功夫120

大家好，我是江右老王，专注教育领域有一段时间了。偶尔也会调皮跨行业说几句牢骚话！

Л是一个无理数，那么圆的周长也应该是无理数，但圆的周长是固定的啊，怎么解释？

在谈之前，先普及一下π的知识点。

π是圆周率，我们国家在12世纪之前就已经有过研究。比较粗糙，认为它是为3.

无理数的认识

我们通俗的认识就是无限不循环小数。

认知错误就是在一个是π是周长与直径的比值，还有一个就是无理数不能写作两整数之比。

这里我们要理解的是三分之π，它不是分数，它是个无理数。有理数乘以或者除以无理数它的结果必然是无理数，有理数加上或减去无理数它的结果还是一个无理数。

而我们的π，也就是圆周率它是周长与直径的比值。只要周长当中任意一个是一个无理数，它的结果毫无疑问是无理数。

圆的周长是固定的，当然直径也是固定的。但是这里面也许圆的周长的数值是一个有理数，但你能保证它的直径的长度的数值也是一个有理数吗？这里面就牵扯到真值与测量值之间的关系。测量值与真值之间的关系只能是无限接近，不能达到完全相等。不管多精密的仪器测出来的值它总是有误差的。我们根据这个关系基本可以确定，我们在学习计算中的周长和直径的值当中必然有一个都是估计值。而且它的真值必是一个无理数。

所以我们不能说周长是固定的它与直径的比值就是有理数。要知道π它是个固定值，但它也是一个无理数哦~

江右老王

在代数上，π＝3.1415926... 是一个无限不循环小数，直觉告诉我们它一直在变动的数。在几何上，直径等于1的圆周长度是π，生活常识告诉我们圆周是长度固定不变的曲线。但是，不管是代数还是几何都是同一个π，于是截然相反的直觉和常识中只有一个是对的，那就是常识，即：π是固定不变的。

那么，为什么我们在代数上的直觉错误呢？这和称作极限的数学概念有关。

极限最早是和一些悖论联系在一起的，其中最有名的莫属古希腊时期芝诺提出的追龟问题：

古希腊跑的最快的英雄阿基里斯追赶一只爬在前方的乌龟。阿基里斯对准乌龟的当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟已经向前爬了一段，于是阿基里斯又对准乌龟的新当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟又向前爬了一段，于是...。

这个循环会进行下去，我们的直觉告诉我们 阿基里斯 永远 追不上 乌龟。可是这又违反我们的生活常识：跑的快的人总可以追上跑的慢的人。同一个事物只能有一种可能，这里，常识是对的，直觉又是错的。

我们可通过具体分析找出问题之所在，设，阿基里斯 和 乌龟的 速度分别是 w 和 v，显然 w > v > 0，最初阿基里斯距离乌龟的距离是 l，则：

最初阿基里斯距离乌龟 l，阿基里斯跑完 l 用时 t₀＝l/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁＝vt₁＝v(l/v)＝l(v/w)，阿基里斯跑完 l₁ 用时 t₁＝l₁/w＝l/w(v/w)；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝vt₂ ＝l(v/w)²，阿基里斯跑完 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝l/w(v/w)²；

...

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝vtᵢ₋₁ ＝l(v/w)ⁱ ，阿基里斯跑完 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=1/w(v/w)ⁱ；

...

令，q = v/w ，则阿基里斯追赶距离呈现如下序列：

l, l q, l q², ..., l qⁱ, ...

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离是：

Lᵢ = l + l q +l q² + ... + l qⁱ

等式两边同乘以 q，有：

q Lᵢ = l q + l q² + ... + l qⁱ + l qⁱ⁺¹ = (l + l q + l q² + ... + l qⁱ ) + l qⁱ⁺¹ - l = Lᵢ + l qⁱ⁺¹ - l

最终得到：

Lᵢ = l(1 - qⁱ⁺¹) / (1 -q)

阿基里斯对乌龟的追赶会一直进行下去，当 i → ∞ 时，由于 w > v > 0，故 0 < q < 1，所以 qⁱ⁺¹ → 0，进而 Lᵢ → l / (1 - q)。令 L = l / (1 - q)，L 就是阿基里斯刚好追上乌龟所跑的距离。

类似地，阿基里斯追赶所用的时间呈现如下序列：

l/w, l/w q, l/w q², ..., l/w qⁱ, ...

第 i 轮追赶结束时，追赶总用时是：

Tᵢ = l/w + l/w q +l/w q² + ... + l/w qⁱ

用上面的方法，可以算出：

Tᵢ = l (1 - qⁱ⁺¹) / (w - qw)

同理，当 i → ∞ 时， qⁱ⁺¹ → 0，进而 Tᵢ → l / (w - qw)。令 T = l / (w - qw)，T 就是阿基里斯刚好追上乌龟所用去的时间。

综上，阿基里斯追赶乌龟看似是无限循环下去的，但是随着循环次数的增加，追赶的距离和所花费的时间越来越小，以至于将他们加起来得到的总距离和时间都是固定有限的值，这刚好符合上面的常识。实际上，追赶问题仅仅是小学数学应用题，可以直接由联立方程：

L/w = T，l + Tv = L

解得：

L = l / (1 - v/w)，T = l / (w - v)

这和上面折腾了半天的结果完全相同。

追龟问题告诉我们：被分割为无限轮循环的动作序列，并不一定是会永不停歇的进行下去，因为每轮循环所占有的空间和所花费的时间可能会越来越小趋近于零。

到这里即便是事实摆在面前，肯定还有人像我一样，依然觉得追龟会一直进行下去，我是这样说服自己的：

• 直觉：一个无线的序列加起来怎么可能有限？可以，极端的例子 就是 可列个 0 加起来等于 0；
  

• 直觉：总觉得序列相加需要花费时间？
• ◆ 在数学上，运算只有算了才花费时间，上面的追龟问题，利用巧妙的方法，避免了无限次相加的运算，所以所花时间固定。
  
• ◆ 在现实中，事物相加需要时间，但是花费时间可以越来越小趋近于 0，上面的追龟问题就是例子。
  
  

其实，在追龟问题求解过程中， L₀, L₁, L₂, ..., Lᵢ ... 也是一个序列，记为 { Lᵢ }，L 称为序列{ Lᵢ } 的极限，同样，T 称为序列 { Tᵢ } 的极限。并不是所有序列都有极限的，比如：

一尺之棰日取其半万世不竭。

每1天取一次，所以每次用时构成序列：

1, 1, 1, ...

第 i 次，总用时为：

Tᵢ = 1 i = i

当 i → ∞， Tᵢ → ∞，故 序列 {Tᵢ } 没有极限，即，所谓的：万世不竭。

回到 π 的问题。令 q = 1/10, 则 π 的 十进制小数 (3.1415926...) 的所有位数构成一个序列：

3, 1q, 4q², 1q³, ..., kᵢ qⁱ , ...

其中，kᵢ 是自然数 并且 0 ≤ kᵢ ≤ 9，数列部分和如下：

πᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

构成另外一个序列 { πᵢ } = π₀, π₁, π₂, ..., πᵢ , ... ，接下来就是判断 i → ∞ 时，πᵢ 是否有极限了。由于 kᵢ 不确定，所以我们不能使用追龟问题的方法将 πᵢ 具体求出来，再进行判断。不过好在数学家研究了实数空间，发现它是完备的，即，所有 柯西列 的极限都存在。 于是我们只要证明 { πᵢ } 是柯西列就可以了：

根据柯西列定义，如果序列 {aᵢ} 对于任意小的 ε > 0 都能找到 自然数 N 使得对于任意自然数 u, v > N，都有 | aᵤ - aᵥ | < ε，则称 {aᵢ} 是柯西列。

对于任意的 ε > 0，一定存在 N 使得 qᴺ < ε，对于任意 u, v > N，不妨设 u > v，则有：

| πᵤ - πᵥ | = πᵤ - πᵥ = kᵥ₊₁ qᵛ⁺¹ + ... + kᵤ qᵘ ≤ 9 qᵛ⁺¹ + ... + 9 qᵘ = 9 qᵛ⁺¹ (1 - qᵘ₋ᵛ) / (1 - q)

将 q = 1/10 带入，有：

| πᵤ - πᵥ | ≤ 9 (1/10)ᵛ⁺¹ (1 - (1/10)ᵘ₋ᵛ) / (1 - 1/10) = (1/10)ᵛ - (1/10)ᵘ = qᵛ - qᵘ

因为 qᵘ > 0，所以：

| πᵤ - πᵥ | < qᵛ

又因为 v > N, 所以 qᵛ < qᴺ ，于是最终有：

| πᵤ - πᵥ | < qᴺ < ε

这就证明了 { πᵢ } 是柯西列，故，当 i → ∞ 时，πᵢ 的极限存在，它就是 π。

这个证明过程并没有，将序列中的每一项计算出来，因此在时间和空间上，这个证明 也是有限的，也就是说“π是固定的”可以在有限的空间和时间中确定，所以“π是固定的”是事实。这和我们的几何常识 相符。

但是，由于我们并没有具体计算出来每个 {πᵢ}，所以我们依然不知道 π 的具体 值。想知道 π 的值只能老老实实 计算，每次计算所花时间基本相等，所以 “计算 π 值”这件事件是永远不会结束的。

注意：知道一个数是固定的 和 知道它的确切值 是两回事情，后者蕴涵前者，前者不蕴涵后者。

无限不循环小数，3.1415926... 就是 { πᵢ } 的极限 π，是固定的数字。只是我们不能在有限的时间内确定它的所有小数位。

我们也可以这样理解：阿基里斯追赶一个前方变速爬行的乌龟，阿基里斯的速度是 w，乌龟速度每轮都不一样，

起初，阿基里斯距离乌龟 l₀ = 3 ， 阿基里斯追赶 l₀ 用时 t₀ = l₀ / w = 3/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁ = 1q，阿基里斯追赶 l₁ 用时 t₁ = l₁ / w = 1/wq；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝4q²，阿基里斯追赶 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝4/wq²；

...

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝kᵢqⁱ ，阿基里斯追赶 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=kᵢ/wqⁱ；

...

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离和总时间是：

Lᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ

Tᵢ = (3 + 1q + 4q² + 1q³ + ... + kᵢ qⁱ )/w

随着，追赶轮次的增加，乌龟爬行距离越来越短，阿基里斯追赶时间也越来越短，最终 当 i → ∞ 时，Lᵢ → π，Tᵢ → π/w。所以，阿基里斯和乌龟证明了 追赶 π 这么长距离 这件事，在有限的时间和空间是可以完成的，故 π 一定是固定不变的。

最后，大家有没有发现 {πᵢ} 中的每一项 都是有理数，而 {πᵢ} 的极限 π 却是 无理数？

其实，数学家证明了，有理集在实数轴上稠密。所谓稠密就是指：实数轴上任何一个点（包括无理数），都可以找到一个有理数序列，使得后者的极限是前者。

这和 {πᵢ} 的极限是 π 相符合。

极限是 π 的有理数序列并不唯一，比如：

• 圆的内接正 i 边形周长 Cᵢ ；

• Sᵢ = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + ...；

都是极限趋近于 π 的有理数序列。

思考思考的动物

直接上图（不好意思关于这方面可能也就是大众水平，简要谈一下自己看法）

无理数，无限不循环小数，但不等于他不是固定的，恰恰相反，它是固定的。

初中数学知识：任何一个实数都能够在数轴上找到位置！而且，数轴上任意一点，它是无理数的概率比有理数要大得多。（比买张彩票中头奖概率还要低，如果是任意的，基本上你是不可能碰到有理数的）那么根据数轴上原点到该点距离就是其本身，至少来说，这个可视的距离是固定！

就像上图中根号2，根号10一样，长度是固定的！

你拿米尺测量，可能根号2大概1.4，拿20cm直尺去测，可能1.41多一点，用软件去测，取决于你所选取的小数位数，可能是1.414之类不等！

补充几点:

1.能不能固定相对面就是会不会变化，π是一个确定的值，所以圆周是固定的。为什么给人错觉圆周是不确定的，因为π是一个无穷无尽不循环小数，总有人认为取π前三位小数位计算和π四位位计算得到结果不一样。例如，直径10000的一个圆，算出来是31410和31415，这些都是近似值，精确值应该表述为10000π。近似值随着精读会变化，但是准确的只有一个。面积同理。

2.到底有没有完美的圆。我们接触的客观世界是没有完美圆的（正圆），但是数学或者学科模型上是存在的（理想化情况，忽略线宽，占位等）回到圆的定义:平面上到某一个点长度等于一个固定值点集合。在客观世界，由于线宽（宏观），分子体积（微观）是不可能做到绝对平滑的，也就是说，放大到极致比如几千上万倍，你看到的就是不平滑边缘。（球同理，球是一个空间模型）

假装一条第一次补充和第二次补充的分割线

3.十进制确实无限不循环，如果认为规定一个π进制，那么π就是这种进制下的一个最小“两位正整数”，不过那时，客观世界将乱成一锅粥了吧！画面不敢想象。不过这时候，仍然是无理数。

感谢评论区指出的不周之处

当半径是以π或者π的有理数倍数为分母的时候，确实圆周是一个有理数，和我文中提到有出入。这一点确实是没想到的地方，谢谢读者指出。以上建立在直径（半径）为有理数的条件下做出的论断。

树木也要树人

数学在现实里就是个笑话。3个苹果，3是整数，对吧！但是如果精确一些，3个苹果无论形状，口感，重量，色泽，都有不同差异，'这么大的差异，凭什么出现3这个整数呢？还不是方便我们统计。也许你很不服气，但是你要知道，一英寸的由来有多可笑，一英寸是三粒小麦的长度，至于为什么，因为下定义的那哥们是国王，就这么简单粗暴。同理，有一天哪个大神高兴，把3.14这个无限不循环小数定义为1，这个整数，那也没有任何影响，只不过对应的现在所谓的整数全都成了无限不循环小数，但是会对应的诞生另外一批整数。话说，无限不循环小数对应的整数后位数上写上.000000000,在你想停的'位置上写0001，那么这个带无限0的整数，在现实对你来说，有什么不同。我只不过拿了一个不一样的苹果，我才不会在乎它和另一个苹果里的分子数量有什么不同。（我感觉我写的太乱了，自己都看不懂）

犬足

我不太懂你说的，不过呢，，这几天我经历的事给了我一个启发！

这几天看到一个叫“曲昭伟”的所谓“教授”，成天“质疑”别人，公式理论一大堆，虽然我看不懂，但是总感觉不对劲也说不上来哪里不对劲！我就想啊！突然想起以前好像在哪儿听过“物理的基础是数学”这句话，不知道怎么，一想到数学我就想起1+1这个公式，我记得似乎有1+1≠2的说法，如果这样的话，那么有些物理的理论是不是就可以用1+1≠2来计算呢？于是我就搜了搜关于1+1≠2的文章，还别说，真有！

于是我就关注了那个“曲昭伟”，质问他是在偷换概念，用1+1=2去质疑适用于1+1≠2的物理理论，又用1+1≠2去质疑1+1=2的物理理论，结果这个“曲昭伟”真的就“做贼心虚”了，居然不敢让我评论他了，有图为证！

我估计你说的情况，是不是也跟1+1≠2类似，是不是我们的计算方式不对？

东北纯爷们10183505

其实这个问题的回答，不用那么专业的数学知识。其实有点偷换概念。某一个圆的周长应该是“确定的” ，它的精确值就是一个无理数，用测量工具去测，由于精确度所限，所以测不出来。用了“固定”，就有点偷换概念了。两者没有矛盾。

举个例子，一条线段，它到底多长？

用普通的尺测量，5厘米。然后换一把精度高的，测量，5.01里面，换一把更高的，可能5.00097厘米……。我想说的是，不要拿生活上的直觉去想这个问题。

再换个角度来像这个问题:其实就是数的进制转换。我们用十进制，那圆周长似乎就是无线不循环的一个值。但是如果把以“派”为单位1，那线段的长就是“整的”了吧。其实还是“思维定式”。

我来问个问题，点是没有长度的，但是由无数个点构成的线段，为什么有长度😁。这个才是题目背后的问题。这个与测度有关。

自在1717110

这个问题，可不一定。如果你是工程师，让你设计一个周长为1米的水泥柱子，你说因为圆周率是无理数，我设计不上整数周长的柱子，那你还想不想干了？

要知道，几个无理数的积可以等于整数。像√2×√2=2.

周长c=1，直径d=c/π=1/π.

很明显，当周长为整数时，圆的直径就应该是无理数。

创新数

这是对有理数无理数的误解或者不理解，不管是有理数还是无理数，都是一个数，而且都是固定的数，有理和无理只是人为定义的概念，都是实数，是真实存在的固定的数！

说白了，不管是有理数还是无理数，与固定不固定没有任何关系，这种思维是标准的偷换概念。

举个例子，√2也是一个无理数，在线段上我们很容易画出√2厘米的线段，这说明√2厘米长的线段肯定是固定的，同样我们也能画出π厘米长的线段，你说π（或者π厘米）不是固定的吗？

√2厘米的线段是固定的，不能因为√2是无理数就说它是不固定的，不固定是完全另外一个概念，比如说√2约等于1.4142，如果√2约等于1.4152那才叫不固定的！

有人可能会说，我们永远无法准确表达√2到底是多少，这还是一种思维的局限性，因为我们已经准确表达了，√2就是√2，这很准确了，你非要用所谓的小数去表达√2，那是你自己的问题，自讨苦吃，数学路仅仅包含有理数，无理数和有理数是平等的，都是对数学的表达，干嘛非要用有理数表达出来的才是准确的？

另外去思考一点，极限的问题，点没有长度，为啥由无数个点组成的线段就有长度了呢？

宇宙探索

山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。

这首耳熟能详的圆周率顺口溜，从小到大我们还能背诵。

圆周率丌是无理数，也就是无限不循环小数，我们说干口水也不可能说完的。

最初发现无理数时引起了人们的恐慌，因为它是不可公度量，那时的人们无法表达它。

题主认为无理数不是固定的，也许是误入了早期发现无理数时人们的固定思维中。

无理数是固定的，在实数轴上甚至比有理数多得多。它也是现实中存在的可以度量的，后来数学家发现分数可以表示成有限小数+无限不循环小数。

无理数甚至引发了数学革命，它促使人们由依靠直觉、经验，转向依靠证明，推动了数学极大发展。

举个例子，边长为1的正方形对角线长是根号2，这就是一个无理数，这确凿无疑是固定的。

另外丌是无理数，但圆周长却不一定是无理数，因为圆周长=2丌R，R如果等于1/丌时，圆周长就是有理数了。

综上所述，圆周长可能是有理数，即使是无理数也是固定的。

奇点那些事

我来解答这个问题吧！

解答这个问题之前，我们先弄清楚圆周率的概念，也就是题主说的π是个什么东西。

因为圆的弧形形状，我们是不好测量它的周长的，不像矩形那样，只要把几个边测量出来，求和就可以了。尤其当出现了一个很大很大的圆的时候，我们想要知道它的周长，就得用一把软尺围绕这圆周转一圈去测量。或者用一根绳子绕圆一圈，再测绳子的长度，来得出圆的周长，因为测量的时候，很难保证尺子与圆的边缘完全重合，所以，误差也是很大的。

这样会费时费力，而且我们在实际运用中，往往需要知道很大的圆的周长是多少，比如说地球的周长，你总不能调动千军万马去拉上绳子测量吧，那是不切实际的。

所以，老祖先就在找直径和圆周之间的关系。因为测直径和测圆周相比，直径的长度在测量的时候是比较容易的，经过老祖先反复测量，发现圆周和直径之间是有一种等量关系的，这个等量关系就是直径乘以一个比3大一点的数，就是圆周的长度。这个比3大一点的数就是圆周率，用字母表示就是π。

π可能是人类发现的第一个无理数，是人类在计算圆周与直径的关系之比的时候得出来的。

无理数也叫无限不循环小数，它主要是通过开平方后得出来的数字，计算π的时候，也是需要开平方计算的，所以就得出了这么一个数字。

因为周长可以用直径乘以π来得到，那么一个无理数乘以一个有理数，结果应该还是无理数，题主的想法也是不无道理的。

那么，周长到底是有理数还是无理数呢？

我认为，有两种情况：

1. 如果圆的直径是一个有理数，那么有理数乘以π得出的周长就是一个无理数，这个周长就是无理数；
   

2. 如果圆的直径是一个无理数，并且正好可以和π约分掉，那么，周长就是一个有理数。比如，已知圆的直径是5/π，那么，这个圆的周长是多少呢？就是5/πXπ=5，你说，它是不是个有理数？

關鍵字: 周长 无理数 科学