雷镐

素数的定义，就是它只能整除于自身，整除于自身必然等于1，那么反过来也就能整除于1，整除于1的商又等于自身。所以仅仅能整除于自身与1的整数就是素数（质数）。

素数，是一切复数的原本，就如化学元素是一切物质的基本元件一样。

化学元素有周期表，很有规律性，素数有素数序列，却没有什么规律性，素数的规律与圆周率一样难以确定，所以计算最大圆周率与计算最大素数成为数学迷们孜孜以求的目标。

素数越大，对密码学的意义就越大，这是素数的一个实用价值。在生物学上，科学家发现了北美质数周期蝉，有13年周期蝉与17年周期蝉两个种群。如果蝉的周期是15年或18年，它们就会被生命周期为2，3，5，6，9年的鸟类吃掉，而13年与17年周期就能避免这个情况。这是生物对质数的一个最好诠释。蝉既然有13年与17年周期，也应该有7年与11年周期，也可能会有19年与23年周期。不过这仅是一个猜测。

质数周期蝉是蝉类中一个特殊的群体，属于聪明蝉。人有愚智，蝉也有愚智，所以有智慧的人类研究素数也是必然了。

降塱盐海

答：素数是所有数字的基础，就如元素周期表中的化学元素一样，化学元素是组成所有化学物质的基础，素数包含了数的所有奥秘，所以数学研究者对素数有着特殊的喜爱。

素数

素数也叫质数，指大于1的自然数中，除了1和它本身外不再有其他因数的自然数，比如2、3、5、7、11、13……。

最初研究素数的是古希腊数学家欧几里得（约公元前330年—前275年），他在《几何原本》中用反证法，对“素数有无穷多个”给出了一个经典的证明方法。

证明思路：

假设存在最大的素数P，那么将已知所有的素数相乘再加1，得到M：
M=2×3×5×7×11×……×P+1，
显然M不可能被已知的任何一个素数整除，所以M有可能是素数，或者存在比P更大但是比M小的素数因子；无论哪种情况，都说明存在比P更大的素数，与假设矛盾，所以素数是无限的。

素数是构成整数的基础，所有整数都可以用素数来表示，如下：

所以素数包含了所有整数的奥秘，整数分解就是破解整数奥秘的途径之一，因为整数分解后只剩下素数因子。

素数的应用

在现实生活中，数的分解是许多网络加密的基础，我们要把两个已知数相乘很容易，但是要把一个大数分解却很难，利用整数的这一非对称特性，密码学家巧妙地设计了加密和解密的数学原理，比如RSA非对称加密算法，就是基于大数分解。

换句话说，一旦出现一种算法能很快地分解一个大数，那么RSA加密方法将失效，但是目前为止还没有出现这样的高效算法。

素数的未解之谜

数学家围绕素数发现了许多规律，其中很多还是猜想，有些历经几百年也没有人能够证明，这些猜想都是数学上的圣杯，谁要是能证明其一，必定名留青史。

（1）哥德巴赫猜想

猜想内容：任何一个大于2的偶数，都可以写成两个素数之和，简称“1+1=2”。

哥德巴赫于1742年提出，如今已经270多年，最好的成果是我国数学家陈景润证明的“1+2”，也就是：任一充分大的偶数，都可以写成一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。

（2）孪生素数猜想

相差2的素数对叫做孪生素数，比如5和7，11和13，该猜想说的是孪生素数有无穷多对。

目前最好的成果，是美籍华人数学家张益唐，在2013年提出一种方法，证明存在无穷多个差小于某个数M的素数对，当时张益唐证明了M=7000万的情况，一旦完成M=2就解决了孪生素数猜想，目前M已经被缩小到了200多。

（3）ABC猜想

该猜想描述了三个互素整数a、b、c（满足a+b=c）的素因子之间的关系，是数论中一个非常美妙的猜想，也是一个非常强的数学猜想，一旦ABC猜想被证明，那么证明费马大定理只需要短短五句话。

ABC猜想最新的消息，是2012年日本数学家望月新一宣称完成了证明，他的证明过程足足有500多页，其中有很多他自定义的符号和算法，以至于到现在还没有人能对他的证明给出合理评判。

（4）黎曼猜想

素数拥有无穷多个，但是素数的分布极为不规律，由于素数在整数中的特殊性，数学家对素数始终有着特殊的爱好，也有很多优秀的数学家竭尽一生去研究素数分布规律。

对素数分布规律的第一个突破性进展，是大数学家高斯在1792年（15岁）发现了素数定理，素数定理说的是素数分布与积分函数渐近，但是高斯也无法证明素数定理，使得素数定理成为19世纪最著名的数学难题，直到1896年，素数定理才被其他人证明。

素数定理是素数分布的渐近公式，但是随着数字的增大，素数定理和素数分布的绝对误差将会趋向于无穷，所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年，高斯的学生黎曼在一篇论文中，扩展了100多年前欧拉发现的一个公式，然后推导出一个素数分布的准确公式π(x)，该公式是否成立，取决于一个猜想是否正确——黎曼猜想。

从黎曼猜想中我们可以看出，素数的分布取决于黎曼函数的非平凡零点分布，由于黎曼函数的所有非平凡零点，对每个素数都有贡献，使得黎曼猜想的证明变得相当艰难。

在2018年9月，89岁高龄的英国数学家迈克尔·阿蒂亚宣称证明了黎曼猜想，引起全世界的关注，可惜他的证明并不成立，他本人也于2019年1月11日去世。

我的内容就到这里，喜欢我们文章的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！

艾伯史密斯

孤僻的旅者--素数

多少学生面对数学时那是“数学虐我千百遍,我待数学如初恋”,有的学生甚至看到数字就头晕眼花。然而有一种数，一直是数学家们研究的香饽饽，多少数学家为了它是夜不能寐，“孤”枕难眠啊，是“数学中的女皇”，既简单得小学生都懂，又难倒无数天才，它就是---素数。

“素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外不能被其他自然数整除的数叫做质数，否则称为合数”。比如说3、5、7就是素数，因为他们满足自然数（自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。它有无穷无尽的个数）并且大于1且除其他数的时候结果不可能为整数。

一．素数的性质

质数（素数）有很多性质我们先简单列举其中几条：

1.\t素数的约数只有1和它自己，再也找不出第三个；

2. 在自然数中每一个大于1 的数，要么本身是质数，要么就可以分解为几个质数之积，

并且这种分解是唯一的；

3. 素数有无穷多个；

二．素数的应用

为什么科学家们这么热衷于寻找素数？一方面，是对于自身理想的追求，孜孜不倦地在数学的高峰上攀登。但另一方面，素数在实际场景当中却体现很大的价值。

1.计算机信息技术中保护通信秘密的“公钥密码”

我们知道，要求两个质数的乘积并不难，但要是给你两个质数的乘积，要你分解成两个质数，在数字稍微大一点的时候，难度就不可思议了。而质数的这一性质使其在密码学中熠熠生辉。

利用该特点进行加密的算法叫做RSA加密算法，于1977年由罗纳德·李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼一起提出。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。RSA加密算法是一种非对称加密算法，它在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。其加密和解密过程如下：一般这样设置的，先是收信人和写信人商定密钥；再次写信人将需传递的信息在编码时加入素数，传送给收信人；最后写信人按照密钥解密。

奥秘在于解密的过程其实是一个寻找素数的过程，但是因为素数本身的复杂特性，使得找素数的过程即（分解质因数）时花费大量时间，从而错过解读信息的最佳时间

可以说素数研究是纯粹数学的精华，也是支撑现代网络经济的基础。我们在网购时，会发送信用卡账号等个人信息。为了防止在此过程中个人信息被盗，必须对这些信息进行加密处理。加密处理正是运用了费马和欧拉等数学家所发现的素数的性质.

2.在工业产品设计的应用

在汽车齿轮的设计上相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，也可增强耐用度，从而降低故障发生率。更神奇的是因为素数具有无规律变化的特点，所以以素数形式变化的导弹及鱼雷，不易被敌人拦截。

3. 生物领域

北美的周期蝉（Magicicada）有着奇特的生命周期。它们要经过一段漫长的时间，每13或17年，才会成群地破土而出。

自17世纪中叶起，科学家就一直对周期蝉的生命周期困惑不已。它们遵循着相同的基本生命周期：幼虫在地底生活13或17年，然后在夏季大量出现。它们爬上树，蜕皮，成长为成虫，然后在短短数周内，成虫相遇、交配、产卵。孵化后，幼虫会回到地底，等待下一个轮回。

为什么是13或者17年，而不是其他数字，而恰好这个数字是素数？当这些周期蝉大量出土繁殖时，周期蝉的天敌大吃特吃，天敌有更多的营养进行繁殖，天敌数量将会大大增加。假设天敌是6年才能性成熟，它的后代又要6年之后才会性成熟繁殖，因为没有周期蝉吃，它们的数量一直是回落的。再假设周期蝉的周期是18年，那么天敌们将在第18年继续大吃特吃，在这个18年周期内产生了更多的天敌，这样每过18年，天敌的总数不断上涨，周期蝉的数量就越来越少了。同理，周期是16年的周期蝉，很可能会被周期为2、4、8年的天敌吃到绝种。

而13年蝉和17年蝉刚好避过了这些可能性，因为13和17是素数，除非天敌每年繁殖，或者刚好13或17年繁殖，否则不可能成为帮助天敌进行繁殖。因为13年蝉和17年蝉选择了素数的生命周期，大幅度降低了帮助天敌繁殖的机会，使得自己能够生存到今天。

数学之美，无处不在。就以素数这个特性而言，一方面，人类在计算机的加密算法上，运用到了素数分布的特性；另一方面，大自然按照既定的规律自然运行，却也产生素数周期的特性，素数周期的生物产生了最大的适应性，实在令人惊叹。这让人联想到，诸如蕴含费波那契数列的松果，具有分形结构的山川河流，与其说这是自然界的神工鬼斧，倒不如说，这是数学规律幕后主使的结果。

三.素数的猜想

1. 哥德巴赫猜想

它可是世界近代三大数学难题的其中之一。1742年6月7日哥德巴赫写信给欧拉提出：“随便取某一个奇数可以把它写成三个素数之和”，今日常见陈述为欧拉的版本，即

任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。比如77可写成三个素数之和，即77=53+17+7；再比如461，可写成461=449+7+5，也为三个素数之和461=257+199+5，仍然是三个素数之和。

2. 孪生素数猜想

它可是数论中的著名未解决问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言有p+2这个数也是素数”，那么是否存在无穷多的孪生素数？

3.梅森素数

还在研究当中。最早迷上质数的人，有文字资料可查的最早迷上质数的人是欧几里得，他是公元前300多年的人，如果生在中国，大约跟秦王嬴政爷爷的岁数是差不多的，他当时用了一种反证法，证明了质数有无穷多个。

神父兼数学家，叫梅森，他也构造出另外一个公式，这个公式可以说就是2的 p 次方再减1，如果这个p 是质数的话，这个公式算出来的数也是质数，常记为梅森数Mp。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。梅森数越大，也就越难出现。目前仅发现51个梅森素数，最大的是M82589933（即2的82589933次方减1），有24862048位数。如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里。

4. 黎曼猜想

被认为是数学史上最伟大的猜想，可用来描述质数的分布。它源自黎曼发表的《论小于给定数值的素数的个数》。正如剑桥大学著名数学家戈弗雷·哈罗德·哈代所说的那样，这些数字之所以是质数，“并不是因为我们认为它们是质数，也不是因为人类特定的思维方式使然，而是因为它们本身就是质数，因为数学现实就是这么构建的”。

奇妙的素数啊，让世界上的数学家们百思不得其解，又痴迷于其中不可自拔。素数有如此众多知识内涵，如此高贵而神秘，不得不感叹，怪不得数学家们对素数这么感兴趣。

最后，以匈牙利数学家保罗·埃尔德什的一句名言作为结束： “至少还要再过100万年，我们才可能理解 素数。”

中学数学深度研究

奇素数对个数密度定理：

0

单位：即墨市瑞达包装辅料厂

邮箱：[email protected]

摘要：素数对的密度是有素数的密度衍生而来的，素数对的存在就是1+1的存在。

关键词：素数定理，奇合数对个数密度定理，密度

证明：

偶数表法数公式：

r2(N)=C(N)+2π(N-3)-N/2

引理：奇合数对个数密度定理

证明：

偶数表法数公式：

r2(N)=C(N)+2π(N-3)-N/2

r2(N)/N=C(N)/N+2π(N-3)/N-1/2

当N趋向于无穷时，上式取极限运算

limr2(N)/N=

N→+∞

limC(N)/N+lim2π(N-3)/N-1/2

N→+∞ N→+∞

根据素数定理有：

limπ(N)/N=0，

N→+∞

而r2(N)＜π(N-3)＜π(N),所以：

limr2(N)/N=0，lim2π(N-3)/N=0

N→+∞ N→+∞

即：

limC(N)/N+lim2π(N-3)/N-1/2

N→+∞ N→+∞

=limC(N)/N+0-1/2

N→+∞

=limC(N)/N-1/2=0

N→+∞

即：

limC(N)/N=1/2

N→+∞

C(N)~N/2

这个结论我们称之为奇合数对个数密度定理

r2(N)/N=C(N)/N+2π(N-3)/N-1/2

此式表示奇素数对r2(N)在偶数N中的密度

r2(N)/N+1/2=C(N)/N+2π(N-3)/N

等于号右边是两个函数的和。

根据引理和素数定理分析：

等于号右边的两个函数和的极限等于1/2

即：

lim(r2(N)/N+1/2)

N→+∞

=lim(C(N)/N+2π(N-3)/N)

N→+∞

limr2(N)/N+1/2

N→+∞

=limC(N)/N+lim2π(N-3)/N

N→+∞ N→+∞

=1/2+0=1/2

limr2(N)/N+1/2=1/2

N→+∞

limr2(N)/N=0

N→+∞

也就是说当N趋向于无穷大时，奇素数对的密度为0。

C(N)/N+2π(N-3)/N的最大值是0.8，有且仅有N为小偶数10产生的：0+2*4/10=0.8，

即当且仅当N趋向于无穷大时，C(N)/N+2π(N-3)/N-1/2是从最大值0.3逐渐趋近于0，

即r2(N)/N是从最大值0.3逐渐趋近于0

由于任意偶数N都不是无穷大，所以，对于任意的偶数N，均有 ：

r2(N)/N>0

从而0

结论：0

从而r2(N)≥1，故1+1命题得到了证明。

友情提醒警示：著作权归作者所有！

瀑布123

素数是自然数中的骄子、他孤独而又傲慢、自然数又是所有数学的基础、所以研究素数自古以来都是数学界的一件大事、中国在这方面的研究及出的成果是世界一流的、现代中国在素数研究中出了著名的数学大师华罗庚、陳景润、张益唐等，他们在解析数论领域的突出成就、运用筛法达到了登峰造杰的境地、陈景润在五十多年前就把哥德巴赫猜想证到1+2世界顶级水平，张益唐先生在2013年就发表了"素数间的有界距离"一文、使用了创新改进的筛法、为证明孪生素数猜想、闯出了一条新路、惊动了数学界、为中国人争了光。

在数学发展的长河中、需要认真刻苦的钻研、也必须对研究的思路和方法进行反思、历史是这样现在也需要这样。哥德巴赫猜想、任何大偶数可表达为两个素数之和也就是1+1、这颗皇冠上的钻石、己伸手可及

五十多年过去了全世界的数学家及数学爱好者、前赴后继地接过陈景润先生的接力棒、但仍无任何进展、原因只可能二个一是命题本身就无解、二就是解析数论这把利剑对此顽石己无能为力、要另辟溪径，张益唐先生2013年5月14日发表论文把两个素数的距离从无穷大缩小到了7000万、数学界运用了他创新的的方法、用一个多月就将7000万的距离缩小到25万、又过了八个多月2014年2月、这个距离只剩下246了、然而到了今天时间又过去了五年八个月、这个距离原地踏步还是246、这就不得不引起我们反思、筛法是不是还需进一步改进或者使用其它手段。

在孪生素数猜想这个命题的证明上、我的观点是必须采用新的思路和手段、单刀直入用自然数中奇数、奇合数、素数、孪生素数自身的特点和优势、自我舍取而得出结论。

先看孪生素数的特点、相互之间的距离只相差2的二个素数为孪生素数、如3和5、11和13、17和19、…两个素数都与某个数相关、3和5与数4相关、4-1为3、4+1为5、其它二个同理与12、18相关、那么思路就有了、能不能有一种方法把孪生素数中的关键数挑出来、也就是例中的4、12、18、找出来后那么孪生素数也就找出来了。

要找关键数先要把奇数研究透、奇数不能被2整除、要想被2整除必须减掉1然后就被2整除了、除后所得的商、是一个重要概念、我称它为是这个奇数的"核"、非零自然数均可能成为某个奇数的核、然而更重要的是一个核可能是二个奇数的核（本质上是两类奇数中的二个奇数的核)、现在先看二类奇数、一类是属于2n+1型的奇数我称它为阳奇数、另一类是2n-1型的奇数、我称它为阴奇数、如果这个奇数是素数那么就称为阳素数和阴素数、如果这个奇数是奇合数、那就分别称作阳奇合数和阴奇合数、如果二个奇数它们的核是相同的、那么这两个奇数我称它为"同核"的二个奇数、"同核"这个概念在证明孪生素数猜想中是关键的发现和运用、在全部证明中要有两个问题应用"同核"概念才能解决、一个是孪生素数的同核概念、另一个是普通单个素数与相关奇合数的同核概念(如13与15、它们共同的核是7、阴奇数13是个素数而阳奇数15是个奇合数、显然单个素数它的同核奇数一定是个奇合数)。好了、现在可以谈找出上述关键数的问题了、应用核的概念3和5的核都是2、2*2+1=5、5是核为2的阳素数、而3是核为2的阴素数2*2-1=3、显然孪生素数是同核素数、上面提及的关键数就是没应用核概念时的表象、应用核概念后、4、12、18、就是核概念中的核2、6、9。

非零自然數中任意选个数、乘以2加上1就成为奇数、那么这个奇数只有三种可能、一种可能是奇合数即此数由二个或二个以上的素数相乘得到的数、第二种就是单个素数、第三种是孪生素数（一个点一个正整数一对孪生素数的同核点），非零自然数轴上的每一个点也就是每个正整数都可以是也确实是不同奇数的核、如果在非零自然数的这根无限长的数轴上、去掉所有奇合数的核、再去掉单个素数的核、显然这两类核不可能占满数轴的每一个点的（但还是必须严格证明的)那么剩下的每一个点都必然是孪生素数的核、一个点即一个正整数一对孪生的核（同核性）。

怎样去掉所有奇合数的核呢？如上所述奇合数的核有二类、一类为阳奇合数核、经过论证它们全部包含在一群无穷等差数列中：3n+1,5n+2,7n+3,9n+4,11n+5…(2t+1)n+t t,n,为非零自然数直至无穷。第二类为阴奇合数核、经过论证它们全部包含在另一群无穷等差数到中：3n+2,5n+3,7n+4,9n+5,11n+6…(2t+1)n+(t+1) t,n,为非零自然数直至无穷。

怎样去掉普通素数也就是单个素数的核呢？什么叫单个素数、也就是、不是孪生素数的普通单身素数、那就是讲这个素数如果是阳素数与它同核的一定是阴奇合数(如果同核的是阴素数就变成孪生素数了)、同理这个素数是阴素数与它同核的一定是阳奇合数、显然上节中在我们去除阳奇合数核的同时也把与它同核的阴素数核同时也去除掉了、在去除阴奇数核时同时也把与它同核的阳素数核去除掉了、所以只要能把所有的阳奇合数核去掉、又把所有的阴奇合数核去掉、同时也就把普通单个素数核全部去除掉了。非零自然数轴上每一个正整数都是连续的、n后的后续一定是n+1、这就是数论范围内的连续性与高等数学中求导时的函数连续性定义是不一样的，现在问题明朗了、在连续的非零自然数轴上每个点也就是每个正整数都可以是一个奇数的核、而奇数核只可能有三种状况、在排除了所有奇合数核以及所有单个普通素数核后、剩下的每个点每个正整数一定是一对孪生素的核、将这个正整数乘以2再加上1就是一个阳孪生素数、乘以2减去1就是一个阴孪生素数、这两个素数就是一对同核孪生素数。

自然数定义为数论范畴内是连续的、它的本征函数就是y=x、在数论范畴中连续的函数也只有它，y=kx+b,这条直线方程、本质上是一个等差数列的通项表达式、只要公差k(直线的斜率)不等于1、那么这个等差数列的所有值在y轴上就不可能连续、k值越大不连续的间距就越大不连续的点就越多，上文论述中在去除非孪生素数核以外的二类核时、我们去除的是二大群、无穷等差数列的所有y轴上的取值、这些等差数列的公差都不等于1、陡着n值t值的增大公差越来越大、即y值的不连读性越来越大、留下的间断点越来越多、而这些间断点每一个点即每一个正整数值都是一对孪生素数的核、自然数的无穷性、无穷等差数列的无穷性造成间断点的无穷性、也就得出了变生素数对的无穷性。

问题到这儿貌似己证明了命题、然而还缺一点、那就是这些无穷等差数列群的取值总和是否会连续呢？单个不连续的无穷等差数列、将多个这样同类的无穷等差数列值域互补后使y值连续的情况是存在的、例如：5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4,这组无穷等差数列的取值总和在互补后在y轴上的值是连续的、也就是不存在间断点的、然而这样的群条件是苛刻的：一是公差要相等二是数列个数与公差数相等三是b值是连续的、其本质是一组距离相等的平行线族，证明中汲及的二组无穷等差数列群只符合一个条件即条件三b值是连续的、前二个条件一个也不成立、其本质是每组都是有共同交点的直线束、其y值总和不可能连续、这就全部证明了在连续无穷的自然数核轴上、在去除全部奇合数核和所有普通素数核后有无穷多个孪生素数核、也就证明了自然数中有无穷多对孪生素数。命题证毕。

张益唐先生交给数学界的命题是如何把二个素数的距离从246缩小到2、即证明了孪生素数猜想，而现在的证明就是跳过246这个障碍、直接从2着手、这个方法更直接、简单、有效、从自然数中各类数的自身性质来研究自然数、这个证明无需专业数学技巧、一般高中生就能理解接受，然而我的相关证明己发表几个月、有可能是"今日头条"不是数学专刊、高大上者可能不屑一顾、然而选择在头条发表也就是为了与广大"条友"诚挚交流、所以今日再用中学生也能理解的方法再证一遍、希望普及面能广一些、讨论的内容也多一些、互相之间能交流提高，也想让大家知道证明数学难题还可选用初等方法来解决、但愿对大家有启发。

王庆元

素数又叫质数。如果你学过化学就应该知道基本元素。学过物理学就应该知道分子原子质子中子。元，素，质这些字，意思差不多。都是基本的意思。素数就是数里的基本数。氯是基本元素，钠也是基本元素。氯化钠就不是基本元素。有了氯和钠，就一定能有氯化钠。所有复杂的东西都是由基本的简单到不能再简单的元素构成。把基本的元素弄清楚了。复杂的东西就不复杂了。就是因为这个原因，数学家对素数感兴趣。其他数叫合数，可以由素数来合成。数理化的研究思路是一样的。都是要把最基本的东西找出来搞清楚。

老子天下倒数第一

研究世界哲学必须研究素数，独一无二不能被除1和自己之间其他任意自然数整除，是研究过程来龙去脉的最佳选项，一个素数存在什么矛盾：A是素数，(肯定)B不是素数，(否定)C是素数或者不是素数(模糊)有可能是奇数D既是素数又不是奇素数，(都是)，2(混钝)E都不是，(无)，哲学有待改善！1是正自然数起始数，研究1才会世界大同

O态总裁

素数涉及到数的可分解性，如果一个数能分解，有些问题就可以大而化小，就容易解决了。

關鍵字: 自身 整除 科学