来源 | 数学爱好者社区作者 | G. L, Alexanderson

1977 年 12 月 13 日，是斯坦福大学名誉数学教授 George Polya 的 90 岁生日。该校数学系在教员俱乐部为他举办了祝寿宴会。那天，Polya 教授的许多朋友和过去的学生观聚一堂；不少教授就他的工作致了颂词。

来宾中有：Polya 过去的学生，斯坦福大学校长 Halsey Royden；斯坦福大学计算机科学系教授 Danald Knuth；纽约大学 Courant 研究所所长、美国数学会本届主席 Peter LaX 教授；加里福尼亚大学贝克莱分校统计学教授 Jerzy Neyman；斯坦福大学名誉物理教授、Nobel 奖获得者、Polya 在瑞士联邦技术学院的学生 Felix Bloch。

跟他有过长期合作的同事、斯坦福大学教授 Gabor Szego，虽然健康状况不佳，也赶来参加了庆宴。与会者的踊跃，标志著 Polya 教授对数学和教育的广泛影响。

搞研究的数学家熟识他，因为他们是他的同事或合作者；二年制或四年制大学的教师认识他，因为他们深知他的数学成就，他为数学教育所做的努力、以及他跟美国数学联合会的长期合作关系；有不少中学教员认识地，因为 Polya 曾在斯坦福举办的许多教师进修班上教过他们。

正如 Royden 校长在会上提到的：他的许多数学发现，在未来的许多年里仍将是研究生攻读的内容。这些发现涉及相当广泛的数学领域：实分析与复分析，概率论，组合理论，数论，几何及其他一些领域。由于这些贡献，他被好几个国家的科学院选为院士，其中包括有威望的巴黎科学院。

Neyman 教授指出，Polya 的《怎样解题》(How to Solve It)已被译成 15 种文字；他的《数学的发现》(Mathematica1 Dis-covery）也已有 8 种译本。教师们把 Polya 的名字跟这些著作以及其它许多运用发现数学的方法解题和教学的作品融成一体，“按 Polya 的风格”、“Polya 的方法”成了各地数学教师的专用语。Polya 的作品清晰、优美，在数学书刊中是很难得见到的。读他的书或文章，几乎是一种享受。他在选择研究课题和具体问题时，表现出罕见的、深刻的鉴赏力。

生日宴会后几天，作者访问了他，下面是这次访问的摘要。

访问者：统观你的数学工作，人们钦佩你在如此广泛的领域从事研究，而且在许多领域做了重要贡献。对许多数学家来说——不论他的能力如何，这都是超凡的记录。请问你是怎么做到这一点的？你怎麽能在如此众多的领域找到那么多好的问题？

Polya：部份原因是受了我的老师以及当时的数学风尚的影响。后来，又受到自己在发现数学时的兴趣的驱使。有少数几个问题，我是想找出如何处理有关的一整类问题的办法。说得更远一点，我并非一上来就是搞数学的，我所经历的迂回曲折的道路，也对我有影响。

数学，介于哲学、物理之间

访问者：是指你搞过哲学和物理吗？

Polya：不，问题要更复杂些。我最初学的是法律，不过只维持了一个学期，就再也没办法忍受了。接着，我攻读了两年语言和文学。两年后，经考试取得了教师资格证书，可以在预科学校低年级——学生年龄从 10 岁到 14 岁——教拉丁语和匈牙利语。但这张证书我从来没用过。后来，我又学习哲学、物理和数学。

事实上，我不是直接选中数学这一行的。我真的对物理和哲学更有兴趣，对这两门学科中的思想感兴趣。下面的说法虽然略显笼统，但也不失大意：我认为我搞物理不大灵，搞哲学绰绰有余，搞数学则介于两者之间。

访问者：我记得在概率论、组合理论、几何、代数、数论，当然还有函数论等领域，都有你的定理。请问是否还存在哪一个数学领域是你不屑一顾的？

访问者：我发现某些经典问题正在用新的严格性加以检验。

例如，有些年轻数学家在积极地探索解决像 Riemann 猜想这类问题。几年前，在温哥华举行的会议上，Riemann 猜想就受到了极大的关注。您愿意评论一下五十年代、六十年代以及七十年代数学发展的方向和数学风尚吗？

Polya：当然可以。不过别把我的评论看得那么认真。首先，我对最新的数学没做研究；同时，我有自己的偏好。我过去总是对漂亮的应用感兴趣。我感到，除了确实在推动数学前进的数学家之外，他们的追随者中，至少有些人被搞推广的思想缠住了，什么东西都在那儿推广。他们的理想似乎就是搞出具有完美的一

般性的数学定理，而这类完美的一般性定理却导不出特殊的结果。

Polya：我不好打赌。相反，我相当谨慎。如果非要我打赌，我将说：今后十年内不可能证明 Riemann 猜想。我认得几个人，都是非常出色的人物，他们在搞 Riemann 猜想。尽管如此，我还是下这样的赌注——今后十年内证明不了……，这是你非要我下赌的呀！注：

Polya 和 Weyl 的赌局

G. Polya 和 H. Weyl 按下述协议打赌。内容涉及当今数学

中的以下定理：

（1）每一个有界实数集有上确界。

（2）每一个无限实数集有一个可数子集。

Weyl 预言：

A. 20 年内（即到 1937 年底），Polya 本人或大多数一流数学家将承认，上述定理中涉及的、也是我们今天普遍需要依赖的实数、集合和可数性概念，完全是含混不清的；要问目前含义下的这些定理的真伪，比问 Hegel 自然哲学中的主要论断的真理性更加没有意义。

B. Polya 本人或大多数一流数学家将承认：无论怎样措词，按照一种合理的、可行的、清晰的解释（如何认定这种解释，或者通过讨论，或者到那时已有定论），定理（1）和（2）都是错的；或者，如果在规定时间内找到了这两个定理的清晰的解释，使得至少有一个是正确的，那么，必然出现某个有生命力的成果，通过这一成果，数学基础将出现一次新的、开创性的转折。数和集合的概念也将具有我们今天尚无法预见的一种新的含义。

如果上述预言实现，则 Weyl 嬴；否则，Polya 获胜。

如果规定时间到期，他们对输嬴不能达成一致意见，那么，将邀请瑞士联邦研究院、苏黎世大学、格廷根大学和柏林大学的数学教授（赌者除外）一起来评判，并以多数人的意见为准；若仍不分胜负，赌局输嬴将被认为是未定的。输家将承担义务，自费在德国数学会《年鉴》上公布打赌的条件并认输。

H. Weyl，G. Polya1918．2．9．于于苏黎世

有影响的数学人物

Polya：好。一定要我说的话，我必须说出四个名字。我受 Fejer 的影响不小，跟我同一时代的匈牙利数学家个个如此。实际上，我跟 Fejer 合作干过几件小事。

在他的一两篇文章里，包含有我的看法；同样，我的一两篇文章里也有他的见解。但这算不上是真正深刻的影响。Hurwitz 对我的影响要深刻得多。我到苏黎世去的目的，就是为了接近他。我们之间有长达 6 年之久的密切交往；从 1914 年我到苏黎世起，直到他去世——我记得那是 1919 年。我们合写过一篇文章，但影响绝不止于此。他给我的印象特别深，我编辑了他的著作，那些手稿深深地打动了我。

再就该提到 Hardy 和 Littlewood 了，这是有书——我们写的书——为证的。Hardy 的人品和学识，对我产生了非常大的影响。不过，跟我合作的时间最长，关系最为密切的还要属 Szego。我跟他一起写了两本书和若干篇文章，合作十分亲密。我们的兴趣极其相似又各有千秋。

我们感兴趣的问题都是相同的。不过，对有些问题，他知道更多的解决办法，对另一些问题则相反，我知道得多些。就这样，我们通过写书、作论文，经年累月地互相补足，各趋完善。

访问者：历史上有哪些数学家，比如十七或十八世纪的数学家，对你的影响最大？

Polya：在前辈数学家中，当然是 Euler 对我的影响最大。主要原因在于，Euler 做了一些跟他才能相当的伟大数学家从没做过的事，即他解释了他是如何发现他的结果的。对此，我是如获至宝。当然，这跟我解题的兴趣有关。我没有通晓 Euler 的全部工作，只知道其中极小的一部份。Euler 的著作约有七十大卷，我只读了一小部份。我不是个好的读者。他的少数几篇作品我是下了功夫读的。

解题的艺术

访问者：这正好接上了我要提的下一个问题。你是怎么对启发式教学和解题艺术发生兴趣的？是不是受了哪个人或某件事的影响？

Polya：我想我已在什么地方说起过。对了，是在我的一本书里。我很晚才开始搞数学，曾对生物、文学和哲学有兴趣。当我开始念数学并学到一点东西之后，就产生了这样的念头：呀，原来是这样。证明似乎没有争论的余地，不过，我们是如何发现这些结论的呢？我在念数学时碰到的困难就是：它们是如何被发现的？有几本书对我影响很大。

我只指出两本。一本是 Ernst Mach 写的关于力学史的书。我个人认为，这是我读过的最漂亮的书。我读这本书的时机很好，那时我懂得了一点物理，但只懂那么一点儿，所以正好适合读这本书。Mach 的主要观点是，除非了解了一门理论是如何被发现的，否则便无法理解它。他写的最好的、最有名的书是有关力学的。当然还写有其它内容的书，如讨论热的理论的著作。不过主要的思想是一个：为了真正理解一门理论，你必须知道它是怎么发现的。所以，他走的是启发式教学的路子。

实际上，他的著作里包括一些直接讨论如何解决问题的方法。于是，我开始琢磨这个问题；无意中我又看到了笛卡尔的《思想的推导法则》。这确实是阐述如何解题的，但任何一本哲学史著作都忽略了这一点，因为研究笛卡尔的历史学家并不懂得如何解题。我对文学的兴趣也不无益处。

在研读过的文学作品中，我最喜欢 Hippolyte Taine 的书。他用类似于写科学著作的笔法撰写文艺作品。在论述非确定性的（模糊的）主题时，居然融过了近似科学的方法，使我深感惊讶。当然，我对启发式教育本身的兴趣也起了作用。什么是启发式教育，这个问题本质上是个模糊的问题。你可以在这个模糊的课题中，加进某些必须按科学性办事的规则。我想，这是从 Taine 那里学来的。我还很欣赏他的写作风格。

访问者：请谈谈你和 Gabor Szego 是怎么认识的，Aufzgabenund lehrsatze（数学分析中问题和定理）是怎么写成的？

Polya：好！你瞧，我比他大 7 岁，或者是 8 岁。我拿到博士学位，已经在国外靠奖学金搞研究时，碰到了还在当学生的 Szego。我们志趣相投。当时，我对 Fourier 系数有一个猜想，他给出了证明。

访问者：这是哪一年的事？

Polya：我说不准了，大约是在 1913 年。

访问者：在什么地方？

Polya：布达佩斯。当时，我大部份时间呆在国外，回国时总要到布达佩斯大学访问。我遇到他和他的未婚妻时，他还是个学生。

访问者：你们合写的书首次出版时的反应如何？它们确实与众不同！

Polya：是的，它们有点新鲜味，反映不错。也许人们没有过份强调它们与众不同。这些书的新颖之处在于：把问题集中起来，不是按内容而是按解题的方法进行分类。人们并不是马上就接受这种安排的。但从各方面来的反应都不错。

访问者：是 1925 年出版的吗？

Polya：大概是吧！

怎样解题

访问者：在《怎样解题》这本书中，你探索了解题的一般方法；而在《数学的发现》中，你从初等数学中选出了代表各种类型和原理的许多具体问题。早些时候的著作则讨论更高深的内容。

Polya：应该说，《怎样解题》对读者要求的预备知识最少。凡是对数学有兴趣的人，只要知道一丁点儿数学就可以来读它。当然，他可能在某些方面不得要领。

访问者：不过从数学上看，《Aufgaben und Lehrsatze》和《数学和猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）确实比《数学的发现》要高深一些。

Polya：那当然。《数学的发现》这本书的难易程度，介于那两本书和《怎样解题》之间。我认为它对中学水平的人最适用。你一定知道，那些详细的例题，老师几乎无需改动就可以拿到课堂上讲。我觉得这本书最适合在中学使用。

访问者：我还想问一个这方面的问题。你什么时候对初等教育发生兴趣的？是否跟你在教师进修班给中学老师讲课有关？

Polya：不，我老早就有志于此。我告诉过你，我有一份在低年级教拉丁语和匈牙利语的教师资格证书。实际上，我拿到过在预科学校各个年级教数学、物理、甚至是哲学的教师资格证书。持有这种证书的人非有实际教学经验不可，可见我曾在中学教过书——他们称作预科学校，学生年龄在 10 岁到 18 岁之间。当然，预科学校跟现在的中学有某些差别。

我当过一年真正的教师，积累了教学经验。我要告诉你，我曾两度操笔写这本《怎样解题》。在苏黎世时，我用德文写了一个大纲。后来我去了美国，此举对完成这部书很有益处，因为美国人对“如何去做……”之类的书很感兴趣。顺便提一句，Hardy 有先见之明，他对我作过预言。当我告诉他要写这本《怎样解题》时，他说：“喔，你必须去美国”。到美国后，我又从头开始写，最后用英文完稿出版。它跟原来的德文稿相差甚远；不过我觉得是更好些。

访问者：你希望今后若干年内数学教育应朝什么方向发展？

Polya：数学教育已经在离开“新数学”的轨道了，应该离得更远些才好。有位法国数学家，我说的是 Rene Thom，他认为新数学是“哲学和教学上的错误”。我并不怀疑“新数学”的倡导者们有良好的愿望，但他们毕竟是错了。

访问者：教书、研究、写作、讲演，你最喜欢哪一样？

访问者：你是不是有些打算写而还没着落的书或文章？

Polya：我想总结一下我的工作——也许就顺着这次采访的路子写。不过，我还没搞出一个令人满意的计划。

译后记：Polya 教授是世界知名的数学家和教育家。他的名著《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》及《数学分析中的问题和定理》的第一卷，都已有了中译本。Polya 教授于 1985 年 9 月 7 日在美国病逝，享年 97 年岁。

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