 猜想自然是非同小可的消息。 因此早在 Connes 正式發表這方面的文章之前， 有關他正在研究 Riemann 猜想的小道消息就在圈內不脛而走， 並引起了很多人的興趣。 撲滅小道消息的最好手段無疑是用 “官方消息” 取而代之。 1997 年早春， 這樣的 “官方消息” 正式出爐了： Connes 決定到普林斯頓高等研究院， 向包括 Selberg 在內的 Riemann 猜想研究領域的若干巨頭報告自己的工作思路。
Connes 的思路確實頗有來頭： 既繼承了自二十世紀七十年代之後頗受矚目的 Hilbert-Pólya 猜想 的路子， 也借鑑了 Weil 和 Grothendieck 等人在研究 “山寨版” Riemann 猜想的過程中發展起來的代數幾何方法， 甚至還用上了他自己參與開創的 “看家本領”： 非對易幾何。 這幾條路子每一條都很能吸引眼球， Connes 居然將它們融會貫通到自己的研究之中， 確實不簡單， 也確實對得起 “觀眾” 們的熱情。
但來到普林斯頓高等研究院聽報告的那幾位巨頭卻並不是看熱鬧的人， 那些令常人眼花繚亂的東西， 在他們銳利思維的解剖下， 被一一還原為冰冷的邏輯， 並且顯出了漏洞， 那就是 Connes 所報告的方法存在一個 “先天” 不足， 它
無法發現不在臨界線上的非平凡零點！這個漏洞是很嚴重的， 因為 Connes 的方法如果無法發現不在臨界線上的非平凡零點， 那它就會營造出一個錯覺， 讓人誤以為所有的非平凡零點全都在臨界線上。 這就好比有一批不是藍色就是紅色的小球， 你若戴上一副只能看見其中一種顏色的濾光鏡去看它們， 就有可能誤以為所有小球都是那種顏色的。
（普林斯頓高等研究院。圖片來自網絡）
因此， 普林斯頓高等研究院的那幾位巨頭在 Connes 的報告之後所給出的最正面的表示也只是審慎的鼓勵， 即認為 Connes 確實取得了一些進展， 但與 Riemann 猜想的證明仍有相當距離。
這一事件原本就到此為止了，沒想到後來卻鬧出了一點新的意外。 Connes 的普林斯頓演講之後不久恰好是西方社會一個最有趣的節日： “愚人節”。 很多人在這一天 (4月1日) 的習慣是互相開玩笑， 試圖對別人 (通常是朋友) 進行善意的愚弄， 出席過 Connes 報告的巨頭之一、 1974 年 Fields 獎得主 Bombieri也不例外， 他給一位朋友發去了一封 “愚人節” 郵件， 宣稱有位年輕的物理學家受 Connes 報告的啟發， 終於完成了 Riemann 猜想的證明！
由於當時數學界很多人正四處打探和傳播著有關 Connes 工作的消息 (尤其是與 Connes 的普林斯頓報告有關的消息)， Bombieri 這權威之人發自權威之地的消息一出， 收到郵件的數學家朋友當場就中了招， 信以為真地把它傳了出去。 這消息傳得很快， 甚至連已從普林斯頓回到法國的 Connes 本人都很快就知道了， 讓他頗為不快。
當然， 有道是 “謠言止於智者”， 一個 “愚人節” 玩笑在智者雲集的數學家群體中是不會惹出太大動靜的， 不久之後有關 Connes 報告導致 Riemann 猜想被證明的消息就平息了下去。 但這個誤傳的消息似乎將數學家們對 Connes 的興趣透了支， 以至於後來無論是 Connes 1999 年正式發表的論文， 還是他在同一方向上的進一步研究， 都沒有再引起當初那樣的關注。 不過 Connes 本人對此看得很開， 他曾經表示：
對我來說， 數學一直是一所教人謙虛的最好學校。 數學之所以有價值， 主要就是因為那些極其困難的問題， 它們就像數學的喜瑪拉雅山。 登頂是極其困難的， 甚至必須為之付出代價， 但千真萬確的是， 如果我們能登頂， 那裡的風景將是奇妙的。
對於那 “必須為之付出” 的代價， 他在 2000 年發表的一篇文章的開頭曾經作過這樣的表述：“按我第一位老師 Gustave Choquet 的說法， 公開面對一個著名的未解決問題是一種冒險， 因為別人將更多地記住你的失敗而不是其它。”儘管如此，Connes 仍選擇了冒險攀登數學的喜瑪拉雅山， 因為：“在到達某個年齡之後， 我意識到‘安全地’等待自己生命的終點同樣是一種讓自己失敗的選擇。”
有關 Connes 的事件大體就是如此， 他目前仍在攀登， 雖然已不再是鎂光燈下的焦點， 我們仍衷心祝願他取得進展。
Louis de Branges 的“狼來了”
在 Connes 的事件之後又過了幾年， 2004 年， 另一個事件發生了： 美國 Purdue 大學的數學教授 Louis de Branges (1932-) 在互聯網上張貼了一篇長達 124 頁的論文， 宣稱自己證明了 Riemann 猜想！ 由於在此前的 2000 年 5 月， 美國 Clay 數學研究所 (Clay Mathematics Institute) 已經為七個所謂的 “千禧年問題” (Millennium Problems) 設立了每個一百萬美元的鉅額獎勵， 而 Riemann 猜想乃是其中排名第四的問題。 因此 de Branges 的宣稱立刻引起了一些媒體的關注。
（de Branges。圖片來自網絡）
但數學界對此事的反應卻相當冷淡。
為什麼呢？ 這還得從 de Branges 是一位怎樣的數學家說起， 簡單地講， de Branges 堪稱是一位史上最離群的數學家。 數學界離群的人物為數並不少， 但其他數學家再怎麼離群， 至多是在人際關係上離群， de Branges 卻連數學工具也是離群的， 他是一個幾乎只用自創的數學工具進行研究的傢伙， 而他自創的數學工具除了他本人和為數有限的幾位學生外， 幾乎無人通曉。
這種超乎尋常的離群性大大孤立了 de Branges， 他在數學界的人緣連他自己也不得不承認是很慘的。 更糟糕的是 (其實這才是重點)， 他還是一個工作很粗心的傢伙， 甚至頗有民科氣質， 經常宣稱自己證明了重大數學猜想， 其中包括對證明 Riemann 猜想的多次錯誤宣稱， 只不過在 “千禧年問題” 出爐之前媒體不太關注而已。
當然， de Branges 如果真是一個民科， 事情倒簡單了， 我們也就不會在這裡談論他了。 此人的惱人之處就在於他雖然很有民科氣質， 卻也真刀真槍地作出過一次正確的宣稱， 而且所解決的還是一個有著幾十年歷史的著名猜想： Bieberbach 猜想 (Bieberbach conjecture)——那猜想如今已被稱為了 de Branges 定理 (de Branges's theorem)。
照說有過此等業績、 甚至有數學定理以其名字命名的數學家是不該受到如此冷遇的。 而且 de Branges 當年對 Bieberbach 猜想的證明本身也是在有過幾次錯誤宣稱之後， 才得到公認的。 這似乎在從歷史角度啟示人們應該對他有關 Riemann 猜想的證明給予一點關注 (或同情？)。 可惜的是， de Branges 在犯錯方面的名聲實在太狼藉了， 以至於就連對 Bieberbach 猜想的證明也不夠份量來抵消了。 比如 Selberg 就毫不客氣地嘲笑說 de Branges 曾經犯過所有類型的錯誤， 他對 Bieberbach 猜想的證明只不過說明他還犯下了 “做對了” 的錯誤 (made the mistake of being right)。
de Branges 的 “證明” 受到數學界的冷遇還有兩個重要原因： 其中一個就是我們前面所說的， 他幾乎只用自創的數學工具進行研究， 而那工具除他本人和幾位學生外， 幾乎無人通曉。 這給人們檢驗他的工作造成了巨大困難。 當年他對 Bieberbach 猜想的證明之所以被接受， 乃是幾位蘇聯數學家花費了幾個月的時間研讀他的證明， 並對之進行簡化的結果。 而此次有關 Riemann 猜想的文章比當年的證明還要複雜得多， 他的名聲卻比那時更差了， 願意花時間去研讀他文章的人自然就更少了。 而且要命的是， 他的論文還引用了過去幾十年他所撰寫的其它一些無人問津的論文， 從而對讀者來說更是 “不可承受之重”。
另一個也許更致命的原因則是， 雖然 de Branges 的 “證明” 受到了數學界的冷遇， 但畢竟還是有個別數學家對他的論文進行了粗略光顧。 不幸的是， 光顧的結果卻是發現了缺陷， 從而進一步坐實了他的惡劣名聲。
另外還有人注意到他的論文中有一些 “前言不搭後語” 的東西， 比如序言裡反覆提到量子力學， 正文中卻完全沒有呼應； 文獻中列舉了 Hermann Weyl 的一部著作， 正文中也根本沒有引用， 這一切都讓人深切地感覺到 Riemann 猜想被這位已年過七旬的老人所證明實在是不太可能的事情。
也許是因為缺陷遭到曝光的緣故， de Branges 後來撤掉了最初版本的論文， 但他並未就此認栽。 他的論文幾經修改後， 口氣反而越改越大， 目前所宣稱的結果甚至比我們在 上節 中介紹過的 “豪華版” Riemann 猜想之一的廣義 Riemann 猜想還略強一些。 可惜他這第 N+1 次的 “狼來了” 故事是真的再也無人問津了， 更沒有學術刊物願意發表。
這就是有關 de Branges 的事件。 除 de Branges 外， 還有一些其他人也宣稱過自己 “證明” 或 “否證” 了 Riemann 猜想， 他們的論文往往只有寥寥幾頁或十幾頁， 引起的反響則基本是零， 就按下不表了。
黎曼定理證明的“祝福”與“詛咒”
接下來我們再聊點趣話。 讀者們也許還記得， 在一百多年前的十九世紀末， 法國數學家 Hadamard 和比利時數學家 Vallée-Poussin 取得了自 Riemann 提出猜想三十多年以來的第一個實質性進展， 即將非平凡零點的分佈範圍由 0≤Re(s)≤1 縮小到了 0 當然， 這個傳說看來是沒有關懷到另一些也取得過一點點 (有的甚至還不止一點點) 進展的數學家， 他們可就沒那麼好命了， 比如證明了 Bohr-Landau 定理 (參閱 第二十二節) 的 Bohr 和 Landau 就分別只活了 63 歲和 61 歲。 比上述傳說更厲害 (或更歹毒) 的傳說則是 Odlyzko (我們在 第十六節 中介紹過此人) 提出的， 是一個與上述傳說恰好 “互補” 的說法， 即誰要是否證了 Riemann 猜想， 他就會立刻死去！ Odlyzko 甚至開玩笑說其實 Riemann 猜想已經被否證了， 只不過那個否證了 Riemann 猜想的倒黴蛋沒來得及發表文章就死去了。 這些傳說當然只能為我們的漫談增添點趣話， 不過， 證明或否證 Riemann 猜想的人會 “不朽” 或 “速死” 雖是無稽之談， Riemann 猜想的極度艱深倒確實有可能對數學家的健康產生影響。 事實上， 數學界的確有人認為 Riemann 猜想的極度艱深有可能對幾位數學家的精神異常起到過一定作用 (不過證據都不是很強)。 這方面比較著名的例子有兩個： 一個是廣為流傳的傳記作品《美麗心靈》(A Beautiful Mind) 的主角、 美國數學家 John Nash (1928-2015)。 二十世紀五十年代後期， 這位已在博弈論 (game theory) 等領域做出過重要工作的數學家對 Riemann 猜想產生了興趣。 不久之後， 他開始宣稱自己找到了 Riemann 猜想的證明。 （John Nash。圖片來自網絡） 而數學界此時流傳的卻是一些有關他罹患精神分裂症 (schizophrenia) 的消息。 這消息很快得到了證實： 1959 年， Nash 在 Columbia 大學作了一次演講。 那次據說意在宣佈 Riemann 猜想證明的演講實際上成為了公開展示 Nash 精神分裂症的場合， 他的演講幾乎達到了語無倫次的程度， 到場聽講的數學家們只有用平時很少使用 (對著名同事更是幾乎從不使用) 的詞彙——比如 “災難性的”、 “完全是胡扯” 等等——才能形容那次演講的糟糕。 Nash 罹患精神分裂症的原因， 一般認為是參與軍方工作所引致的心理壓力， 但發病前的那段時間與他研究 Riemann 猜想恰好重疊， 使得有些人認為 Riemann 猜想對他的病症發展有可能起到過推波助瀾的作用。 另一個例子的主角是我們曾提到過的、 曾經為證明 “山寨版” Riemann 猜想 (即 Weil 猜想的一部分) 作過重要鋪墊工作的 Grothendieck。 這位在代數幾何等諸多領域有著卓越貢獻的數學家也有人猜測可能是因為研究 Riemann 猜想的緣故， 使得精神出現異常， 自上世紀七十年代開始就基本退出了學術界， 後來發展到 “離家出走”， 幾乎從世界上消失了。 人們猜測他目前住在法國南部。 （Grothendieck。圖片來自網絡） 關於他在做什麼， 則眾說紛紜， 有人說他正在研究一種新的經濟學， 有人說他在牧羊， 而據個別自稱與他仍有過交往的數學家說， 他已沉溺於對惡魔 (devil) 的想象不能自拔， 比如他相信是惡魔把本應該是 300,000 千米/秒 的數值優美的光速變成了很難看的 299,887 千米/秒 (細心的讀者也許注意到了， 這個數值本身就是錯的， 實際數值應為 299,792.458 千米/秒， 不知是 Grothendieck 記錯了還是數學家傳錯了)。 Grothendieck 失蹤十幾年後， 很多人都已搞不清他是否還健在， 他卻忽然於 2010 年 1 月給自己以前的學生、 法國數學家 Luc Illusie (1940-) 寫了封親筆信， 宣佈自他 “消失” 後所出版或再版的他的一切文字都是未經許可的， 那些文字不得再版， 已收錄了那些文字的圖書館也必須將之撤除。 他的這一信件被公佈後， 一些提供那些文字的網站已對有關內容作了撤除。 這個要求對數學界是一件不幸的事情， 因為他的很多文字， 比如著名的《代數幾何基礎》(Éléments de géométrie algébrique——簡稱 EGA) 和代數幾何討論班資料 (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie——簡稱 SGA)， 都早已是極重要的資料， 如果不能再版或不能被圖書館收錄的話， 後人將會越來越難看到它們。 黎曼猜想的證明與否證 寫了這麼多有關 Riemann 猜想的故事， 介紹了這麼多有關 Riemann 猜想的進展， 有一個問題似乎不能不提一下——而且那想必也是讀者們感興趣的問題， 那就是 Riemann 猜想將會被證明是正確的呢， 還是會被證明為錯誤 (即否證)？ 可惜的是， 這個有關 Riemann 猜想 “前途命運” 的問題是一個誰都能提出， 卻沒有人能夠回答的問題， 數學家們對此也各有各的傾向而毫無共識。 有些數學家堅信 Riemann 猜想是正確的， 比如我們在第十四節中提到過的那位輸掉了葡萄酒的 Zagier。 Zagier 相信 Riemann 猜想的理由很 “純樸”， 那就是認為數值證據已經足夠強大了——讀者們想必還記得， 他是因為有人驗證了 Riemann ζ 函數前三億零七百萬個零點都在臨界線上而輸掉葡萄酒的。 這個紀錄如今早已被打破， 我們在附錄二中介紹過， 二零零四年十月， 法國人 Gourdon 與 Demichel 已經驗證了 Riemann ζ 函數前十萬億 (1013) 個零點都在臨界線上。 不僅如此， 我們在第十六節中還介紹過， Odlyzko 曾經驗證過第 1022 和 1023 個零點附近的幾百億個零點也全都在臨界線上。這些證據都遠遠強於使 Zagier 滿意的證據。 可見支持 Riemann 成立的數值證據確實很強大。 但可惜的是， 所有這些證據加在一起， 也無法成為讓所有人信服 Riemann 猜想的可靠理由。 其原因不僅在於從邏輯上講再多的數值證據對於一個包含無窮多個例的猜想來說都是微不足道的， 而且也因為在數學上我們已經遇到過這樣的例子， 即一個數學命題的反例出現在比上述所有數值證據都強得多的證據之外。 那例子就是我們在第三節的註釋中提到過的、 被 Littlewood 所否證了的關於 Li(x)-π(x)>0 的猜測。 對於迄今所有被驗證過的情形， Li(x)-π(x)>0 都成立， 但 Littlewood 卻運用分析的力量， 不僅證明它不成立， 而且證明了它會被違反無窮多次！ 那麼所有驗證過的情形說明什麼呢？ 說明雖然有無窮多個 x 違反 Li(x)-π(x)>0， 但其中哪怕最小的 x 也大得異乎尋常。 事實上， 我們直到今天也不知道這個最小的 x 究竟有多大， 目前對它的估計約為 10的 
與這個數字相比，我們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的數值驗證簡直差得太遠了。 假如 Riemann 猜想的反例也出現在那樣的地方 (即比如出現在第 10316 個零點的附近)， 那我們再算上幾輩子也未必能碰到數值反例。 因此， 有關 Riemann 猜想的數值證據雖然不容忽視， 說服力卻是很有限的。
當然，除了數值證據外，我們還有許多有關 Riemann 猜想的解析證據，比如第二十八節中提到的 Conrey 所證明的 2/5 的非平凡零點在臨界線上。 可惜這也遠遠不夠 (連一半都不到嘛)。 支持 Riemann 猜想的其它理由還包括了一些在假定 Riemann 猜想成立的基礎上被證明過的數學命題後來被發現不假定 Riemann 猜想的成立也能被證明， 這表明 Riemann 猜想與那些命題、 或者說與數學的其它部分有很好的相容性。 此外， 我們在 第三十三節 中介紹過的 “山寨版” Riemann 猜想的成立也被認為是支持 Riemann 猜想的一條很強的理由。
不過， 相信 Riemann 猜想的數學家們各有各的理由， 不相信 Riemann 猜想的數學家們則只要一條理由就夠了， 那就是： 所有支持 Riemann 猜想的理由都不是證明。 在數學上， 這是一條打不倒的理由。
而且，要想證明 Riemann 猜想成立， 必須“一個都不能少” 地涵蓋所有的非平凡零點； 而要想推翻它， 卻只要找到一個反例就夠了， 這種繁簡程度上的不對稱性也是大大有利於不相信黎曼猜想的數學家們的。
當然，個別數學家還有自己更獨特的理由， 比如我們在第九節中提到的那位曾在 Riemann 猜想研究上作出過重大成就， 後來卻表示 “假如我們能夠堅定地相信這個猜想是錯誤的，日子會過得更舒適些” 的 Littlewood 不相信 Riemann 猜想的理由是“一個長期不能解決的分析領域中的猜想通常會被發現是錯誤的， 一個長期不能解決的代數領域中的猜想則通常會被發現是正確的”。 由於 Riemann 猜想是一個 “長期不能解決的分析領域中的猜想”， 因此 Littlewood 認為它很可能是錯誤的。
Littlewood 沒有為自己的理由列舉具體的例子 (起碼我沒查到)， 不過我想他對 Li(x)-π(x)>0 這一猜想的否證也許是他心目中的例子之一。 但他這個理由其實也沒什麼說服力， 比如我們上面提到過的被 de Branges 所證明的 Bieberbach 猜想就是一個幾十年不能解決的分析領域中的猜想， 結果卻被證明是正確的 (當然， 那是 Littlewood 去世之後的事情了)。
除了上述這兩種非此即彼的態度外， 還有少數人由Riemann猜想的長期懸而未決聯想到了著名的 Gödel 不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorem)， 認為 Riemann 猜想有可能是一個在現有分析體系內不可判定——即既不能證明其成立也不能證明其不成立——的命題。 據說 Gödel 本人就有過這種看法。
不過， 對於像 Riemann 猜想那樣如果不成立就可以用明確的算法——即按虛部從小到大的順序對零點進行逐一驗證——來予以推翻的命題， 如果真有人能證明它是一個不能證明其不成立的命題 (有點拗口)， 實際上等於表明它是成立的——因為否則的話只要用那個算法， 原則上總可以驗證到使 Riemann 猜想不成立的第一個反例， 從而證明其不成立。 因此如果 Riemann 猜想真的不可判定， 那實際上是表明它成立。
在本系列的最後， 讓我們 “飲水思源”， 一同去看一眼 Riemann 的墓碑， 這位偉大的數學家只度過了 39 年 10 個月零 3 天的短暫人生， 就於 1866 年 7 月 20 日在意大利的一座湖畔小鎮去世了。 據他生前摯友 Dedekind 的描述， Riemann 直到去世前的那一天， 仍坐在一棵果樹下進行著數學探索， 當那最後的時刻到來時：
他沒有一絲的掙扎及臨終前的抽搐， 彷彿他是在饒有興致地觀看著靈魂與肉體的分離。 他妻子為他拿來了麵包和葡萄酒， 他讓她向家裡人代為致意， 並對她說： “親吻我們的孩子”。 她為他念誦禱文， 他自己已無法說話。 當她唸到 “赦免我們的罪過” 時， 他的眼光虔誠地望向天空。 她感到他的手在漸漸變冷， 在呼吸了幾次之後， 他那純潔而高貴的心臟停止了跳動。
Riemann 去世後一度被葬在當地一座教堂的墓地裡， 可惜那墓穴卻在後來的一次教堂地產的重組中遭到了損毀， 如今保留下來的只有一塊墓碑， 嵌在離原址不遠處的一堵牆上。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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