蔡永固
生活中我們會遇到許許多多的多面體，其中有一類多面體具有最強的對稱性，它們就是正多面體。正多面體每個面都是正多邊形，並且每個頂點的情況完全相同。
古希臘的哲學家柏拉圖證明了只存在5種正多面體，而且他認為世界中的元素：風、火、水、土和宇宙，都是由這些多面體構成的。現在，我們就把這五種正多面體稱為柏拉圖立體。
為什麼正多面體只有五種呢？現實生活中哪些物質的結構是正多面體呢？讀一讀這篇文章，你就知道了。
正三角形組成的正多面體
我們知道，任何一個多面體，每一個頂點都至少要連接三個面。比如下圖中的多面體，有的頂點連接三個面，有的頂點連接四個面、五個面甚至更多。
邊數最少的正多邊形是正三角形，我們首先來考慮由正三角形構成的正多面體。按照它每個頂點連接的面的個數不同，我們分情況討論：
首先，如果這個多面體的每個頂點都只連接三個正三角形，我們可以把正三角形“攤平”在一個平面上，這稱為多面體的展開圖。並且，假設攤平之後，頂點A連接了紅黃藍三個三角形，如下圖所示。
此時，頂點A連接了三個三角形，每個三角形的頂角都是60度，所以三個三角形在A處的角一共180度。AB和AC兩邊沒有封閉，二者之間還相差180度。
然後，我們可以把這三個面折疊起來變成立體圖，並且讓AB和AC兩條邊重疊在一起，再用一個三角形補充底面，這樣就會構成一種最簡單的正多面體：正四面體，它由四個正三角形組成。
柏拉圖認為：正四面體代表火。在化學裡，白磷的分子結構就是正四面體：四個磷原子在正四面體的頂點位置，構成了一個白磷分子。此外，甲烷結構也是正四面體：碳原子位於正四面體的正中心，四個氫原子位於正四面體的四個頂點上。
那麼，如果每個頂點都連接四個正三角形，能否構成正四面體呢？同樣，我們畫一個展開圖。
我們會發現，此時四個正三角形依然沒有填滿整個平面，AB和AC兩條邊之間還相差120度角。我們通過摺疊的方法把AB和AC重疊起來，就構成了一個四稜錐，將兩個這樣的四稜錐貼在一起，就構成了第二種正多面體：正八面體，它由八個正三角形組成。
柏拉圖認為：正八面體代表空氣。在化學裡，淨水常用的明礬就含有正八面體結構。明礬也叫做十二水合硫酸鋁鉀，它含有鋁離子、鉀離子、硫酸根離子和結晶水。其中鋁離子和周圍的六個結晶水就構成了正八面體結構。
大家看，紅色小球代表水分子，灰色小球代表鋁離子，一個鋁離子會和周圍的六個水分子構成正八面體結構，如圖中的灰色部分所示。
接下來，我們要討論一個頂點連接五個正三角形的情況。此時，平面內的五個正三角形頂角之和為300度，AB和AC邊之間還相差60度。
我們把圖形摺疊起來，讓AB和AC邊重合，構成一個雨傘的形狀。我們把兩個雨傘上下對著，再連接它們頂點，就構成了正二十面體。
柏拉圖認為：正二十面體代表水。在現實生活中，有一種以細菌為食物的病毒——噬菌體，它的頭部接近於正二十面體。
我們現在已經知道了三種由正三角形構成的柏拉圖立體，它們分別是每個頂點連接三個面的正四面體、每個頂點連接四個面的正八面體和每個頂點連接五個面的正二十面體。那麼，每個頂點可以連接六個正三角形嗎？答案是不行。原因是在一個平面內，六個正三角形的頂角之和剛好是360度，如下所示。
這時，我們已經沒有辦法摺疊這些三角形，使它構成正多面體了。於是，由正三角形構成的正多面體就只有三種。
正四邊形構成的正多面體
下面，我們來討論由正方形構成的正多面體。
假如這個正多面體每個頂點連接三個正方形，平鋪在地面上如圖所示。
此時AB和AC邊不重合，相差90度角，我們將三個正方形摺疊，使AB和AC重合。再用兩個這樣的結構拼在一起，就構成了正六面體，也就是正方體。
柏拉圖認為：正六面體代表土。在化學中正六面體結構的物質很多。例如立方烷由8個碳原子和8個氫原子構成，八個碳原子就構成了一個正六面體。
此外，氯化銫的體心立方結構、氯化鈉的面心立方結構，也都有立方體的影子。
由正方形組成的正多面體，每個頂點能連接四個面嗎？顯然，這是行不通的。因為四個正方形的頂角剛好是360度，會填滿一個平面，無法摺疊。
於是，由正方形構成的正多面體只有1種。
由正五邊形構成的正多面體
我們按照剛才的方法討論正五邊形構成的正多面體。正五邊形每個頂角是108度，如果一個頂點連接三個正五邊形，畫在平面上如下圖所示：
此時，AC和AB兩條邊之間還有36度角，我們通過摺疊使AB和AC邊重合。再用四個這樣的結構拼接到一起，就構成了正十二面體。
正十二面體由十二個正五邊形組成，柏拉圖認為，正十二面體代表宇宙。在化學上，可燃冰的結構中含有正十二面體。可燃冰實際上是甲烷的水合物，甲烷分子和水分子會構成正十二面體和十四面體兩種結構，它們再一起組成可燃冰的晶胞。
那麼，一個頂點能夠連接4個正五邊形嗎？這是不可以的，因為四個正五邊形的頂角之和等於432度，已經超過了360度的圓周角，不能鋪在平面上，更別說摺疊了。
所以，由正五邊形構成的正多面體就只有一種。
還會有由正六邊形、正七邊形、正八邊形…組成的正多面體嗎？也不會的因為這些正多邊形的內角都達到或者超過了120度，於是三個圖形組合在一起，頂角就達到或者超過了360度，沒辦法摺疊了。
如此，我們從一個簡單角度解釋了為什麼正多面體只有五種：我們首先需要把三個以上的正多邊形平鋪在平面上，然後再把它們摺疊起來。要做到這一點，只有由正三角形構成的正四面體、正八面體、正二十面體，由正方形構成的正六面體和由正五邊形構成的正十二面體了。
半正多面體。
不過，如果要求多面體每個面都是正多邊形，但並不要求正多邊形都是完全相同的，那麼能構成的多面體就很多了，這些多面體都叫做半正多面體。
例如，有13種阿基米德多面體，它由多種正多邊形組成，但是每個頂點的情況都是完全相同的。注意扭稜立方體和扭稜十二面體有兩種對稱的結構。
大家注意到沒有，阿基米德多面體中的截角二十面體就是足球形狀，它由12個正五邊形和二十個正六邊形組成。
除了阿基米德多面體外，半正多面體還有無限多種稜柱和反稜柱，以及92種約翰遜多面體。
這些多面體在化學中也都能找到對應的物質結構。
小朋友們，現在你對多面體的認識是不是更深刻了一點呢？
李永樂老師
說實話，我覺得數學上的證明已經是對這個問題最簡明最直觀最通俗的理解了。
這應該是一個初中幾何的經典問題，其演繹方法是非常典型的受約束方程組求解：
假定存在一個有v個頂點e條稜的正n面體，其各面為正p邊形，則：
1. 內角 a=60,90,108,…（當n=3,4,5,…），即a=180-360/n。
2. 頂點“度數”（張出的稜數，也就是面數）為d，顯然有約束條件 d≥3，和 d*a < 360。
3. 根據1,2（a≥60，d*a<360），顯然有d≤5。
4. 逐個分析，易得最多存在5種可能：
- d=5：a=60（p=3）
- d=4：a=60（p=3）
- d=3：a=60（p=3）
- d=3：a=90（p=4）
- d=3：a=108（p=5）
同時顯而易見，頂點數v，稜數e，面數n，面邊數p，度數d，滿足下列約束方程：
n*p=2e=d*v
於是前述5種情況可以解出下述正多面體：
正20面體：12頂點，30稜，5度，三角面
正8面體：6頂點，12稜，4度，三角面
正4面體（三稜錐）：4頂點，6稜，3度，三角面
正6面體（正方體）：8頂點，12稜，3度，正方面
正12面體：20頂點，30稜，3度，五邊形面
另一個有趣的延伸是：正20面體和正12面體組成對偶，正8面體和正6面體也組成對偶，而正4面體的對偶就是自己。
（n，m）對偶是指以正n面體各面中心為頂點，可以構成正m面體，反之亦然。
小時候曾一度對足球的表面結構很困惑，初二時研究了這個問題後才突然發現足球表面並不是正多面體，而是由12個正五邊形（黑）和20個正六邊形（白）拼成的。
帖木兒
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