大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）
德國數學家希爾伯特是19世紀末和20世紀上半葉最偉大的數學家之一．希爾伯特特別強調重大問題在數學發展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數學知識可能的發展有一個概念，那就必須回顧一下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題．”同時又指出：“某類問題對於一般數學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的．只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，年僅38歲的希爾伯特應邀做了題為“數學問題”的著名講演．在這具有歷史意義的演講中，他提出許多重要的思想：正如人類的每一項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題．正是通過這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵意志，發現新觀點，達到更為廣闊的自由的境界．
他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特徵：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠．同時，他還分析了研究數學問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法．
就是在這次會議上，希爾伯特根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢提出23個懸而未決的數學問題，即著名的“希爾伯特的23個數學問題”．這次大會是數學史上一個重要的里程碑，他提出的23個問題更是功勳卓著、影響深遠．
希爾伯特的23個問題分為四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題是屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析問題．經過一個多世紀，希爾伯特提出的23個問題中，接近一半已經解決或基本解決．有些問題雖未解決，但也取得了重要的進展．
問題1 康托爾的連續統基數問題(公理化集合論)
1874年，康托爾猜測在可數集基數與實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設．1938年，奧地利數理邏輯學家哥德爾證明了連續統假設與策梅洛-弗倫克爾(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合論公理系統的無矛盾性．1963年，美國數學家科恩證明了連續統假設與ZF集合論公理系統彼此獨立．因而連續統假設不能用ZF集合論公理系統加以證明，即連續統假設的真偽不可能在ZF集合論公理系統內判定．在這個意義上，問題已經解決了．
問題2 算術公理的相容性(數學基礎)
歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性．希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明方法加以證明，後來發展為系統的希爾伯特計劃(“元數學”或“證明論”)，但1931年，哥德爾發表“不完備性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限歸納法證明了算術公理系統的相容性，但數學的相容性問題至今未解決．
問題3 只根據合同公理證明等底等高的四面體有相等之體積是不可能的(幾何基礎)
問題的含義是：存在兩個等底等高的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等，這一問題很快於1900年由希爾伯特的學生德恩(M. Dehn，1878—1952)給出了肯定的解答．這是希爾伯特問題中最早獲得解決的一個．
問題4 直線作為兩點間最短距離問題(幾何基礎)
這一問題提得過於一般，滿足這一性質的幾何例子很多，只需要加以某些限制條件．在構造特殊度量幾何方面已有很大進展，但未完全解決．1973年，蘇聯數學家波格列洛夫(Pogleov)宣佈，在對稱距離情況下，問題獲得解決．
問題5 不要定義群的函數的可微性假設的李群概念(拓撲群論)
這一問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐式群都一定是李群．經過漫長的努力，這個問題於1952年，由美國格里森(Gleason)、蒙哥馬利(Montqomery)和齊賓(Zipping)共同解決．1953年，日本的山邁彥得到完全肯定的結果．
問題6 物理公理的數學處理(數學物理)
希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理學．1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(A. Kolmogorov，1903—1987)將概率論公理化．後來在量子力學、量子場論和熱力學等領域，公理化方法獲得很大成功，但物理學各個分支能否全盤公理化，很多人對此表示懷疑．公理化的物理意味著什麼，仍是需要探討的問題．
問題7 某些數的無理性與超越性(超越數論)
要求證明：若a≠0或1是代數數，β是無理數的代數數，則aβ次方一定是超越數或至少是無理數．蘇聯數學家蓋爾豐德(A. O. Gelfond)於1929年、德國數學家施奈德(T. Schneieder)及西格爾(C. L. Siegel，1896—1981)於1934年各自獨立地解決了這問題的後半部分．1966年貝克等大大推廣了此結果．但是，超越數理論還遠遠未完成．要確定所給的數是否超越數，還沒有統一的方法，如歐拉常數γ的無理性至今未獲得證明．
問題8 素數分佈問題(數論)
希爾伯特在此問題中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數問題．一般情形的黎曼猜想至今未解決．哥德巴赫猜想和孿生素數問題也未最終解決，這兩個問題的最佳結果均屬於中國的數學家陳景潤．
問題9 任意數域中最一般的互反律之證明(類域論)
該問題於1921年由日本學者高木貞治(1875—1860)、1927年由德國學者阿廷(E. Artin)各自給以基本解決．類域理論至今仍在發展之中．
問題10 丟番圖方程可解性的判別(不定分析)
希爾伯特提出問題：能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解．1970年，由蘇聯數學家馬蒂雅塞維奇證明希爾伯特所期望的一般算法是不存在的．儘管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯繫．
問題11 係數為任意代數數的二次型(二次型理論)
德國數學家哈塞(H. Hasse，1898—1979)於1929年和西格爾於1951年在這個問題上獲得了重要的結果．20世紀60年代，法國數學家魏依取得了新的重大進展，但未獲最終解決．
問題12 阿貝爾(Abel)域上的克羅內克(L. Kroneker，1823—1891)定理推廣到任意代數有理域(復乘法理論)
尚未解決．
問題13 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程(方程論與實函數論)
連續函數情形於1957年由蘇聯數學家阿諾爾德(V. Arnold，1937—2010)否定解決．1964年，蘇聯數學家維圖斯金(Vituskin)推廣到連續可微情形．但若要求是解析函數，則問題仍未解決．
問題14 證明某類完全函數系的有限性(代數不變式理論)
1958年，日本數學家永田雅宜舉出反例給出了否定解決．
問題15 舒伯特(Schubert)記數演算的嚴格基礎(代數幾何學)
由於許多數學家的努力，舒伯特演算的基礎的純代數處理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解決．至於代數幾何的基礎，已由荷蘭數學家範·德·瓦爾登於1940年及法國數學家魏依於1950年各自獨立建立．
問題16 代數曲線與曲面的拓撲(曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論)
這個問題分為兩部分：前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目，後半部分要求討論極限環的最大個數和相對位置．關於問題的前半部分，近年來不斷有重要結果出現．關於問題的後半部分，1978年，中國的史松齡在秦元勳、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出了至少有4個極限環的具體例子．1983年，中國的秦元勳進一步證明了二次系至多有4個極限環，從而最終解決了二次微分方程的解的結構問題，並且為希爾伯特第16問題的研究提供了新的途徑．
問題17 半正定形式的平方表示式(實域論)
一個實數n元多項式對任意數組都恆大於零或等於零，是否能寫成平方和的形式？此問題於1927年，由阿廷給予肯定的解決．
問題18 用全等多面體構造空間(結晶體群理論)
該問題由三部分組成．第一部分歐式空間僅有有限個不同類的帶基本區域的運動群．第二部分包括是否存在不是運動群的基本區域但經適當毗連即可充滿全空間的多面體？第一部分由德國數學家貝爾巴赫(Bieberbach)於1910年做出了肯定的回答．第二部分由德國數學家萊因哈特(Reinhart)於1928年、黑施於1935年做出了部分解決．第三部分至今未能解決．
問題19 正則變分問題的解是否一定解析(橢圓型偏微分方程理論)
1929年，德國數學家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)證明了一個變元的、解析的非線性橢圓方程，其解必定是解析的．這個結果後來又被伯恩斯坦和蘇聯數學家彼德羅夫斯基等推廣到多變元和橢圓組的情形．在此意義下，問題已獲解決．
問題20 一般邊值問題(橢圓型偏微分方程理論)
偏微分方程邊值問題的研究正處於蓬勃發展的階段，已成為一個很大的數學分支，目前還在繼續發展，進展十分迅速．
問題21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性證明(線性常微分方程大範圍理論)
此問題屬於線性常微分方程的大範圍理論．希爾伯特於1905年、勒爾(H. Rohrl)於1957年分別得出重要結果．1970年，法國數學家德利涅(Deligne)做出了突出的貢獻．
問題22 用自守函數將解析函數單值比(黎曼曲面體)
此問題涉及深奧的黎曼曲面理論，一個變數的情形已由德國數學家克貝(P. Koebe)於1907年解決，但一般情形尚未解決．
問題23 變分法的進一步發展(變分法)
這是一個不明確的數學問題，只是談了一些對變分法的一般看法．希爾伯特本人和許多數學家對變分法的發展做出了重要的貢獻．20世紀變分法已有了很大的進展．
希爾伯特的23個數學問題的影響及意義
希爾伯特的23個數學問題絕大部分業已存在，並不是希爾伯特首先提出來的，但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式重新提出了這些問題，並指出了其中許多問題的解決方向．在世紀之交提出的這23個問題，涉及現代數學的許多領域．一個世紀以來，這些問題激發著數學家們濃厚的研究興趣，對20世紀數學的發展起著巨大的推動作用．
許多世界一流的數學家都深深為這23個問題著迷，併力圖解決這些問題．希爾伯特所提出的問題清晰、易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試．解決其中任意一個，或者在任意一個問題上有重大突破，就自然地被公認為是世界一流水平的數學家．我國的數學家陳景潤因在解決希爾伯特第8個問題(即素數問題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大貢獻而為世人所矚目，由此也可見希爾伯特問題的特殊地位．經過整整一個世紀，希爾伯特的23個數學問題中，將近一半已經解決或基本解決．有些問題雖未解決，但也取得了重要進展．
希爾伯特提出的問題是極其深奧的，不少問題一般人連題目也看不懂．正因為困難，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人們終有收穫的科學獵場．一百多年來，人們始終注視著希爾伯特問題的研究，絕不是偶然的．希爾伯特問題的研究與解決大大推動了許多現代數學分支的發展，包括數理邏輯、幾何基礎、李群、數學物理、概率論、數論、函數論、代數幾何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面論和變分法等．第2問題和第10問題的研究，還促進了現代計算機理論的成長．
當然，預測不可能全部符合後來的發展，20世紀數學發展的廣度和深度都遠遠超出20世紀初年的預料，像代數拓撲、抽象代數、泛函分析和多復變量函數等許多理論學科都未列入這23個問題，更不要說與應用有關的應用數學以及隨計算機出現發展起來的計算數學和計算機科學了．
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