當我們認識自然數之後,我們就會從1開始數數,1、2、3、4……,於是我們發現,
這麼數下去永遠數不到頭啊,無窮無盡,因而誕生了一個叫做“無窮”的概念,那無窮是什麼?01、無窮的初步試探
其實古人也早就提出過關於無窮的思考,莊子曾經說過:一尺之木,日取其半,萬世不竭。
一尺長的木頭,每天砍一半,那麼將取之不盡用之不竭,永遠都用不完,聽起來好像是這麼回事,我每天只取一半,雖然會越來越小,卻始終會有。
就在差不多同時代的西方,古希臘數學家芝諾也提出過類似這個問題的悖論,以其名字命名故而稱為“芝諾悖論”,芝諾一生提出過40多個悖論,其中也有一些涉及到無窮的概念,舉兩例。
1、二分法
在一個移動的物體在到達終點之前,必須得到達這段路程的中點,接著以中點為新的起點,在到達終點之前必須達到新的中點,以此類推,這個物體只能不斷地到達中點卻永遠也到達不了終點。
按照這麼個理論,我永遠出不了我家大門,地鐵永遠到不了下一站,甚至降雨永遠落不到地上,那這個世界不亂套了嘛,顯然這並非是事實,所以才叫悖論。不用驚慌,真實的世界好著呢。
2、阿基里斯與烏龜
阿基里斯是古希臘的英雄,以長跑著稱,芝諾表示,兄弟不是我磕磣你,你連一隻烏龜都追不上,他解釋到,假如烏龜在阿基里斯前方,兩者同時開始賽跑,如果阿基里斯想追上烏龜,就必須先到烏龜的位置,而這段時間烏龜必然會向前跑一段距離,如果阿基里斯又跑到那個位置,烏龜又會往前挪一點點。
以此類推,雖然說兩者之間的距離不斷縮小,但是阿基里斯永遠追不上烏龜。
兩者的共同之處在於,需要在有限的時間內完成無數個運動的過程,雖然芝諾也知道這個說法肯定不對,但他並不明白為什麼可以這樣,於是索性讓大家也一塊不明白。
02、解密芝諾悖論
我們先從第二個問題著手,假設烏龜 領先阿基里斯1米,阿基里斯速度為2米每秒,烏龜速度為1米每秒,為了方便計算所以如是設計數據,
第一個運動過程需要½秒(阿基里斯到達龜神的起點,烏龜前進½米),
第二個運動過程需要¼秒(阿基里斯到達龜神運動一的地點,烏龜前進¼米)
第三個運動過程需要⅛秒(阿基里斯到達龜神運動二的地點,烏龜前進⅛米)
以此類推,
阿基里斯需要多久才能追上烏龜呢?
先把這些時間加起來:
½+¼+⅛+……
這麼一直加下去會等於多少呢?會是無窮大還是會等於一個數值?這是芝諾無法解決的問題,也是他提出這個悖論的依據,那麼這個結果到底會是什麼樣呢?
先考慮
的結果,根據等比數列的求和公式,可知結果為
秒,那麼一直加下去結果會等於多少呢?
其實距離正確答案已經非常接近了,
但差的這點卻等到好久之後才真正解決——極限思想的出現。當n趨近於無窮大的時候,我們會認為
等於0,所以
等於1。
運用極限的思想,我們可以將有限求和
拓展到無限相加
<strong>所以無窮相加的結果並非也是無窮,可以是個確定的數!!
然而這放在
芝諾的時代,由於這方面的理論基本為零,因此他才能以此來忽悠大眾,因為理論的缺失使得無法給他正面一擊。當然,也不是所有人都束手無策,最早作出這方面探索的應屬阿基米德。
03、阿基米德有話要說
兩個世紀後,阿基米德在求證拋物線面積的時候,得出:拋物線圍成的面積正好等於內接三角形面積的<strong>三分之四倍。
阿基米德說道,三角形面積會近似等於拋物線圍成的面積,通過不斷取中點的方式不斷逼近拋物線圍成的面積,而每次增加的面積都是前一次的四分之一<strong>(紅色部分面積為綠色部分面積的四分之一),所以,假設△ABC的面積為1,那整個面積便是:
在論述最後結果的時候,同樣因為沒有極限的理論 ,面對質疑,阿基米德解釋道,你無法說明
也無法證明
所以結果只能是
雖然並沒有解釋明白,但阿基米德肯定了這個計算的結果,在正確的方向邁出了堅實的一步。
04、幾何級數
還是藉助圖形來解釋問題吧,這樣看圖就行了,如下,作邊長為1的正方形,隨後不斷對其進行切割,
於是便有了:
同樣阿基米德的問題也可以作去下設計,
作一個面積為三分之四的正方形,如下:
第一塊麵積佔整體的¾,
所以第一塊麵積為:
第二塊面積為:
第三塊面積為
以此類推,再把每塊面積相加,
我們可以推出:
為紀念 這一和式的幾何圖形解讀,我們也將其稱為幾何級數,一般式:
有限可以相加,無限同樣也可以,芝諾悖論給我們展示了最早對於無窮的思考,雖然其結果看似荒謬,也正因如此,才激勵著後代不斷地投身其中。2000後,希爾伯特、康托爾等一批數學家再次將無窮擺在世人眼前,連續統假說也位列20世紀待解決的23大數學問題之首。
而悖論,其本身可能並沒有多大的意義,但總能催促著我們思考。
世上沒有絕對的真理。
不知道這句話,是不是絕對的真理?
謝謝閱讀,以上都是瞎編的。
#疫情期間一起學#
閱讀更多 小果數學 的文章