本文主要內容：已知直線3x+4y+2=0與圓x^2+y^2+4y=0交於A,B兩點,求線段AB的垂直平分線的方程式，本題介紹三種方法來求。
方法一：
【解題思路】：根據題目情況，圓心o在所求的垂直平分線上，AB垂直平分線的斜率與已知直線3x+4y+2=0垂直，斜率乘積等於-1，即可求出所求直線的斜率k'，據此根據點斜式即可求出直線方程。
已知3x+4y+2=0，即斜率k=-3/4.所以所求的垂直平分線的斜率k'=-1/k=-1/(-3/4)=4/3.
對於圓方程有：
x^2+y^2+4y=0；
x^2+y^2+4y+4=4；
x^2+(y+2)^2=4；
即圓心座標為O(0,-2),故所求的直線方程為：
y-(-2)=(4/3)(x-0);
y+2=4x/3;
3y+6=4x;
即：4x-3y-6=0.
方法二：
【解題思路】：利用點與直線、圓的關係求出A,B的中點，再利用直線的點斜式求解垂直平分線方程。
設A（x1,y1）,B(x2,y2),則有：
因為A,B兩點在直線3x+4y+2=0上，所以AB的斜率=-3/4,即：
-3/4=(y2-y1)/(x2-x1).
y2-y1=-(3/4)(x2-x1)………(1)
又因為A,B都在圓上，則有：
X1^2+y1^2+4y1=0
X2^2+y2^2+4y2=0
相減得到：
（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(y1-y2)=0…(2)
（x2-x1）(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2+4)=0
把（1）代入（2）得到：
(x1+x2)-(3/4)(y1+y2+4)=0
4(x1+x2)-3(y1+y2+4)=0……(3)
同理，兩點均在直線上，則有：
3x1+4y1+2=0
3x2+4y2+2=0
所以：
3(x1+x2)+4(y1+y2)+4=0……(4)
解方程組（3）、（4）得到：
X1+x2=36/25,y1+y2=-52/25
即AB的中點座標（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）為：
（18/25,-26/25）.
根據垂直直線斜率乘積等於-1的關係，所求的垂直平分線的斜率=4/3。
所以所求的垂直平分線的方程為：
y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)
化簡得到：
4x-3y-6=0。
方法三：
【解題思路】：直接求出A，B兩點的座標，再利用點斜公式求得垂直平分線方程。
直線方程為：3x+4y+2=0，即x=-(4y+2)/3,
代入圓的方程得到：
(4y+2)^2/9+y^2+4y=0
化簡得到：
25y^2+52y+4=0
(25y+2)(y+2)=0,所以:
Y1=-2/25,y2=-2,對應得到：
X1=-14/25，x2=2
則有A(-14/25，-2/25),B(2,-2).
所以AB的中點座標為（18/25, -26/25）.
根據垂直直線斜率乘積等於-1的關係，所求的垂直平分線的斜率=4/3。
所以所求的垂直平分線的方程為：
y-(-26/25)=(4/3)(x-18/25)
化簡得到：
4x-3y-6=0.
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