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昨天我們給出了矩陣乘法的公式，今天我們要幹什麼！當然是證明!!!

3.7矩陣乘法公式證明

證明如下：

設(V1，…… ，Vn)是V的基， (W1，…… ，Wm)是W的基，(U1，…… ，Up)是另一個向量空間U的基.考慮線性映射S:U→V和映射T：V→W。它們的複合映射TS是從U到W的線性映射。

我們做映射的時候，是先把U映射到V再映射到W，這次化簡也一樣。這樣我們得到了：

這個公式很重要！

這就是我們得到的矩陣的元素，這個矩陣應該是m*p的矩陣，對不對？

那當然了！不信，不信我給你舉個栗子！

根據我們的公式，比如說第一個矩陣，第2行第1列的數字3，乘上第二個矩陣，第1行第3列的4，得到的12就應該被放在第三個矩陣，第2行第3列的位置，你看看對不對？

總之記住這一點：做乘法的時候，把第一個矩陣裡面所在列數和第二個矩陣裡面所在行數相同的元素都拿出來乘一遍，擺在新矩陣對應的位置就好了。

其實，只有第一個矩陣列數和第二個矩陣行數相同，才可以做乘法。

第一個矩陣也就是第一個映射，第二個矩陣也就是第二個映射。

3.8向量的矩陣

向量的矩陣通常是n*1矩陣。

下一個命題表明，線性映射的矩陣，向量的矩陣以及矩陣乘法是如何結合在一起的。

在此命題中， M(Tv)是向量Tv關於基(W1，…… ，Wm)的矩陣，M(v)是向量v關於基 (V1，…… ，Vn)的矩陣，而M(T)是線性映射T關於基 (V1，…… ，Vn)和(W1，…… ，Wm)的矩陣。

首先我們表示一下M（T）：一是把線性映射的矩陣寫出來（3.15），二是再把它寫成目標空間的形式（3.16）。

我們再來看看原向量空間的矩陣，是這樣的：

兩邊同時進行線性映射，再展開（就像證明矩陣乘法公式一樣展開）：

實際上我們可以看到，展開的過程是就是在描述線性映射這樣一種行為，即建立起原向量空間和目標空間的聯繫。

這個等式表明，向量Tv關於基(W1，…… ，Wm)的m*1矩陣M(Tu)由下面的等式給出，

根據矩陣乘法的定義，這個公式表明M(Tv) = M(T)M(v)。

3.9 可逆性

線性映射T∈L(V,W)稱為可逆的(invertible), 如果存在線性映射S∈L(W,V)使得ST等於V上的恆等映射，並且TS等於W上的恆等映射。滿足ST=I,TS=I的線性映射S∈L(W,V)稱為T的逆(inverse)(注意第一個I是V上的恆等映射: 第二個I是W上的恆等映射)。（注：I就是恆等映射的表示，參加往期文章《解讀6》）

這段話有點長，我縮一下，實際上就是

逆具有唯一性。

我們通過同一法來證明：

如果S和S'都是T的逆，那麼S=SI=S（TS'）=（ST）S'=IS'=S'。

也就是說，S=S'。所以逆是唯一的，如果T可逆，那麼它的逆記為T^-1。

我們來練一個題目，正好也是一個很重要的結論把。

命題:一個線性映射是可逆的當且僅當它既是單的又是滿的

明:設T∈L(V,W),那麼需要證明, T是可逆的當且僅當它既是單的又是滿的.

首先假設T是可逆的為了證明T是單的,設u,v∈V; Tu= Tv,那麼

u= T^-1*(Tu)= T ^-1(Tv)= v,故u=v.因此，T是單的。

仍設T是可逆的。現在證明T是滿的.為此,設w∈W,那麼w= T(T^-1w),這表明w含於T的值域於是rangeT= w,故T是滿的。這就完成了證明的一個方面。

現在假設T既是單的又是滿的。我們需要證明T是可逆的對於每個w∈W,定義St是V中唯一使得T(Sw)=w的那個元素(由T既單又滿可得此元素的存在性和唯一性)。顯然,TS等於w上的恆等映射為了證明ST等於V上的恆等映射，設v∈V,那麼

T(STv)= (TS)(Tv)=I(Tv)= Tv。

這個等式表明STv=v(因T是單的)，因此ST等於V上的恆等映射為了完成證明，還需要證明s是線性的。為此，設w1, w2∈W,那麼

T(Sw1+ Sw2) = T(Sw1) +T(Sw2)= w1 +w2.

於是，Sw1+Sw2是V中唯-被T映成uw1+w2的那個元素.再由s的定義可得S(w1+w2)=Sw1+Sw2.因此，s滿足加性齊性的證明是類似的.具體地,如果w∈w, a∈F,那麼

T(aSw) = aT(Sw) = aw。

於是,aSw是V中唯一被T映成aw的那個元素。再由S的定義可得S(aw)=aSw.因此，s是線性的。

這部分沒法兒馬上理解沒關係，大家先想一想，明天我會針對可逆性舉一些例子，幫助大家理解。

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