烏文俊
前言
前面轉載過一篇關於傅里葉變換原理的文章《一篇難得的關於傅里葉分析的好文》。那篇文章寫得非常棒，淺顯易懂，可以說稍有基礎的人都能看懂那篇博文。但是那篇博文更多的是從信號處理的角度以及原理的角度講述傅里葉變換。那麼在數字圖像處理中，傅里葉變換之後得到的頻譜圖又有怎樣的運用呢？這篇博客就是為了簡單講講傅里葉變換在數字圖像處理中的意義和基本應用，如有錯誤請各位指出。
數字圖像的傅里葉變換
通過前面的博文已經知道傅里葉變換是得到信號在頻域的分佈，數字圖像也是一種信號，對它進行傅里葉變換得到的也是它的頻譜數據。對於數字圖像這種離散的信號，頻率大小表示信號變化的劇烈程度或者說是信號變化的快慢。頻率越大，變化越劇烈，頻率越小，信號越平緩，對應到圖像中，高頻信號往往是圖像中的邊緣信號和噪聲信號，而低頻信號包含圖像變化頻繁的圖像輪廓及背景等信號。
需要說明的是，傅里葉變換得到的頻譜圖上的點與原圖像上的點之間不存在一一對應的關係。
頻域數據的應用1. 圖像去噪
根據上面說到的關係，我們可以根據需要獲得在頻域對圖像進行處理，比如在需要除去圖像中的噪聲時，我們可以設計一個低通濾波器，去掉圖像中的高頻噪聲，但是往往也會抑制圖像的邊緣信號，這就是造成圖像模糊的原因。以均值濾波為例，用均值模板與圖像做卷積，大家都知道，在空間域做卷積，相當於在頻域做乘積，而均值模板在頻域是沒有高頻信號的，只有一個常量的分量，所以均值模板是對圖像局部做低通濾波。除此之外，常見的高斯濾波也是一種低通濾波器，因為高斯函數經過傅里葉變換後，在頻域的分佈依然服從高斯分佈，如下圖所示。所以它對高頻信號有很好的濾除效果。
高斯函數在頻域的分佈圖像
2. 圖像增強及銳化
圖像增強需要增強圖像的細節，而圖像的細節往往就是圖像中高頻的部分，所以增強圖像中的高頻信號能夠達到圖像增強的目的。
同樣的圖像銳化的目的是使模糊的圖像變得更加清晰，其主要方式是增強圖像的邊緣部分，其實就是增強圖像中灰度變化劇烈的部分，所以通過增強圖像中的高頻信號能夠增強圖像邊緣，從而達到圖像銳化的目的。從這裡可以看出，可以通過提取圖像中的高頻信號來得到圖像的邊緣和紋理信息。
3. 其他基於頻譜和相位譜的操作等
下面我們通過代碼來看一下是否真如我們想想的一樣。
代碼運行結果
如果在圖像中加入噪聲，結果會如何呢？
結果分析
從上面的結果可以看出，低通濾波會讓圖像變得模糊，可以對圖像進行模糊處理，濾除圖像的噪聲，高通濾波獲得了圖像的邊緣和紋理信息。此外，通過增強圖像的高頻信號，可以增強圖像的對比度，因為圖像中的高頻信號主要是出現在邊緣及噪聲這樣的灰度出現躍變處的區域。
從頻譜圖上可以看出，當將頻譜移頻到原點以後，圖像中心比較亮。在頻譜圖中，一個點的亮暗主要與包含這個頻率的數目有關，也就是說在空間域中包含這種頻率的點越多，頻譜圖中對應的頻率的位置越亮。而經過頻移後，頻率為0的部分，也就是傅里葉變換所得到的常量分量在圖像中心，由內往外擴散，點所代表的頻率越來越高。可以從上面的結果中看出，只取核心的小範圍內的低頻信號再將其轉換回到時域空間，已經能夠在一定程度是看到圖像的基本輪廓信息，這說明了圖像中的“能量”主要集中在低頻部分。
實際上，為了方便理解，可以把圖像的二維傅里葉變換得到的頻譜圖看作圖像的梯度分佈圖（兩幅圖像中的點並不是一一對應），頻譜圖中的某一個點所表徵的是空間域中某一個點與周圍點的灰度差異性，灰度差異越大，則頻率越大。當然時域中灰度變化劇烈的區域也包含了低頻信號，因為低頻信號是構成圖像信息的基礎。
已完。。。
包羅萬匠
前言
前面轉載過一篇關於傅里葉變換原理的文章《一篇難得的關於傅里葉分析的好文》。那篇文章寫得非常棒，淺顯易懂，可以說稍有基礎的人都能看懂那篇博文。但是那篇博文更多的是從信號處理的角度以及原理的角度講述傅里葉變換。那麼在數字圖像處理中，傅里葉變換之後得到的頻譜圖又有怎樣的運用呢？這篇博客就是為了簡單講講傅里葉變換在數字圖像處理中的意義和基本應用，如有錯誤請各位指出。
數字圖像的傅里葉變換
通過前面的博文已經知道傅里葉變換是得到信號在頻域的分佈，數字圖像也是一種信號，對它進行傅里葉變換得到的也是它的頻譜數據。對於數字圖像這種離散的信號，頻率大小表示信號變化的劇烈程度或者說是信號變化的快慢。頻率越大，變化越劇烈，頻率越小，信號越平緩，對應到圖像中，高頻信號往往是圖像中的邊緣信號和噪聲信號，而低頻信號包含圖像變化頻繁的圖像輪廓及背景等信號。
需要說明的是，傅里葉變換得到的頻譜圖上的點與原圖像上的點之間不存在一一對應的關係。
頻域數據的應用1. 圖像去噪
根據上面說到的關係，我們可以根據需要獲得在頻域對圖像進行處理，比如在需要除去圖像中的噪聲時，我們可以設計一個低通濾波器，去掉圖像中的高頻噪聲，但是往往也會抑制圖像的邊緣信號，這就是造成圖像模糊的原因。以均值濾波為例，用均值模板與圖像做卷積，大家都知道，在空間域做卷積，相當於在頻域做乘積，而均值模板在頻域是沒有高頻信號的，只有一個常量的分量，所以均值模板是對圖像局部做低通濾波。除此之外，常見的高斯濾波也是一種低通濾波器，因為高斯函數經過傅里葉變換後，在頻域的分佈依然服從高斯分佈，如下圖所示。所以它對高頻信號有很好的濾除效果。
高斯函數在頻域的分佈圖像
2. 圖像增強及銳化
圖像增強需要增強圖像的細節，而圖像的細節往往就是圖像中高頻的部分，所以增強圖像中的高頻信號能夠達到圖像增強的目的。
同樣的圖像銳化的目的是使模糊的圖像變得更加清晰，其主要方式是增強圖像的邊緣部分，其實就是增強圖像中灰度變化劇烈的部分，所以通過增強圖像中的高頻信號能夠增強圖像邊緣，從而達到圖像銳化的目的。從這裡可以看出，可以通過提取圖像中的高頻信號來得到圖像的邊緣和紋理信息。
3. 其他基於頻譜和相位譜的操作等
下面我們通過代碼來看一下是否真如我們想想的一樣。
代碼運行結果
如果在圖像中加入噪聲，結果會如何呢？
結果分析
從上面的結果可以看出，低通濾波會讓圖像變得模糊，可以對圖像進行模糊處理，濾除圖像的噪聲，高通濾波獲得了圖像的邊緣和紋理信息。此外，通過增強圖像的高頻信號，可以增強圖像的對比度，因為圖像中的高頻信號主要是出現在邊緣及噪聲這樣的灰度出現躍變處的區域。
從頻譜圖上可以看出，當將頻譜移頻到原點以後，圖像中心比較亮。在頻譜圖中，一個點的亮暗主要與包含這個頻率的數目有關，也就是說在空間域中包含這種頻率的點越多，頻譜圖中對應的頻率的位置越亮。而經過頻移後，頻率為0的部分，也就是傅里葉變換所得到的常量分量在圖像中心，由內往外擴散，點所代表的頻率越來越高。可以從上面的結果中看出，只取核心的小範圍內的低頻信號再將其轉換回到時域空間，已經能夠在一定程度是看到圖像的基本輪廓信息，這說明了圖像中的“能量”主要集中在低頻部分。
實際上，為了方便理解，可以把圖像的二維傅里葉變換得到的頻譜圖看作圖像的梯度分佈圖（兩幅圖像中的點並不是一一對應），頻譜圖中的某一個點所表徵的是空間域中某一個點與周圍點的灰度差異性，灰度差異越大，則頻率越大。當然時域中灰度變化劇烈的區域也包含了低頻信號，因為低頻信號是構成圖像信息的基礎。
