正弦和餘弦級數用泰勒公式很容易得到，但它第一次是出現在歐洲人的手稿中，這個人就是牛頓。我們來回顧它的歷史。
牛頓的思維方法：從D引出圓弧的切線DT,斜邊DH視為圓弧aD的增量，令AB的增量BK=dx，DH=dz，這樣我們就建立了一個無限小的直角三角形DGH,z=z(x)代表圓弧aD長度，這一切都發生在單位圓內，所以角度aAD的弧度等於z。
在這種情況下，無限小的三角形DGH與三角形DBT相似，半徑AD與切線DT垂直 ，得到兩個相似三角形DBT和ABD。由此得到如下關係
採用微分標記得到
進一步推導，牛頓採用圓的關係
所以得到
積分結果
由三角形ABD可知，sinz=x，所以
所以牛頓利用它的二項式定理和基本積分推導出了反正弦級數。
利用前面文章所說的逆級數將x=z+p代入上式，並且解出
得到p=(-1/6)z^3+q繼續這個逆過程，有又得到
級數就變成了
就這樣繼續推導下去，牛頓就得到了分析學中重要的級數
就這樣正弦和餘弦級數第一次出現在歐洲人的手稿中
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