对数字的研究一直是数学的核心。尽管在过去几个世纪里积累了大量的知识，
数论（Number theory）仍然保留着从最简单的概念中生长出来的无尽奥秘：整数之间的关系。由于整数是所有数学发展的基石，因此数论与数学领域的许多其他分支都有联系。数论学家会从分析、代数、组合数学、几何学，以及理论物理或计算机科学等其他领域汲取思想。即便在一个需要如此广度的学科中，Akshay Venkatesh仍然凭借他将数论问题与其他领域的深刻结果联系起来的原创方式脱颖而出，他也因此获得了数学最高奖——菲尔兹奖。Venkatesh不仅仅是把其他领域的结果当作是解决数论问题的“黑匣子”，他更为这些结果带来新的洞察力，突显它们与数论之间意想不到的联系。他以这种方式在数论领域取得了惊人的进步，同时也极大地丰富了其他数学分支。
○ 在普林斯顿高等研究院图书馆的Akshay Venkatesh。| 图片来源：Sasha Maslov
在本文中，我们将着重了解Venkatesh的其中三个工作，以此说明他工作的深度和广度。
首先，让我们来看一个多项式例子：x²+xy+7y²+yz+12z²。这个看似平凡的表达式，事实上蕴含着巨大的复杂性，因为它模拟了加法和乘法运算之间的复杂的相互作用。这个表达式是一个二次型的例子，它是一个可以有任意数量的变量，但最高指数幂为2的多项式。
一个基本的问题是，如果用整数值替换二次型中的变量x、y、z，会得到哪些整数。比如说，二次项x²只会产生完美的平方，而w² + x² + y² + z²则会产生所有的自然数，这是拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在1770年证明的事实。
在1801年出版的不朽著作《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中，高斯（Carl Friedrich Gauss）展示了如何通过简单的变量替换将一个二次型转化为另一个。这样的转化可以极大地简化二次型，而且任何由简单形式产生的整数，也可以由原始形式产生，尽管反过来未必是对的。也就是说，如果我们能够以这种方式将包含m个变量的二次型P，转化为包含n个变量的二次型Q，且m ≥ n，我们就说，P表示了Q。
什么情况下一个二次型可以被另一个二次型表示呢？这是希尔伯特 （David Hilbert）1900年提出的著名问题列表中第11个问题的变体。1978年，John S. Hsia、Yoshiyuki Kitaoka和Martin Kneser取得了一个里程碑式的进展，他们证明了，如果m ≥ 2n + 3，那么P表示Q。
三十年来，数学家不知道m与n之间是否可以建立一个更精确的关系。公认的最好结果很可能是m ≥ 2n + 2。这就是为什么，当Venkatesh与合作者Jordan Ellenberg在2008年证明，m和n的距离可能比之前想的要接近很多时，是如此令人惊讶——他们证明了，如果m≥n+5，那么P表示了Q。
更令人惊讶的是他们的证明方法，他们从动态系统理论（dynamical systems theory）中挖掘出的强大洞察力。他们以格（lattice，在n维空间规则排列的点的集合，被认为标记着整数点）的背景来看待这个问题。在数论领域使用格有着悠久的传统，可以追溯到19世纪末闵可夫斯基（Hermann Minkowski）提出的“几何数论”的概念。格也是动态系统中的一个自然域，在这里，我们可以将在时间变化的系统下受到影响而流动的格点，看作是微风中流动的尘埃粒子。
○ 三角形中遇到边界后反弹的小球是一个简单的动态系统。| 图片来源：ICM
一些关于格的流动的最深刻洞察，来自于二十世纪九十年代初，由Marina Ratner证明的一个里程碑式的定理。她的定理预言了，在动态系统的长期影响下，格点会流动到哪里。Ellenberg和Venkatesh利用了Ratner定理的一个变体，这个变体能让他们将点阵动力学应用于二次型的表示问题。
这不仅是数论领域的杰出成就，也使动态系统理论的研究人员感到兴奋，他们很快就将这些新的洞察添加到他们的工具箱中。
二次型的表示工作与Venkatesh首次预印于2005年的强大结果有关（后于2010年与Philippe Michel合作扩展并发表）。其中，Venkatesh探索了一个更富有技术性的、被称为次类凸（subconvexity）的问题，并且以一种大胆而创新的方式，将其放置在一个全新的、强调与其他数学领域（尤其是动态系统）的连接的情景下。
Venkatesh工作的第二个例子展现了类似的精湛技艺，他应用别的领域中的工具，为数论领域创造了惊人的进展，这一次是拓扑。整数的一个基本特征是质因数分解的唯一性：任何一个整数有且仅有一种表达成质数的乘积的方式。
整数能构成的一个典型的例子是环（ring），环是同时包含类似于加法、减法和乘法的三种运算的物体的集合。环的一个例子，不妨称之为R，是像a + b√−5 （a、b为整数）这样的数的集合。R的优点是，它能包含像x² = −5这样的方程的解，而这在整数集中是不可解的。
但是R也有一个缺点：它缺乏唯一的因数分解。例如，在R环上，9可以分解为3×3，也可分解为(2+√−5 )×(2−√−5 )。环的类数（class number）是一个整数，它衡量的是环无法进行唯一因数分解的程度。类数出现在数论领域的各个角落，但它们在所有环的集合中到底如何变化仍然是一个谜。
因为几乎没有什么理论工具可以用来理解类数，数学家转而只是计算类数并搜索它们的模式。正是通过这样的实验法，再结合深远的洞察力，
Henri Cohen和Hendrik Lenstra在1984年取得了一些令人惊讶的、充满启发的结果。例如，人们有理由期待类数会随机分布在整个整数集上，因此，大约1/3的整数可以被3整除。令人惊讶的是，根据Cohen-Lenstra启发法（Cohen-Lenstra heuristic）的预测，这个比例事实上在43%左右。为什么Cohen-Lenstra启发法行之有效呢？尽管历经了30年的研究，答案仍然难以捉摸。随后在2016年，Venkatesh与合作者Jordan Ellenberg和Craig Westerland取得了重大突破。他们将注意力集中在类数的一个较窄的问题上，不是整数的环，而是被称为函数域的相关对象的环，进而在理解Cohen-Lenstra启发法方面取得了重要进展。他们的策略是将问题转化到拓扑领域，一个研究形状的基本属性的数学分支。
数学家们已经知道函数域问题可以被转化为拓扑。但是拓扑学是一个巨大的领域，它有着庞大的工具箱。到底哪一个工具适用呢？这就是Venkatesh的洞察力被证明是至关重要的地方，这份洞察力引导他与合作者将同调稳定性（homological stability）这一拓扑概念运用其中，这是一个非常现代的概念，是大量近期研究的主题。
他们证明了拓扑学中的一个新结果，一类被称为Hurwitz空间（Hurwitz space）的拓扑对象的同调稳定性，然后将这一结果反过来应用到数论领域，来证明函数场的一些Cohen-Lenstra预测的有效性。Venkatesh的工作再一次丰富了两个相隔甚远的数学分支。
○ Akshay Venkatesh：“仅仅操纵数字就能使我快乐。” | 图片来源：ICM
关于Venkatesh工作的最后一个例子并不是一个完成的结果，而是他与合作者提出的一套大胆的新猜想。这些猜想是为了解释拓扑学与数论两个领域的现象之间的深刻联系，它们展现了Venkatesh在研究的新方向中担任着开拓先锋的角色。这些想法在他主导的2017-2018学年的研讨会上引起了热烈的反响。
这个猜想与如今推动着大量的数学研究的朗兰兹纲领（Langlands Program，详见《数学中的大统一理论》）有关。朗兰兹纲领设想了出现在不同数学分支（包括拓扑、分析、代数和数论）中各种现象之间的关系网络。数学家还远没有完成朗兰兹纲领的全部，但是一些特殊情况已经被确认。或许其中最著名的例子是在二十世纪九十年代，由
Andrew Wiles完成的费马大定理（Fermat’s Last Theorem）的证明。从这项工作中衍生的Taylor-Wiles方法已经成为连接被称为椭圆曲线（elliptical curve）的几何对象与被称为模形式（modular form）的解析对象的强有力工具——这正是朗兰兹纲领所预测的关联。Taylor-Wiles方法虽然很强大，但在最初提出它时，只应用于有限的场景——也就是被称为志村簇（Shimura variety）的一类特殊几何对象中。近期的一些将Taylor-Wiles方法拓展到非志村簇的结果，在Venkatesh的最新工作中占有突出地位。
这项研究集中在一组被称为局部对称空间（locally symmetric space）的拓扑对象上。Venkatesh与合作者发现，这些空间的拓扑结构有着意想不到的对称性。这些对称性出现在局部对称空间的同调群中。一个空间的同调群大致可以被认为是测量这个空间中孔隙的数量。
Venkatesh制定了一个愿景，通过求助于一个被称为主上同调（motivic cohomology）的不同数学领域来解释这些对称性。这个解释使用拓展的Taylor-Wiles方法，并且作为一种副产物，还可能对该方法形成更深刻的洞察。这项工作还远没有完成，但对它的早期期待是，它将为对朗兰兹纲领的全面理解提供关键性的一步。
大多数数学家要么是问题解决者，要么是理论构建者，而Akshay Venkatesh则同时二者皆是。此外，作为一个数论学家，他却能在多个与数论截然不同的领域发展出异常深刻的理解。这样广博的知识使得他能够将数论问题置于新的情景之下，这为突出问题的真实本质提供了正确的设置。未来，年仅36岁的Venkatesh将继续带领我们探索数论与其它数学领域的边界。
参考链接：
[1] https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/venkatesh-final.pdf
[2] https://www.quantamagazine.org/fields-medalist-akshay-venkatesh-bridges-math-and-time-20180801/
[3] https://plus.maths.org/content/AV
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