xiaodi1990
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其实楼主遇到的这个问题，我在大二阶段也曾遇到过。的确对于初学者来说，傅里叶级数的物理意义看起来还算清晰，但是怎么突然就冒出来一个傅里叶变换了呢？
傅里叶级数
白色的光通过三棱镜可以分解成红橙蓝绿......我们的音乐信号，在无线谱上就是一个简单的符号。这些现象在我们理解傅里叶级数时具有很大的帮助。傅里叶告诉我们，任何周期函数，都可以看作出不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
傅里叶变换
很明显，傅里叶级数对于周期的信号（功率信号）是没问题的。但是我们经常遇到的非周期信号呢？周期信号都有一个周期T，如果周期T变得无穷大，那么我们可以看作是非周期信号。
下面就考虑一下，如果周期T变为无穷大，那么傅里叶级数的公式会有怎样的变化。
我们都知道傅里叶级数的频谱在频率轴上离散的，每个“柱子”的间隔是一个w，其中w=2*pi/T,可见当T逐渐变为无穷大的时候，w逐步变为零（说成dw是不是更准确），那么频谱自然就变成连续的啦！
说到这里，如果你多想一步，就会发现问题。傅里叶频谱F(nw)有一个因子1/T啊，当T逐渐趋向无穷大，F(nw)直接变为0了？
怎么可能，能量不可能因为我们在这里变换几下，就消失的。
所以，我们想办法把这个因子T给干掉，我们用F(nw)除以w，即我们定义一个新的频谱F(nw)/w，准确的是频谱密度，毕竟是除以频率w，所以叫做频谱密度。
你看，由于w=2*pi/T，所以这个时候T被我们干掉了吧。
这样我们就得到了非周期信号的频谱，我们把它叫做傅里叶变换。
以上说法不是很精确，如果你想看稍微详细的推导，可以查阅相关资料，或者查看我的文章。
通信M班长
傅立叶级数的三角多项式形式
一大清早喝粥，夸奖粥熬的稠，在数学上可以表述为："任取粥中一个水分，都可以找到 粥中的一组淀粉分子，让后者无限的逼近前者"，这种性质称为稠密性。威尔斯塔拉斯（Weierstrass）最早发现 多项式空间在连续函数空间中稠密，即，对于实数区间 [a, b] 上的任何连续实函数 f(x)，都可以找到一组多项式 P_n(x) 使得：
当 P_n(x) 取正弦多项式时，对于任何周期为 T （角频率为 ω = 2π/T）的实函数 f(x)，在其任何一个周期 [x_0 , x_0 + T]内，可将其展开为正弦级数：
然后，根据正弦函数的二角和差公式：
可将上面的正弦级数展开式变形为：
于是，令：
最终得到 f(x) 的三角多项式展开形式：
三角级数就是大名鼎鼎的傅里叶级数。
傅里叶级数中各项三角函数组成序列：
任取序列中两项（可重复）相乘后，在周期 [x_0, x_0 + T] 上求定积分（设 n, m ∈ N, n ≠ m），
当选取的两项不同时，有以下可能：
利用差化积公式，
有，
结合上面的结果，再利用积化和差公式，
有，
当选取的两项相同时，有以下可能：
利用半角公式，
有，
综上发现，只有当选取的两项相同时定积分的结果才不是零。利用这个结论，可以很方便的得到傅里叶级数的各项系数：
傅里叶展开式的两边同乘 1 然后在周期 [x_0, x_0 + T] 上积分，有，
于是得到：
傅里叶展开式两边同乘 cos(mωx) 然后在周期 [x_0, x_0 + T] 上积分，有，
于是得到：
傅里叶展开式两边同乘 sin(mωx) 然后在周期 [x_0, x_0 + T] 上积分，有，
于是得到：
傅立叶级数的复数形式
利用欧拉公式：
有：
两式分别 相加 或 相减，得到：
应用于上面的傅里叶展开式，有，
于是最终得到傅里叶级数展开式的复数形式：
其中系数c_n，有：
于是神奇的发现，系数 c_n 在三种情况下的形式一致，最终为：
傅立叶变换
考虑，函数 f(x) 在周期 [-T/2, T/2] 上的傅里叶复数形式展开，并将 c_n 带入，得到：
令
则显然 ω_n 组成序列
是实数集R的子集，而且任何相邻两点之间的间距为 ω，令 Δω_n = ω 。因为 ω = 2π/T 所以 T = 2π/Δω_n，代入前式，
考虑非周期函数的情况。非周期函数可以看作是周期 T → ∞ 的周期函数。在这种情况下 Δω_n → 0。上式改写为，
如果将 ∑ 和 Δω_n 之间的部分看作是以 ω_n 为参数的函数 g( ω_n)，则上式极限部分显然就是黎曼积分的定义：
于是有，
可以证明当 Δω_n → 0 时，序列 Ω 在实数集 R 中稠密，于是对于任意 ω∈R 都存在Ω中的点列 ω_k → ω，这说明对于任意 ω∈R 上式都成立，于是最终得到：
这就是著名的傅里叶公式。
令，
则有，
前者称为傅里叶变换，记为 
后者称为傅里叶反变换，记为 
