枞川文汇
没有找到原文，所以不能确定张纶翰的具体身份。不过确实有张纶翰其人，为桐城人，字墨村，号西园，又号悔斋，著有《西园诗钞》，为清代人，这篇传记也确实是清代所写，其中有“嘉庆乙亥”。结合题主标注的地点枞阳，现在属安徽铜陵，倒是与安徽桐城相邻，所以这里的张纶翰倒很可能与《西园诗钞》的作者为同一人。桐城张纶翰是清代贡生，故此，这里的“序进士”应该是贡生的意思。人们为了满足虚荣心，常将一些功名向进士靠拢，如举人称“乡进士”、贡生称“岁进士”，从这个角度出发，“序进士”也可以理解。
囿于修谱人的身份，加之其他因素，家谱对官职的记载多不准确，如“岁进士”理解为进士，不是举人称为举人，还有将文林郎、登仕郎等混淆。在理解这些官职时，需要进行认真考证。
楚邾
张纶翰是为清嘉庆年间贡士，贡士不同于贡生，举人经会试而被录取者称贡士，第一名为“会元”。贡士经过殿试录取者为进士，第一名为“状元”。也就是说，贡士比举人高一级，比贡生差不多高两级。
科举时代，挑选府、州、县生员（秀才）中成绩或资格优异者，升入京师的国子监读书，称为贡生。意谓以人才贡献给皇帝。明代有岁贡、选贡、恩贡和纳贡；清代有恩贡、拔贡、副贡、岁贡、优贡和例贡。
据考证，张纶翰乃桐城土铜山张氏，同清朝张英张庭玉父子宰相是同宗同支，其六尺巷"让他三尺又何妨"典故就出自张英的一纸家书，其子张庭玉，在康雍乾三朝二十次出任军机处首辅暨保和殿大学士，与皇帝朝夕相伴，连科举都由他说了算，为配享清太庙汉臣唯一人，其家族在桐城如日中天，硕彦鸿儒辈出。
桐城号称"文都"，有"天下之文章尽出于桐城者也"的赞誉。张纶翰作为张氏名门望族中的一员，以"序进士"署名为其"姻亲"之家谱撰写序文，有托大之嫌，但也符合他渴望殿试一举求得"进士"功名的跃跃欲试之情。"序"也，接继也，"序进士"所表达寓意，即以"贡士"功名之身所不足，欲赴京殿试，一定要"进士及第"，荣光耀祖者也。
汪叔华
查阅资料，没有找到序进士，倒是出现这个词条：白衣卿相
【释义】古时指进士，唐代人极看重进士，宰相多由进士出身，故推重进士为白衣卿相；引申为尚未发迹的读书人。
【出处】五代·王定保《唐摭言·卷一·散序进士》：“缙绅虽位极人臣，不由进士者，终不为美……其推重谓之‘白衣公卿’，又曰‘一品白衫’。”
据此分析：“序进士”也有对尚未发迹的才能之人褒称之意。
按照他的才学做个进士绰绰有余。这个“序进士”有可能是家谱编辑者自己给人家加上的。
家谱编撰出版时为这个写序的人添加的，敬重之意。
原序文署名可能是“姻晚张纶翰顿首拜撰”
再有【谬庠进士】枞阳家谱馆馆长陈老师：谬是谦词，谬列也。庠进士，和序进士应该意思相近。从商衍鎏著述看，明清进士皆为定称。序进士应是一种美称，不是真正的一进士。序指庠序，即国子监一类的学校。进士只是取郑玄所说的“进受爵禄”之意。
感谢大家参与，也欢迎大家批评指正。
枞川文汇
回答问题之前，必先对张纶翰其人有所了解。查阅手头文史资料和网络资料，都没有张纶翰的单列词条，仅可见网络上晚清诗选因一首《登山》诗附录的简介和桐城名人中同样的简介:
张纶翰 字墨村，号西园，又号悔斋，桐城人，贡生。作品有《西园诗钞》。
我们知道，在科举时代，挑选府、州、县生员（秀才）中成绩或资格优异者，升入京师的国子监读书，称为贡生。意谓以人才贡献给皇帝。从级别上，贡生低于举人一级低于进士二级。
按常识理解，“序进士姻晩张纶翰顿首拜撰”即序文为进士姻侄张纶翰叩头拜写。那么，一个贡生怎么会自称为进士呢？只能作如下解释:
序，秩序，引申为“依次序排列”，特指“评定功勋或才能高低”(如《三国志•蜀书•诸葛亮传》: “ 崇德序功。”) 序进士，可理解为按才学应为进士。如此，“序进士姻晩张纶翰顿首拜撰”可理解为: 应为进士的姻侄张纶翰叩头拜写。当然，后半句谦恭，前半句有点傲气了。这很符合封建时代一个地方高级阶层知识人士的心态。这样，序进士就好理解了。
如有不妥，欢迎指正。
诗情书韵
因为你没有全面提供整段文字，故此只能猜测：
我认为，您家族谱中“序”应该抬头，就是这个字高出其他字，如果是这样，那么这个“序”字就是题目，现代文中它要单独成行，正如我们平常看到的文章的题目。
如果真是这样，那么，我们就应该从“进士姻晚张纶翰顿首拜撰”这几个字断句就可以，具体来说，应该这样断：“进士姻/晚张纶翰/顿首拜/撰”，其中，“进士”是张纶翰的身份，“姻”是张纶翰的亲属辈分，“晚”表晚辈，“顿首拜”是叩拜礼的一种，表尊敬之意，“撰”就是“写”，整句连起来的意思就是：
进士出身的姻家张纶翰写这篇序言。
因为断章取义，很难答的准确，权作茶余饭后笑料，不逮大方之家见笑。
谨此。
酸甜鱼子酱
序进士应该是某进士文人为某书或某事撰写序文，(序文是指某书或某事的中心纲领加以阐达)。顾名思义，其实我也不明白。
李潜远
一开始以为题主标点错了，应该是“……序，进士……”。但查了一下张纶翰的资料。内容不多。他的简介说他是贡生。说明他没考上进士。那只能说明序进士是贡生的美称。不是我猜的停顿位置错了。
活马相如噢
岁进士即岁贡！
手机用户63863290139
序进士就是贡生，乡进士是举人
勝寒楼主1
贫道觉着是笔误
