【分析方法导引】
当几何问题中，出现了角平分线和向角平分线所作的垂线的时候，就要想到可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。
若角平分线的垂线没有过角的顶点时，可直接将角平分线的垂线延长到与角的两边相交，构成等腰三角形中重要线段的基本图形，然后再应用一次轴对称型全等三角形来完成分析。
若角平分线的垂线经过角的顶点时，则应将角平分线的垂线平行移动，使它离开角的顶点，然后再与角的两边相交构成等腰三角形中的重要线段的基本图形。
例15 如图3-166，已知：△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，BG⊥AD并交AD的延长线于G，AE的延长线交BG于F。求证：DF∥AB。
图3-166
分析：本题条件中出现了BG是向角平分线AD所作的垂线，所以必定构成一个等腰三角形的基本图形。由于这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，所以延长BG交AC的延长线H（如图3-167），即得△ABG≌△AHG，AB=AH和BG=HG。进一步还可推得CH=AH-AC=AB-AC。
图3-167
在得到G是BH的中点后，由于条件中还给出E是BC的中点，就出现了两个中点，是多个中点问题，于是就可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明。由于G、E所在的线段BH、BC有公共端点B，可以组成△BCH，所以G、E这两个中点的连线就是三角形的中位线，现在图形中是有三角形而没有中位线，所以应将中位线添上，也就是联结EG（如图3-168），可得EG∥CH，EG=1/2CH=1/2（AB-AC）。
图3-168
图一
图二
本题要证明的结论是DF∥AB，就出现了DF是△GAB内一条边AB的平行线段，所以可应用平行线形相似三角形的基本图形的性质进行证明。于是要证DF∥AB，就可转化为要证GF/GB=GD/GA。而GB=GH，所以GF/GB=GF/GH，又因为已证EG∥AH，所以EG也是△AHF内一条边AH的平行线段，这样就又可应用平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，于是就有GF/GH=EG/（AH-EG），由于EG和AH都已有与AB、AC有关的数量关系，所以代入后进行运算就可得（图一），这里出现的实质上是三角形的两边AB、AC之比的关系，而已知AD是角平分线，所以就可应用角平分线的性质AC/AB=CD/BD，于是就有上式等于（图二），但已知BE=CE，这样就推得GF/GB=2DE/BC。那么问题也就成为要证明GD/GA也等于2DE/BC。由已证的EG∥AC，这两条平行线的四个端点的两两的连线在D点相交，所以又可以应用平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，于是又可得GD/GA=DE/EC，而EC=1/2BC，代入上式后即可得GD/GA=2DE/BC，就可以完成分析。
本题在延长BG交AC的延长线于H，联结EG，并得到BG=HG，EG∥CH以后，又进一步将证明DF∥AB转化为要证GF/GB=GD/GA。对这一比例关系，首先也进行描图，以搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现GF和GB、GD和GA这两组相比线段都分别重叠在一直线上，所以仍然可以添加平行线型相似三角形进行证明。添加的方法是过端点和内分点作平行线。若首先考虑GF和GB这一组相比线段，那就应过端点B和内分点F作平行线，由于FD和BA是要证明的平行线，所以可取过内分点F的线段FE为平行线方向线段，于是平行线就应过端点B作，也就是过B作BK∥FE交GE的延长线于K（如图3-169），即可得△GEF∽△GKB，GF/GB=GE/GK，那么问题就转化为要证GD/GA=GE/GK。这是一个新的比例关系，所以我们首先仍然进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系。而经过描图以后，我们又可以发现GD和GA，GE和GK这两组相比线段都重叠在一直线上，所以又可以添加平行线型相似三角形进行证明，添加的方法也是过端点和内分点作平行线。由于现在这两组重叠的相比线段有一个公共的端点G，所以添加平行线的方法就是将端点和端点，内分点和内分点分别连起来，且这两条连线必定是平行线，于是联结AK（如图3-170），问题就成为应证AK∥DE，也就是AK∥EB，但我们已作BK∥EA，所以四边形AKBE就应是一个平行四边形，所以就可应用中心对称型全等三角形进行证明，根据这个平行四边形的中心对称部分，我们就能找到这对三角形应是△BKM和△AEM，由于在这两个三角形中已经可证∠BMK=∠AME，∠KBM=∠EAM，所以必须要再证一组对应边相等的条件。由于已经证明G是BH的中点，GM∥HA，所以可得BM=AM，那么通过这两个三角形全等，并进行证明四边形AKBE是平行四边形后，就能得到AK∥DE，分析就可以完成。
图3-169
图3-170
本题在分析得到G是BH的中点和EG∥CH后，即可发现△BCH是△BAH的一部分，所以△BCH的中位线EG也是△ABH的中位线的一部分，因此考虑在△ABH中应用三角形中位线的基本图形的性质，就应先将这条中位线添完整，所以延长CE交AB于M（如图3-171）后，可得AM=BM。这样在△GAB中可以发现过三角形顶点的三条线段AF、BD、GM相交于一点E（如图3-172），从而就可以直接应用西瓦定理得（AM/BM）·（BF/GF）·（GD/AD）=1，而AM/BM=1，于是（BF/BM）·（GD/AD）=1，BF/GF=AD/GD，从而就可以证明结论。
图3-171
图3-172
本题要证明的结论是DF∥AB，这是两条平行线段，且它们的四个端点的两两的连线在E点相交，所以可应用由三角形外的一条边的平行线段所得到的平行线型相似三角形进行证明。于是就可以找到这对相似三角形应是△DFE和△BAE，问题也就转化为要证AE/FE=BE/DE。
又因为条件中给出BE=CE，且BC、AF在E点相交，这样就出现了BE、CE这两条相等线段是位于一组对顶角的两边而且成一直线，从而就可以添加中心对称型全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线，于是过B作BH∥AC交AF的延长线于H（如图3-173），就可得△ACE≌△HBE，AC=HB，AE=HE。
图3-173
由所作的这一组平行线AC、BH可以看作是被AB所截，所以∠BAC和∠ABH就是一对同旁内角，它们的和就等于180°，又因为AD是角平分线且BG⊥AD，所以BG必定是∠ABH的角平分线，这样就可以在△ABC和△BHA中，分别应用三角形的角平分线的性质得BD/CD=AB/AC，AF/HF=AB/BH。而我们已证AC=BH，所以BD/CD=AF/BF，而我们要证的结论是AE/FE=BE/DE，将两式进行比较，应将所得的关系式向结论转化，所以我们有BD=BE+DE，CD=CE-DE=BE-DE，AF=AE+EF，HF=HE-EF=AE-EF，代入后即得（BE+DE）/（BE-DE）=（AE+EF）/（AE-EF），所而再进行运算就可证明BE/DE=AE/FE，分析也就可以完成。
本题在延长BG交AC的延长线于H后，可得BG=HG，AB=AH。由AD是△ABC的角平分线，可得AB/AC=BD/CD，AH/AC=BD/CD，从而就有（AH-AC）/AC=（BD-CD）/CD，由条件E是BC的中点，所以CH/AC=2DE/CD。由于比例关系中出现了数字2，所以可应用线段倍半关系的定义进行证明。于是考虑将2与CH组合，则作CH的中点K，可得HK/AC=DE/CD，HK/（AC+HK）=DE/（CD+DE），HK/AK=DE/CE=DE/BE。又因E、K分别是CB、CH的中点，是多个中点问题，从而应用三角形中位线的基本图形的性质，联结EK（如图3-174）后，可得EK∥BH，所以又可得HK/AK=FE/AE，从而有DE/BE=FE/AE，所以DF∥AB可以证明。
图3-174
根据同样的道理，如果向角平分线所作的垂线改为过C点作，也就是过C作CG⊥AD且分别交AD、AE于G、F，那么也可以证明FD∥AC。
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