長樂兮未央
提問的同學首先你要理解數學上的無限是什麼意思。
一個圓，假如指定了半徑大小，那麼這個圓的面積也就確定了。即S=πR²，這個面積計算公式裡有圓周率π。我們都知道π是一個不同尋常的數字，它無限不循環，也就是說，你永遠算不完圓周率，即使用最先進的超級計算機永遠也算不到最後一位。這是圓周率無限的由來，但是同時圓周率又是有界的。
小學生都知道π在3.1415926和3.1415927之間。這個結論最先是由我國古代傑出數學家祖沖之得到的，他使用劉徽創立的割圓術，內外逼近，內接正多邊形是下界，外接正多邊形是上界。就這樣，一直計算到12288邊形，終於得到了這個在當時精確無比的數字。
數學上的無限一般指的都是發散，比如調和級數的和就是發散的，雖然看起來每一項都在逐漸減小，但是你指定一個值，這個級數的和總會加到那個值，雖然調和級數的增加速度非常緩慢。
很多人不理解為什麼圓的面積明明是確定的，計算圓面積的π卻可以是一個無限不循環小數，難道這裡不衝突嗎？
這裡的π只是一個表示圓周率的符號，它和根號2，根號3沒有什麼區別，你在平時計算中可以保留根號2，根號3，那為什麼就不可以保留π呢？根號2和π同樣也是無限不循環小數啊。
假如我們需要具體的計算數值呢？那就根據你的精度要求取多少位來，這一點根本不用擔心，現在人類已經把圓周率計算到小數點後31.4萬億位了。隨便取，不著急！
事實上有人計算過，假如我們把整個太陽系作為一個圓來計算其面積，取π小數點後35位有效數字，就可以把太陽系的面積精度控制在一個質子的大小以內。所以人們日夜不停地計算圓周率，其實不是為了要在實際中用到這麼高的精度，主要目的一個是檢測硬件性能，另外一個更重要的原因是檢驗某些算法的執行效率。
遊戲人超超
提問的同學首先你要理解數學上的無限是什麼意思。
一個圓，假如指定了半徑大小，那麼這個圓的面積也就確定了。即S=πR²，這個面積計算公式裡有圓周率π。我們都知道π是一個不同尋常的數字，它無限不循環，也就是說，你永遠算不完圓周率，即使用最先進的超級計算機永遠也算不到最後一位。這是圓周率無限的由來，但是同時圓周率又是有界的。
小學生都知道π在3.1415926和3.1415927之間。這個結論最先是由我國古代傑出數學家祖沖之得到的，他使用劉徽創立的割圓術，內外逼近，內接正多邊形是下界，外接正多邊形是上界。就這樣，一直計算到12288邊形，終於得到了這個在當時精確無比的數字。
數學上的無限一般指的都是發散，比如調和級數的和就是發散的，雖然看起來每一項都在逐漸減小，但是你指定一個值，這個級數的和總會加到那個值，雖然調和級數的增加速度非常緩慢。
很多人不理解為什麼圓的面積明明是確定的，計算圓面積的π卻可以是一個無限不循環小數，難道這裡不衝突嗎？
這裡的π只是一個表示圓周率的符號，它和根號2，根號3沒有什麼區別，你在平時計算中可以保留根號2，根號3，那為什麼就不可以保留π呢？根號2和π同樣也是無限不循環小數啊。
假如我們需要具體的計算數值呢？那就根據你的精度要求取多少位來，這一點根本不用擔心，現在人類已經把圓周率計算到小數點後31.4萬億位了。隨便取，不著急！
事實上有人計算過，假如我們把整個太陽系作為一個圓來計算其面積，取π小數點後35位有效數字，就可以把太陽系的面積精度控制在一個質子的大小以內。所以人們日夜不停地計算圓周率，其實不是為了要在實際中用到這麼高的精度，主要目的一個是檢測硬件性能，另外一個更重要的原因是檢驗某些算法的執行效率。
徐曉亞然
這位朋友，我覺得你對數學上的很多概念理解有問題。
最簡單地說，無限不循環小數不是“無限的”。比如說著名的“根號二”就是一個無限不循環小數，其大小為：1.414...，小數點後面的數字是不會循環的。
但是很明顯的，這個數字不是“無限的”，這個數字的大小大於1.414，小於1.415，所以其大小是有限的。所以無限不循環小數雖然你沒有辦法用有限位數字把它寫下來，但是它的大小是有限的。
而圓周率也是一樣的，圓周率的大小為3.1415926...，同樣是一個無限不循環小數，但是這個數字大於3.14、小於3.15，所以也是一個有限的數字。
而圓的面積、周長是有限的，直徑也是有限的，所以周長與直徑的比也是有限的——這不就對上了嗎？
總之，小數點後面的位數雖然是無窮多的，但是這個數字的大小卻不是無窮大的，這一點兒也不難理解，不知道你為什麼會有如此的疑問。
航小北的日常科普
用高等數學微積分一下子就能明白其為何是無限值，無限接近真實值。簡單說，一個圓被分割成無數個容易計算的小方形拼成，計算小方形面積之和就能知道圓面積，但因為無論小方形多麼小，距離圓形邊緣始終有縫細，這就導致始終有誤差。小方形越小，誤差越小，這種方法計算圓面積只能是無限接近真實值，且永遠不會是圓面積的真實值。我們課本上很多數學和物理公式都是從微積分原始公式經過多次推導演算後得出的近似值結果的簡化公式（圓周率就是演算過程中的產物）。所以，對某些公式費解的時候，看看微積分原始公式時就會很直觀的明白其原理。
shenzhengaogao
或許10進制的數學，並不足以解釋這個世界！那麼換一個進制，圓周率會不會變成一個整數？
就像一年有12個月 24個節氣，一天有24個小時,一個小時有60分鐘，一分鐘有60秒！這些都不是10進制，計算時間的時鐘 錶盤是12進制…
紫夜69123999
圓周率是圓的周長與直徑的比值，和麵積沒有關係，這一點需要澄清一下。圓周率顧名思義就是圓的周長與直徑的比值而已。圓周率可以用希臘字母π來表示。
這裡需要釐清幾個概念：
首先，π是個無限不循環小數，而不是無限的
當我們知道直徑是多少的時候，我們就可以用直徑乘以π，求得周長是多少，同樣，當我們知道周長是多少的時候，我們可以用周長除以π，得出直徑是多少。這在實際運用中非常方便。我們可以根據精度的需要來取捨π的小數位數。當我們不需要很精確的時候，可以按3來計算，如果需要得很精確，那麼就可以保留到3.14或者更多位數。
π是個無限不循環小數，數的大小在3.14至3.15之間。它就是一個實實在在的數字而已，只不過用小數的形式無法完整的把它的全部呈現在我們面前，只能用省略號表示沒錄的部分。
其次，要弄清楚π是怎麼算出來的
大家知道，無理數一般都是由根號開出來的，比如根號2等於1.414……，這就是個無限不循環小數。那麼，π是怎麼算出來的呢？最初的時候，就是畫一個足夠大的圓，然後用精度好的尺子測出周長和直徑進行計算就行了，但是，這樣的話，難免會有誤差的，所以我們的祖先們費了很大的勁，也只能精確到小數點後五六位。
再精確的測量都不如直接用數字計算來得精確。怎麼通過不用測量就能計算出圓周率的數值呢？
原來，人們是用內切正多邊形的周長來代替圓的周長來計算的。當內切正多邊形是六邊形的時候，周長與直徑的比值為3，當變成正12邊形的時候，這個比值就變成3.2左右了。因為在計算的時候用到斜邊直角邊的關係，就有了開平方，那麼無理數也就出來了。
第三，圓周可以看成是一個正的無窮邊形，因此π的計算永遠不會停止
其實，任何一個整數都可以轉化成一個無限循環小數，比如1=0.9999……。同樣，圓也可以看成一個正的無窮邊形，這樣，π的值就可以無限的計算下去啦。
愛河北人
題主的意思大概是，由於圓的面積和半徑不可能是無限循環的，所以π的值也不可能是無限循環的，而應該是一個有理數。
首先題主可能認為圓內的面積應該是一個有理數定值，不可能是無理數，然而沒有任何定理規定圓的面積必須是一個有理數，實際上只要圓的半徑是一個有理數，那麼面積就必然是一個無理數，因為π乘以任何有理數的平方，都必然是無理數。
其次題主應該是犯了經驗主義的錯誤，認為我們用尺子去測量，必然不可能把半徑或周長量出無理數來，所以就想當然地認為圓面積不可能是無理數，參照我上一條的說法，這顯然是錯的。
和經驗主義相反的是，只有半徑為與π相關聯的無理數x/根號π，圓的面積才可能是一個有理數，也就是說我們可以堂而皇之地宣稱，這個圓的面積是25平方釐米，65平方米等等。所以我們永遠無法用圓規實際畫出一個面積正好等於某個有理數的圓，很顯然，你圓規畫出的圓，半徑應該是一個有理數值，所以圓面積必然就是一個無理數。
好吧，繞得有點暈，實際只要記住一點，除了半徑等於x/根號π的圓，所有圓的面積都是無理數；除了半徑等於x/π的圓，所有圓的周長都是無理數。
剛剛想到的，不知道歸納窮盡沒有，歡迎指正，謝謝。
徐德文5分鐘科學頻道
作者之所以提出這個問題，時把無窮和無限這兩個概念搞混了。題目嚴格來說，應該這樣表達：圓的面積絕對不會是“無窮大”的，圓的半徑也絕對不會是“無窮大”的，那圓周率到底是不是有限的？這樣說才對，而且這麼已經修正，相信答案已經呼之欲出：
答：圓周率是一個有限大小的數字，但是小數個數卻是無窮的。
無窮和無限
無窮和無限可以認為是形容詞，一般形容大和小。比如說無窮大， 那就是說這個數字大的不能再大了。在數學上，無窮可以用符號∞表示，無窮大+∞，無窮小用-∞。無限形容的名詞就比較多了，一般說的是個數，表示個數很多，多的無法統計。所以，我們可以說圓周率的位數無限，而不能說圓周率無限，因為圓周率π就一個。
圓周率<strong>
<strong>圓周率是圓形周長和直徑的比值，是一個常數。雖然圓周率數字是常數，但是它的位數確實無限的，是一個無理數，我們無法直接寫出完整的π。很多人不太理解，為何一個數有限大小，但是我們卻寫不盡。但其實數學上有很多這樣的數，比如√2，√3等等，都是這樣的樹，我們可以在數軸上找到代表它們的點，但就是無法寫出它們。為何會這樣？就是因為數字是連續的。
但是現實世界卻不一定這樣，很多物理量是不連續的。特別是量子世界，比如能量，它就是不連續的，有一個最小的能量值。還有原子的軌道和能級等等，都是不連續的，和數字不一樣。
科學探秘頻道
一個直徑是一米的圓，它的周長是3.14無限下去。但是它的長度永遠不會超過3.15。就像一個直角邊是一米的等腰直角三角形。它的斜邊是1.414無限下去,但是它的長度永遠不會超過1.415.所以傻叉們千萬不要再意淫圓周率了。如果你想意淫圓周率，麻煩不要把根號2給漏了。因為根號2也能滿足你同樣意淫想像。如果你還想不通，我只能奉勸你去學一學收斂這樣的概念。這樣的概念其實高中課本里面就有。
崔傑8476
無論圓的面積、周長和半徑是否無限，圓周率π的小數位都是無限的，這是毫無疑問的。圓周率的大小不取決於圓的大小，圓周率是一個恆定的常數，只是這個常數不是有理數，而是無理數。圓周率的大小是有限的，只是小數位是無限的。
從數學上可以證明，對於任意一個圓，它的周長與直徑之比以及面積與半徑平方之比都是相等的常數，它就是圓周率。進一步證明表明，圓周率還是一個無限不循環的小數，它的小數位是永遠也算不盡的。目前，人類用超級計算機把π的小數位算到了31.4萬億位。但縱使超級計算機的計算能力再怎麼強大，也是無法算盡圓周率。
由於圓周率是無理數，那麼，圓的面積、周長和半徑之中都有可能是無理數。例如，如果一個圓的半徑為1，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2π和π。在這種情況下，半徑為有理數，周長和麵積都為無理數。
再假設圓的半徑為1/π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2和1/π。在這種情況下，半徑為無理數，周長為有理數，面積為無理數。
如果圓的半徑為1/√π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2√π和1。在這種情況下，半徑為無理數，周長為無理數，面積為有理數。
總之，由於圓周率是無限不循環的小數，這就使得圓的面積、周長和半徑不可能都是有理數。但不管怎樣，圓都是確定的，半徑、周長和麵積都有確切的數值，只是這個數可能擁有無窮無盡的小數位。
另外，只有在nπ進制下，歐氏幾何中的圓周率才會是一個有理數。而在其他進制下，尤其是人們常用的二進制、八進制等整數進制下，圓周率都是無理數。這種情況放在宇宙中的任何地方都是成立的，我們這個宇宙就是有這樣的規律。
如果在非平直的時空中，圓周率則不是常數，其大小會隨著曲率而變化。在曲率為正的球體上，圓的周長與直徑之比會大於π，並且這個數值會隨著曲率的增加而減小。而在曲率為負的雙曲面體上，圓的周長與直徑之比會小於π。
