在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。——罗素
毕达哥拉斯学派发现无理数这一事实突出了使所有希腊数学家迫切想要解决的一个难点——离散与连续的关系。整数代表离散的对象，而一般地说，长度、面积、体积、时间和其它一些量是连续量，它们可以是有理数或者无理数。这个关系问题必将反映在对空间与时间的理解，进而产生有关有限与无限、运动与静止的不同思想。
当时人们对空间和时间有两种对立的观点：一种认为空间和时间无限可分，那样的话运动是连续而又平顺的——想想牛顿力学；另一种认为时间和空间是由不可分的小段组成的，那样的话运动将是一连串的小跳动——想想量子力学。
在自由而充满矛盾和斗争的思想交锋中，埃利亚学派的观点和芝诺提出的一系列悖论将问题推至极端尖锐的地步。在某种意义上，芝诺悖论可称为第二次数学危机的源头。
一、埃利亚学派简介
埃利亚（Elia）学派是古希腊最早的唯心主义哲学派别之一，因建立于南意大利半岛的埃利亚地区而得名。与毕达哥拉斯学派的存世时间大致相当，主张世界一元论，即世界的本源是一种抽象存在，因此是永恒的，静止的，而外在世界是不真实的。代表人物有色诺芬尼、巴门尼德、芝诺等。
色诺芬尼（Xenophenes，约公元前570年-前480年）古希腊哲学家、诗人、历史学家、社会和宗教评论家，埃利亚学派的创始人，常被视为第一个一神论（这个神和宗教中的神有本质区别，是非人格化的）哲学家。色诺芬尼首次提出并论证了“无限”与“有限”、“一”与“多”、“永恒”与“变易”、“静止”与“运动”、“存在”与“非存在”等十分重要的哲学范畴。
巴门尼德（Parmenides，约公元前515-前445年）埃利亚学派最重要的思想者，色诺芬尼八十多岁收的关门弟子，也接受了毕达哥拉斯数理学派的神秘主义思想。他创造了基于逻辑的形而上学，概括出了“存在”这一哲学范畴，并第一次提出了“思想与存在是同一的”命题。巴门尼德主张：真空不存在，运动不存在。
芝诺（Zeno，约公元前490年-前425年）出生在埃利亚的数学家、哲学家，巴门尼德的学生，也曾是毕达哥拉斯学派的弟子。被亚里士多德誉为辩证法（Dialectics）的发明人。相传芝诺因蓄谋反对埃利亚（另一说为叙拉古）的僭主，而被拘捕、拷打，直至处死。
芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段，想以此来克服因发现不可公约量而引起的矛盾，而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法，从而迫使其他数学家去寻找真正的原因所在。他“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难”，把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辨证的考察。
二、芝诺悖论
【注】悖论paradox：希腊文原意为有悖于正统、出乎定见之外。逻辑学术语，意指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。四个悖论的叙述均见于《亚里士多德全集》，卷Ⅱ，《物理篇》，卷Ⅵ，第239b页。
针对时间和空间连续无限可分的观点，芝诺分别考察了孤立物体的连续运动情况和两个物体的相对连续运动情况，提出两分法悖论和阿喀琉斯悖论。
1、两分法悖论（Dichotomy paradox）
对于孤立物体的连续运动情况，芝诺说“运动不存在，理由是运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”也就是说从A点到达B点（下图），必须先到达C；要到达C，必须先到达C......换言之，由于时间和空间是连续的，这一两分过程总可以无限地进行下去，于是该物体实际上都无法离开A点，因此孤立物体的连续运动是不可能的。
【注】《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但“日取其半”的速度是变化的，与两分法悖论并不能等同。
亚里士多德对此的驳斥：关于一个事物的无限性有无限可分或无限宽广两种意义。在有限时间内可以接触从可分意义上是无限的东西，因为从这意义上讲时间也是无限的；所以在有限时间内可以通过有限的长度。
2、阿喀琉斯悖论（Achilles paradox）
针对两个物体的相对连续运动，芝诺提出让阿喀琉斯和乌龟赛跑，只要乌龟开始是在前面出发的，那么阿喀琉斯跑得再快也永远追不上，因为“追赶者首先必须到达被追者出发之点，因而行动较慢的被追者必定总是跑在前头。”
亚里士多德认为这论点同二分法悖论中的一样，所不同者是不必再把所需通过的距离一再平分。如果动得较慢的对象通过一段有限的距离，则根据他答复第一个悖论所述的那个理由，它是可以被追上的。
针对时间和空间是由不可分的小段组成这一观点，芝诺同样考察了即孤立物体的间断运动情况和两个物体的相对间断运动情况，提出飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
3、飞矢不动悖论（Arrow paradox）
对于孤立物体的间断运动情况，芝诺说，由于运动是位置的变动，而飞矢在任一瞬刻必在一确定位置，因而是静止的。所以飞矢不能处于运动状态。
亚里士多德说如果我们不承认时间具有不可分的单元，这悖论就站不住脚了。——显然这是一个物理解释。
4、游行队伍悖论（Parades paradox）
对于两个物体的相对间断运动，芝诺提出“一组物体沿跑道挨着另一组相同的物体彼此相向移动，一组是从末端出发而另一组是从中间开始移动，两者移动速度一样；由此可知一半的时间等于双倍的时间。”
可用下图来说明：B、C相对于A的运动方向相反，并且每一时间单元B、C相对于A都运动一个空间单元。于是，在一个时间单元过后B、C之间相对移动了两个空间单元，从而B相对于C移动一个空间单元需要半个时间单元，而B相对于A移动一个空间单元却需要一个时间单元，于是一个时间单元将等于半个时间单元。这一结论明显是不成立的，因此两个物体的相对间断运动也是不可能的。
亚里士多德说，芝诺假定了以相同速度移动的两物体，其一通过一个移动物体，而另一通过一个等长的静止物体，所需时间相等。而这个假定是错的。
因为明显违反直观认识，从亚里士多德开始的2000多年里，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。但“每个世纪都认为他值得反驳”，这就非常了得，因为“文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰”。（怀特海语）
直到19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究，并认识到，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。对希腊以至近代数学思想的发展有开创性的启迪意义。
希腊数学思想的发展，除了从泰勒斯、毕达哥拉斯学派的几何学思想一直到欧几里德的《几何原本》这条线索外，另一条线索是关于无限小、极限的探讨。芝诺悖论的难题最早在这方面向希腊数学家提出了挑战，启发他们去研究有关无限小、极限以及求和过程等各种数学概念，并努力创新这方面的数学方法。如安提丰和欧多克索斯创立了穷竭法；到近代西欧数学家发明了微积分，在数学中完善地引入变量，解决了运动与时空中的有限与无限可分、连续性与间断性的对立统一。
现在也有很多学者从量子物理的角度去解释芝诺悖论，甚至挑出了数学和物理在本质概念上的种种对立。也许芝诺悖论并未真正解决。
【并非笑话或评论对错】古希腊犬儒派哲学家第欧根尼的学生曾向他请教如何反驳芝诺，他老人家一言不发，在房间里走来走去，学生还是不理解。第欧根尼说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？
下一讲智者学派与三大作图问题。
閱讀更多 小蔡科普 的文章
