自公元前479年波斯人在米卡利（Mycale）之戰中敗北，雅典便成為希臘城邦聯盟中的主要城市和商業中心，經濟發達，政治民主、人文昌明。愛奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派以及其他學生都被吸引到雅典來。這裡人們的重點就放在抽象推理方面，並以使理性統治遍及整個自然界和人類作為其宗旨。
一、智者學派簡介
智者（sophists，原指古希臘的哲人，後泛指有智慧、有能力、技藝超群者）學派是雅典的第一個學派，包括各方面的學者大師：文法、修辭、辯證法、演講術、倫理、幾何、天文和哲學。他們以收費授徒為職業，在各種公共集會上發表演說，回答各種問題，對青年進行修辭、論辯和演說等知識技能的訓練，教授參政治國、處理公共事務的本領。
智者學派最主要的代表人物是普羅泰戈拉（Protagoras，約公元前481-前411年），也是第一個收取學費並稱己為智者的。他提出了哲學史上最著名的觀點之一：人是萬物的尺度，是第一個將哲學主題從自然轉向人本的哲學家。他也是第一個採取蘇格拉底式討論方法的人。
智者學派研究數學的主要目標之一是用數學來了解宇宙是怎樣運轉的。有好些數學結果是為解決三個著名的作圖問題而得出的副產品。
二、古希臘三大作圖問題
1、立方倍積：作一立方體，使其體積兩倍於給定立方體的體積。
傳說希臘提洛斯島上瘟疫流行，居民求神得指示：“把神殿前的正立方形祭壇加到二倍，瘟疫就可以停止。”但各種嘗試都無法實現，就請教柏拉圖。柏拉圖告訴他們說神的本意不是要兩倍大的祭壇，而是藉此譴責希臘人不重視數學並對幾何不夠尊崇。由於這一個傳說，立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題。
2、化圓為方：做一正方形使其與給定的圓等面積。
傳說這是公元前5世紀哲學家阿那克薩戈拉在獄中對著方鐵窗和圓月亮想到的問題。
3、用尺規三等分任意角。
該問題傳說是亞歷山大國王為公主造別墅時遇到的。
這三個問題的妙處在於它們非常簡單，實際上卻有著深刻的內涵。它們都要求作圖只能使用圓規和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規，也就是尺規作圖。這是希臘人的幾何傳統，後來在《幾何原本》中被嚴格規定。
兩千多年來，這些問題促使人們得出了很多數學思想和發現，但直到19世紀才證明出，利用直尺和圓規是不可能完成這些作圖的。
三、智者學派對三個作圖問題的研究
1、希皮亞斯（Hippias，約公元前400年前後） 與割圓曲線
希皮亞斯是一個以一切學問為己任的人，在研究三等分角時認識到只使用尺規是不夠的，還要求助其它工具。他發明了一種新曲線叫割圓曲線，這個名稱的由來是因為它也可以解決化圓為方問題。
所謂的割圓曲線（上圖），由這樣的定義所指定：在正方形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑畫圓，邊BC勻速地從從BC運動至AD，同時線段AB繞A點也勻速地從AB旋轉至AD（這意味著AB和AE同時開始運動，也同時到達終點），設運動中的BC為B'C'，運動中的AB為AE，那麼B'C'與AE就有一個交點F，F的軌跡就是割圓曲線。
不同的F點對應著不同的角度EAD，只需要取AB'的三等分點B''，做B''C''平行於AD，B''C''與割圓曲線的交點為L，那麼LA就是角EAD的三等分線。實際上在AB'上取不同的等分點，可以對角EAD進行任意等分。
2、希波克拉底與月牙定理
人們在追求“化圓為方”的難題的解決過程中，發現有一些除圓以外奇妙的曲邊圖形的面積會和某個多邊形面積相等。這種發現最早應歸功於公元前5世紀古希臘最出名的數學家希波克拉底。他首先發現了月牙定理：“以直角三角形兩直角邊向外作兩個半圓，以斜邊向內作半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙形面積之和等於該直角三角形的面積。"（下圖只畫了一個月牙，另一個與之對稱。）
月牙定理結論的優美令人稱奇不已，顯示了割補的技巧，使人相信一個曲邊形的面積竟可以用一個直邊形的面積代替。
希波克拉底對幾何學的貢獻很大，據說定理按其證明所需依據來排先後次序是他最早想出來的，最早把間接證法應用到數學界的也是他。
希波克拉底還指出被立方問題可以化為在一線段與另一雙倍長線段之間求兩個比例中項的問題。令x與y滿足a/x=x/y=y/2a，則x²=ay，y²=2ax，進而得出x³=2a³。這種幾何上的推理方式以後在阿波羅尼斯的《圓錐曲線》中可以看到。
3、其它學者的研究
安提豐（Antiphon，公元前5世紀）在解化圓為方問題時想起用邊數不斷增加的內接正多邊形來接近圓面積。安提豐相信，如果邊數不斷增加，最後一定能“耗盡”多邊形和圓之間的面積，進而達到圓面積成方的目的。
與他同時代的布萊松（Bryson，約公元前450年）把這個問題更推進了一步，既考慮了圓內接多邊形，也考慮了圓外切多邊形。然後安提豐再進一步把圓看作是無窮多邊的正多邊形。這種方法導致完全嚴格但很麻煩的窮竭法，以後可以看到歐多克索斯是如何採納這些想法的。
數學在雅典得以更快發展......
雅典帕特農神廟（Parthenon Temple）遺址
【三大幾何作圖問題的結果證明】
（1）化圓為方問題的結果
1882年，德國數學家林德曼（Lindemann，1852~1939)證明了圓周率π=3.1415926......是超越數，並且尺規作圖是不可能作出超越數來，所以用尺規作圖的方式解決化圓為方的問題才被證明是不可能實現的。
（2）倍立方積和三等分角問題的結果
1830年，18歲的法國數學家伽羅華提出了“伽羅華理論” ，該理論能夠證明倍立方積和三等分角問題都是尺規作圖不能做到的問題。
1837年，法國數學家汪策爾（Wantzel,1814~1848）終於給出三等分角和倍立方積的問題都是尺規作圖不可能問題的證明。
（3）三大幾何作圖難題的意義
雖然三大幾何作圖難題都被證明是不可能由尺規作圖的方式做到的，但是為了解決這些問題，數學家們進行了前赴後繼的探索，最後得到了不少新的成果，發現了許多新的方法。同時，它反映了數學作為一門科學，是一片浩瀚深邃的海洋，仍有許多未知的謎底等待發現。
下一講理想國的柏拉圖學派。
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