一、數字特性

掌握一些最基本的數字特性規律，有利於我們迅速的解題。（下列規律僅限自然數內討論）

【基礎】

奇數±奇數=偶數；

偶數±偶數=偶數；

偶數±奇數=奇數；

奇數±偶數=奇數。

【推論】

1.任意兩個數的和如果是奇數，那麼差也是奇數；如果和是偶數，那麼差也是偶數。

2.任意兩個數的和或差是奇數，則兩數奇偶相反；和或差是偶數，則兩數奇偶相同。

能被2（或5）整除的數，末一位數字能被2（或5）整除；

能被4（或 25）整除的數，末兩位數字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的數，末三位數字能被8（或125）整除；

一個數被2（或5）除得的餘數，就是其末一位數字被2（或5）除得的餘數；

一個數被4（或 25）除得的餘數，就是其末兩位數字被4（或 25）除得的餘數；

一個數被8（或125）除得的餘數，就是其末三位數字被8（或125）除得的餘數。

2．能被3、9整除的數的數字特性

能被3（或9）整除的數，各位數字和能被3（或9）整除。

一個數被3（或9）除得的餘數，就是其各位相加後被3（或9）除得的餘數。

3．能被11整除的數的數字特性

能被11整除的數，奇數位的和與偶數位的和之差，能被11整除。

如果a∶b=m∶n（m，n互質），則a是m的倍數；b是n的倍數。

如果x＝mny（m，n互質），則x是m的倍數；y是n的倍數。

如果a∶b=m∶n（m，n互質），則a±b應該是m±n的倍數。

二、乘法與因式分解公式

正向乘法分配律：

(a+b)c=ac+bc；

逆向乘法分配律：

ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）

平方差：

a2-b2=(a-b)(a+b)；

完全平方和/差：

(a±b)2=a2±2ab+b2；

立方和：

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差：

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方和/差：

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

等比數列求和公式：

S=a1（1-qn）/(1-q) (q≠1)；

等差數列求和公式：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨

丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨

丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨

-丨a丨≤a≤丨a丨

四、某些數列的前n項和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2；

1+3+5+…+(2n-1)=n2；

2+4+6+…+(2n)=n(n+1)；

12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)/3

13+23+33+…+n3==(n+1)2*n2/4

13+33+53+…+(2n-1)3=n2(2n2-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3

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關鍵字: 數學 整除 數字