正弦和余弦级数用泰勒公式很容易得到，但它第一次是出现在欧洲人的手稿中，这个人就是牛顿。我们来回顾它的历史。
牛顿的思维方法：从D引出圆弧的切线DT,斜边DH视为圆弧aD的增量，令AB的增量BK=dx，DH=dz，这样我们就建立了一个无限小的直角三角形DGH,z=z(x)代表圆弧aD长度，这一切都发生在单位圆内，所以角度aAD的弧度等于z。
在这种情况下，无限小的三角形DGH与三角形DBT相似，半径AD与切线DT垂直 ，得到两个相似三角形DBT和ABD。由此得到如下关系
采用微分标记得到
进一步推导，牛顿采用圆的关系
所以得到
积分结果
由三角形ABD可知，sinz=x，所以
所以牛顿利用它的二项式定理和基本积分推导出了反正弦级数。
利用前面文章所说的逆级数将x=z+p代入上式，并且解出
得到p=(-1/6)z^3+q继续这个逆过程，有又得到
级数就变成了
就这样继续推导下去，牛顿就得到了分析学中重要的级数
就这样正弦和余弦级数第一次出现在欧洲人的手稿中
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