憧灵
因为中国缺乏缜密的逻辑思维体系。
中国有的只是经验，而非科学。
奠定欧洲数学乃至科学体系基础的是哪本书呢？
是欧几里得的《几何原本》，上面详细的介绍了公理化的方法和严谨至极的推导过程。这些方法后来成了建立任何知识体系的典范，包括数学、物理、化学等任何一门科学。
重要的不是推导成果，而是思维方法。有了思维方法，成果迟早可以得到。
中国缺乏科学的分析方法和逻辑体系，所以中国历史上有不少有亮点的科学发现，比如圆周率，以及提问中的一点极限问题，但始终没有发展出有体系的科学。
这和西方通过一层又一层逻辑严谨的推导是有本质区别的。我们可以发现，无论是万有引力，还是微积分，西方历史上的任何一门成果都有推导过程支撑。
而中国这只有一个结果，比如祖冲之只写了圆周率的结果，没写他是用什么方法得出的（割圆术是后人推测）。沈括记录下月亮本身没有光，是折射的太阳光，也没有留下推导过程。
所以宋朝发展不出微积分是极为正常的事情。说古代中国没有发展出科学都不算过，更何况微积分这种高深的知识成果。
但这完全不用担心和自卑。
1953年，爱因斯坦在一封信中曾经写下了关于近现代科学产生基础的著名论断：
“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系(在欧几里得几何学中)，以及(在文艺复兴时期)发现通过系统的实验可能找出因果关系。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。令人惊奇的是，这些发现居然(在西方)被做了出来。”所以说，没发明科学是全世界绝大部分国家的正常操作，发现科学恰恰算得上是奇迹。中国只需要从现在做起就好，不需要因为宋朝的祖先没有发展出微积分而有任何的自卑情绪。
观人间
我不讲别的，我只说一下我在上大学的时候，学校的老师给我讲的一个故事。
在幽门螺杆菌被发现，并且明确了是导致胃炎，胃溃疡的微生物之前。我国某医学院校的研究人员，就曾在实验室发现过这种细菌。并且提出了疑问。
但是，被科研项目的主管教授直接否定，认为是混入了杂菌，重新进行了实验。他们到现在还津津乐道这件事，觉得是一件有与荣焉的事情。
其实呢，是自己放弃了进一步取得成果的机会而已。
其实质，就是思想没有达到足够的高度，自然就没有办法达到更高的成就。
医家故事
首先必须说明的是，我国古代从始至终都是仅有一点点极限的想法而已，却并没有在这个问题再进一步。宋代的确可以算得上是我国古代数学的巅峰，在南宋北宋三百多年的时间里出现的数学成就。
沈括，这个被誉为中国古代百科全书式的科学家在数学上的造诣颇深，他创立了“隙积术”和“会圆术”。
隙积术类似于现在等差数列求和的方法，会圆术则说明了某些特殊情况圆弧面积或者弧长的求法，他重点研究了圆内弦与弧至今的位置以及数量关系。
贾宪在《黄帝九章算法细草》一书中提出了可以开任何次方根的“增乘开方法”，后来杨辉在贾宪的基础上又发展出了可以用增乘开方法去计算四次方根的例子。另外这两位都共享了一个非常著名的结论，杨辉三角，或者叫贾宪三角。
这个三角在排列组合上有着巨大的应用价值。这个三角把二项式系数用图像化的方式展现出来，使得人们在计算高阶二项展开式时，可以非常方便调用各项的系数。在西方，人们通常都把这样的三角形叫作“帕斯卡三角形”。
1665年，布莱士·帕斯卡在论著《算术三角形》中首次提到这个计算三角形，但实际上这至少比贾宪晚了四百年时间。
还有一位著名的数学家秦九韶，这个人的生平其实很精彩，什么都做过，县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。
这里我们只说他的数学成就，他深入发展了“增乘开方法”，并且给出了二十余种利用此方法开高阶次方的实例。
秦九韶同志开推广了孙子定理，发展了一次同余理论。另外秦九韶还得出过一个类似于海伦公式一致的三角形面积计算公式，即已知三角形三边情况下求解面积。秦九韶在多项式求和方面提出过一个算法，我们叫秦九韶算法，此算法在计算多项式和的方法大大简化了系统计算复杂度，直到19世纪初，这套算法才由英国国数学家威廉·乔治·霍纳重新发现并证明，大约晚于中国600年左右。
但是，我们也必须认识到，中国古代的数学实际上都是在发展着算术，或者叫工程数学。很多时代数学家研究的问题其实都算是单打独斗，并没有多少传承，一点不像西方的数学一脉接一脉，连绵不绝。我国古代把算术这门技术算在了六艺中的最末段，国家层面不太支持，那么就自然而然不会有那么多人去深刻的研究了。
就我的理解，我认为微积分最重要的就是极限思想以及对于各种无穷量的考量。
极限思想里，我们看到刘徽，祖冲之等人的割圆术就已经蕴含极限思想了。
倘若他们能够剥离割圆术的本身，而把极限这个思想深入研究下去，或许会发展成为一套理论，让这个理论应用在更多的场合，然而始终都没有。所以说，中国从古代到现在，对于数学的研究都是偏向工程应用类，没有一个完善理论体系的支撑。想要成为一个数学大国的目标仍然是任重而道远啊。
科学认识论
我一向对于“自己祖先也阔过”这样的阿Q式自嗨，十分反感。
所以有强烈的古代中国必然远远领先世界观点的同学，可以从这里先行回避了。
微积分的门槛
宋代的数学是我国古代数学的巅峰，这点我非常赞同。举个简单的例子，沈括就创立了“隙积术”和“会圆术”。杨辉甚至已经搞出了可以用增乘开方法去计算四次方根。
如果这些成就，算是摸到微积分的门槛，那未免有点小看国人的智慧，当然，同样的，也太小看外国人的聪明。
中国的庄周所著的《庄子》“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。不就是朴素的极限概念了吗？
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，也稳稳的透露着近代积分学的思路。
但这些基本都属于个人的天才以及天才的自娱自乐，社会的大环境并不需要微积分。
如果只是扯摸到门槛，那么题主宋代的提法反而不靠谱，反正只需要扯到极限、玩到球面积就达标了，时间线无论中外都可以大幅回调。
所以，我不建议玩这种自嗨的文字游戏，真没什么实际意义。
微积分的产生
有需求，才有创造，时间线到达十七世纪，许多科学问题需要解决，这些问题就成了促使微积分产生。
西方世界，在17世纪时，引发的科学思潮，主要集中在四类问题上：
1、研究物体运动，求即时速度的问题。
2、求曲线的切线的问题。
3、求函数的最大值和最小值问题。
4、求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心问题。
在整明白这些问题的过程中，其中有两个人在此，为了更方便研究而创立了微积分工具，得到了后世的公认，他们就是牛顿和莱布尼茨。
不同的是牛顿研究微积分着重于运动学，他就是力学研究的奠基人；莱布尼茨则是从几何学出发，偏向于数学的应用。
而我们可以思考一下当时的中国社会，耕读传家，考取科举治国齐家平天下，才是主流好不好？这些需求，哪里能够推动出微积分的需求呢？
科学与技术的区别
这是题外话了，但我认为却是解开题主疑问的关键。
我发现一个很重要的问题，就是“科学和技术”的区别，大家认为自己都懂，其实至少50%的人完全分不清这俩概念，从随处可见的——爱因斯坦理论这么厉害，有什么实际应用啊？——这个情况相当严重。
简单来讲，科学是一种探究世界本源的思想、方法、理论，是一种认知论，不是具体的东西；与之对应的是宗教和哲学。
技术是应用，是具体的东西。它可以来自科学，当然也可来自宗教，甚至某个人的天才创造，都有可能。
所以，别再用——杨振宁不回来中国造火箭，所以他比不上钱学森科学成就高——来折磨人类的常识啦！一个不会理发的厨子不是一个好司机，就让它只出现在段子里面吧。
回到古代中国，我们的技术无疑是发达。因为技术发展是需求推动的，经济活动会产生大量需求，而宋代是中国古代经济的巅峰，所以，宋代的技术也是冠绝与中国历史的。
古代经济发达，数学当然也不会差，修房子做木工，收税记账等等，上千万级别的中央财政，你说不识数，可能吗？但是，数学并不是科学。
结语
最后一个知识点，说半天微积分，那么大家使用的数字，是哪位天才发明的呢？
阿拉伯数字0-9共十个计数符号，可不是挖石油的阿拉伯叔叔发明的哦，而是古印度人发明的。
所以，三哥虽然开挂成性，经常承包国际笑点，但是大家可别小看了三哥，人家祖上至少在数学上还真阔过。
猫先生内涵科普
对于这个问题，笔者看一下下面的有关回答，感觉他们回答没有紧扣主题（关键词，宋朝数学家，微积分）要求进行回答，对于宋朝数学家关于微积分的开创性的起始成果说得不够。下面笔者补充说一下，不当之处，留言批评指正。
1.大衍求一术
我们都知道，微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。
而极限概念我们已经在先秦时期产生，求积的无限小方法从魏晋时期的刘徽就开始发展，而到了宋朝，数学家对于求积的无限小方法的探索可以说达到了顶峰，微积分产生的前两个阶段工作我们在13、14世纪就已经完成。南宋大数学家秦九韶于 1274 年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的 “大衍求一术”。
举一个例子，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余4，问此数为几？那么解决这个问题就必须用大衍求一术：找一个数 ，能被3和5整除，并且除7余1 是15，再找能被5和7 整除，并且除3余1 是70，再找能被7和3 整除，并且除5余1 是21，这就是大衍求一，也就是余数为1，将70*2也就是被3除余2 ，这样，（70*2）+（21*3）+（15*4），就是所要的数（这个问题就也被称为中国剩余定理）。
“大衍求一术”就是增乘开方法解任意次数字(高次)方程近似解，“大衍求一术”也是为数不多被世界广泛承认的中国古代数学成就之一。直到十八、十九世纪，大数学家欧拉于公元1743年、高斯于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形给出了严格证明。
英国传教士伟烈亚力在1852年发表的《中国科学摘记》中系统的介绍了《孙子算经》“物不知数”问题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国数学家马蒂生首先指出 “大衍求一术”和数学王子高斯在1801年提出的一元线性同余方程组的通用解法等价；德国著名数学史家康托也高度评价了“大衍术”，并称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。
2.开方作法本源
贾宪（约11世纪中叶），生平事迹记载甚少.据有限资料推测，贾宪生活在北宋时代，其著书年代大致在公元1023~1050年间.
当时贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术都取得了非常重要的成果。
贾宪的主要数学成就反映于《算法敩古集》二卷和《黄帝九章算法细草》9卷之中，可惜前者已失传.13世纪后期，南宋末钱塘（今天的杭州）的数学家和教育家杨辉写了一本《详解九章算法》，其中载有“开方作法本源”图，明初被收入《永乐大典》.清末，英国侵略者把《永乐大典》夺去好多册，其中有画着“开方作法本源”图的那一册，至今仍收藏在剑桥大学的图书馆里.
我们从杨辉抄录的书中可知贾宪的主要成就有二：（1）创造了“开方作法本源”图，即贾宪三角. （2）增乘开方法.它是一种开高次方的新方法.这种方法不仅适用于开平方、开立方，而且还可以用于开三次以上的任意次方.它与1804年意大利的鲁菲尼（P.Ruffin,1763-1822）和英国的霍纳（W.G..Horner,1786-1837）的方法完全一致，西方叫“鲁菲尼-霍纳方法”，但贾宪比他们早约770年.
3.沈括，中国古代最伟大的通才科学家
九百多年前的中国北宋，大科学家沈括的《梦溪笔谈》（该书被英国学者李约瑟誉为“中国科学史上的里程碑”）独创了““隙积术” “会圆术”和“棋局都数术”更是开创了对高阶等差级数求和的研究，开创了中国垛积术研究的先河。南宋的杨辉和元朝的朱世杰对它作了完善和推广。
结束语
可以说中国在十三世纪就已经全面完成了微积分前两个阶段的工作，然而因为元朝的建立，中国对于数学的研究陷入了停滞。元代统治者把人分为十等（一官、二吏、三僧、四道、五医、六工、七猎、八民、九儒、十丐），儒列为九等，居于末等的乞丐之上。读书人收到了残酷的打压，造成了学术与文化上的大倒退，许多读书人为了谋生，甚至只能靠写曲词过活。这导致中国古代数学在微积分研究上彻底落伍。
而1665年11月，牛顿正式发明了正流数术（微分法），第二年5月，在此基础上他建立了反流数术（积分法），并且在同年 10 月，他写了一篇《1666年10月流数简论》，在这篇论文中，他引入了流数的概念，以物理学的方式，对微积分的相关基础知识及运用进行了说明，展示了他提出的流数法的普遍性的系统性，算是微积分的开山之作。1666年莱布尼茨发表了《论组合的艺术》，他的微积分思想主要来源于此。
宋朝数学家可谓是起了个大早赶了个晚集，不得不让人唏嘘。
中学数学深度研究
答：中国自古重视实际应用，没有形成严密的理论体系，所以近代科学没有在中国诞生，哪怕萌芽都没有。
说到中国古代数学，我们能数出许多成就，比如祖冲之计算的圆周率精度，领先欧洲900多年的时间，还有杨辉三角、中国剩余定律等等；甚至中国古代数学的一些方法，已经有极限的概念，比如刘辉的割圆术，但是最终都没有引出微积分。
这其实是必然的结果，微积分不可能在中国出现，因为中国自古以来都是重应用，忽略了理论的重要性，就拿中国古代数学的几个标志性成就来说：
勾股定理
早在商朝时期（约公元前1000多年），中国古人就提出“勾三股四弦五”的说法，但是真正完成勾股定理的证明，是在公元前一世纪左右的《周髀算经》中；而《周髀算经》中的其他内容，重点揭示日月星辰、四季交替，没有去深究更深层本质。
而欧洲的毕达哥拉斯定理，完成于公元前500多年，并且形成了影响欧洲数学上千年的毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派认为数学是万物的本源，试图用数学去解释一切事物，这种辩证思维深深影响者后继的数学家们。
中国剩余定理
中国剩余定理，是中国古代唯一拿得出手的重大基础成就，也是数论四大定理之一；我们深挖中国剩余定理的来源，其实是来自《孙子算经》中的一个问题，书中给出了解答方法，后人根据书中的解答方法，总结出来中国剩余定理。
《孙子算经》中的内容，基本就是一本数学习题集，类似鸭兔的脚有48只，鸭比兔多4只，问你鸭兔各有多少只这样的问题，没有严谨的数学理论，也没有对问题进行提炼和升华。
反观古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，完成于公元前300年左右，书中用最简单的数学公理，利用严谨的数理逻辑，推到出复杂的数学定理和公式，就是一部人类智慧的集大成者。
在中国古代，数学是服务于社会的，我们重视应用确实取得了非常不错的成果，但是数学的天花板也很明显；比如祖冲之利用割圆术，计算到24576条边，耗费大量的时间和精力，得到圆周率小数点第七位精度，这已经是极限了。
但是微积分的发明，让这一切变得非常轻松，比如1706年英国数学家梅钦提出的梅钦公式，可以轻轻松松把圆周率计算到几十位的精度，这就是理论的强大之处，而且微积分没有天花板。
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艾伯史密斯
不可否认，中国古代的数学发展在两宋时期达到巅峰，比如贾宪创立的求高次方程正根的“增开方法”，沈括研究的高阶等差级数求和问题的“隙积术”。
还有沈括用来求弓形弧长的“会圆术”，秦九韶的“大衍总数术”与“正负开方术”等等。这些数学成就确实了不起，但与微积分学的诞生还相去甚远。
在两宋众多的数学成就中，唯一能与微积分搭上边的，可能就是沈括在数学研究中用到的极限方法。学过高数的人都知道，极限是微积分学的理论基础。
而微积分中的极限指的是“极限理论”，它与我国古代极限方法有很大的区别。古代数学虽然涉及到了极限方法，但它与微积分的诞生还隔着数条鸿沟。
极限理论是初高等数学间的一条纽带，它的发展是个漫长的过程。从古代的极限理论的萌芽到微积分的诞生，期间历时近两千年，经过了四个发展阶段。
第一个发展阶段就是公元前430年，古希腊演说家安提丰创立的安提丰极限理论。后人也将这一理论称为“穷竭法”，这算是数学极限理论的萌芽阶段。
第二个发展阶段就是我国魏晋时期，刘徽提出的“割圆术”。他用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的方法求徽率，这正是安提丰极限理论的具体化。
南北朝时期的祖冲之在刘徽的基础上，把圆周率精确到小数点后七位。但这仅仅是对极限方法的应用，包括宋朝在内，也未形成支撑微积分的极限理论。
第三个发展阶段就是十七世纪，费尔马和笛卡尔创立的解析几何。众所周知，解析几何可将代数中的未知数变成变量，为微积分是研究变量变化的过程。
因此，微积分是解析几何的发展。微积分的发展逐步脱离了解析几何，由导数概念形成了完整的理论体系。微积分的基本定理是微积分体系形成的标志。
牛顿和莱布尼茨就是微积分基本定理的发明者，这也是微积分诞生的第四个阶段。微积分定理揭示了变量运动的基本规律，表明了变量客观规律的联系。
由以上介绍，我们可以清楚的看到，从极限方法到极限理论，再到微积分的诞生，不是一蹴而就的，是一个逐渐发展的，各学科间相互联系的一个过程。
不光宋代数学中用到了极限方法，在距它一千年前的魏晋时期，刘徽就已用到极限方法来求圆周率。这能说刘徽已经触摸到了微积分的门槛？显然不能。
而这时的极限方法仅仅只是一种方法而已，远远没有达到形成理论的程度。刘徽和祖冲之的这种“割圆术”，理论上没有古希腊的“穷竭法”逻辑严密。
仅仅是便与实际应用。我国之所以没形成完整的极限理论，主要是当时的生产工具比较简单。机械运动以静力学为主，几何上只计算简单的曲线和圆形。
数学还处于初等数学阶段，社会生产力还没有达到提出微积分思想的水平。每一种数学思想的提出都与生产力发展密不可分，到了两宋时期也是如此。
阿基米德发展后的“穷竭法”在逻辑上非常完美，它被公认为微积分发展的鼻祖。极限是微积分中的一个重要概念，极限理论是微积分的一个理论基础。
从初等数学发展到微积分，是数学量变积累到质变的过程，这一转变过程的重点就是极限理论的发展。当然，微积分的诞生同样离不开解析几何的发展。
微积分的门槛是什么？我觉得应该极限理论、解析几何及生产实践的需要。那么，我们反过来再看，宋朝数学家真的提前300年触摸到微积分门槛了吗？
两宋的数学成就确实很高，但将用到的极限方法，说成是够到微积分的门槛，我觉得有些急功近利和不切实际。我们要用科学的眼光去看待古代数学成就。
野史也是史
沈括不是数学家，他的著作只是正好有一小部分内容可以归入微积分这一学科的应用范畴而已
只是而已，第一个记述太阳的人并不是在研究天文学
用户709746601334
提这个问题的人有没有系统的看过数学史？你能理解微积分的产生背景和发展过程吗？
微积分的产生背景是文艺复兴之后，科技科学快速发展，工业革命有大量实际问题需要解决。这些环境在中国，别说古代，近代都没有。
另外欧洲的科学源自古希腊的根基，没有前人的铺垫，怎么可能有后人的继承发展。你翻阅一下数学史就知道了，中国历史上在数学上的贡献，只有零零点点的闪光点，没有系统的贡献，几乎为零。而古希腊人在2000多年前就搞出了和这样的顶级成就，任何一个类似的古代文明都不能相提并论。
产生这个问题的原因有好几个。各个古文明中，只有古希腊人最喜欢研究真理，喜欢琢磨抽象的东西。中国古人以实用为主，只有术没有法。其他古文明也差不多。
另外一个就是中国古人，读书以做官为荣为正途，其它的学问没有几个人有兴趣的。
这些我是看了数学史的书之后知道的，大家不能看几个公号瞎吹就当真。
酷科技
不好意思！特别不好意思……老农有句话：“羞先人！”……我来打个比方-现在有多少从事癌研究，也有那么多的高级别人才都感觉“摸到了门槛”，甚至于有人都已经“身在此山中”就是不知山在哪儿……再举个例子，实践出真知！直到现在有多少学过微积分的人都不知该用在什么地方！请问你到了门口，摸摸门槛有什么用处？大言不惭！！！到此一游而已～何来一问？。。。宋大宝恐怕连算术都不会吧！
