文藝復興後數學的第一個大突破自然是微積分了。從微積分再到物理科學的發展，人類心目中的大自然已經大大不同。可以說人類第一次有了科學的探索方向。迷信和盲目慢慢遠離了人類。可惜悲哀地是，人類對建立良好的制度至今一籌莫展，所以戰爭的陰雲一直籠罩著人類，人類面臨毀滅還不是聳人聽聞的傳聞。
大家好，偉崗今天跟大家聊聊微積分發明前，數學家的一些工作，當然主要是費馬的工作，因為費馬可以說是真正的微積分先驅。
文章開始前還是要感謝各位朋友的鼓勵打賞，這是偉崗寫作的動力源泉。
我們前面簡單介紹了費馬的生平，我們記得費馬，當然是因為他數學方面的貢獻。
我們前面也聊過笛卡爾，他也算是微積分先驅之一。不過真正最接近微積分思想的數學家應該是費馬。
笛卡爾在求曲線的切線法線時，最終得出的公式，基本跟微分求解法吻合。但是笛卡爾的算法還是太過複雜，很多也是求助於幾何作圖，沒有極限逼近的理論。所以還只能說，笛卡爾僅僅有一點微分的萌芽思想。費馬可以說是大大進了一步。
首先，在對求極大極小值這類問題上，費馬大膽的引入了一個小變量。而且在最後的處理中還令這個小變量為零，這簡直就是微分的雛形！費馬是用E來表示這個小變量。展示的問題是在一條線段上截取一點x，使得以這個點為界的兩個線段組成的長方形面積最大。也就是說求x(a-x)的極大值（x是變量，a是常量）。
費馬採用的方法幾乎跟微分解法思路一致，那就是引進一個變量，費馬用E來表示，這時面積公式變成（x+E）（a-x-E）。由於前人已經有答案是x為中點時，面積為最大，而且其值為a²/4。費馬對二次方程進行處理。令這個方程的兩個根為x₁和x₁＋E.並把面積方程減去標準面積方程再除以方程的兩個根之差（也就是E）。最後令E為零，可以得出x為中點時，面積為最大。
這個方法就是我們後來的微分求極值的方法。不過費馬沒有解釋為什麼可以令E為零，甚至沒有提E是無窮小量。所以要說費馬發明了微分，也比較牽強。
同時費馬也沒有把這種思路推廣到一般情況。在這方面牛頓，萊布尼茨的思想就要深刻得多，所以我們只能說，費馬第一次把微分展示給了眾人，但是卻沒有說服眾人，這個方法非常的有效和值得推廣，所以發明微積分的重任還需要很多人的努力，費馬只是輕輕點了點微分的穴道。
費馬是怎麼想到跟微分形式一樣的公式來求極大值，我們還不得而知。也許是因為費馬提前知道那個長方形的面積是當邊長相等時達到最大值，經過反推得到了微分同樣形式的公式。只可惜，費馬沒有得到一般情況下用微分的方式來求極大極小值的公式，否則微積分的歷史乃至數學發展史就要改寫了。
不過在費馬那個時代，極限的概念還非常模糊。數學家對級數的收斂還沒有好的理論，也就是說，微積分的基礎還幾乎沒有，要求費馬這個業餘數學家得出微積分的一般公式，還是有些勉為其難。
有的同學在這裡肯定會提出一些疑問。牛頓發明微積分時，極限和級數的理論一樣沒有很完善啊，為什麼牛頓就能得出微積分的一般理論呢？這確實是一個難解之謎。
不過偉崗認為，牛頓的基礎要比費馬好很多。我們不提牛頓的老師巴羅也對微積分在幾何上的應用有一定的思路。也不說牛頓對二項式展開定理有深刻地理解（這個對積分的發明特別重要），就是牛頓對物理方面運動的理解就比費馬要深刻的多。別忘了，求瞬間速度是微分的重要應用之一。牛頓以他天才的思維，理清了現實世界物體運動的基本規律，在這個基礎上，他不可能不思考到微分的運用。
如果拋開忽略無窮小量這個大的鴻溝，微分運算實際上就是計算速度。牛頓也許就是在演算速度公式時，發現只要忽略無窮小量就可以得到瞬間速度。當然，這只是偉崗的臆想，微積分的理論比計算瞬間速度要深刻得多，牛頓發明微積分需要做的工作遠遠大於物理方面的速度計算。
我們這裡只能可惜費馬僅僅在門縫裡窺探了一下微分的威力，沒有進行深入研究。不過以費馬業餘數學家的身份，能夠做到這一點已經非常偉大了。
不僅僅是這一項求極大值的例子，費馬還在探索求曲線的切線，長度以及圍成的面積方面觸及到微積分的理論。如果你對費馬有無限的敬仰，你甚至可以認為費馬差一點就發現了微分跟積分的互逆運算關係。要是在這方面費馬也再深入一點，微積分的發明人真要歸他所有了。
費馬的求切線的方法來源於他跟笛卡爾的爭執。笛卡爾雖然是座標系的發明人，但他強烈反對把幾何問題代數化。或者說笛卡爾非常反感代數方程的幾何解釋。這也許是因為笛卡爾太沉醉於古希臘幾何的完美性，認為代數的引入，特別是把代數問題幾何化，會破壞幾何嚴密的邏輯。
我們不能忘了，笛卡爾最想成名的是讓世人認為他是一個哲學家，而不是數學家。哲學家的眼裡，數學只是一系列邏輯關係的組合。幾何已經有很好的邏輯關係了，你再插入一個代數，是不是會破壞幾何的整個邏輯鏈條？
到這裡有些同學就會質疑了，既然笛卡爾認為幾何完美，那他為什麼要考慮發明座標系？座標系不就是要把代數問題幾何化，或者幾何問題代數化？這也許有點只知其一未知其二了。數學發展到了笛卡爾時代，完美的幾何體系已經不存在了。也就是說，數學家光靠幾何手段已經解決不了很多存在的問題。比如方程根的問題，再比如一些複雜幾何圖形的定量問題。
可以說到了笛卡爾時代，沒有代數手段，很多現時的幾何問題都無法解決。笛卡爾只不過是順應了歷史潮流，發明了座標系，從而使很多數學問題得到解決。但是在笛卡爾的心目中，他的座標系只是古希臘幾何的一個補充。
笛卡爾還沒有如此遠見，預示到代數問題比幾何問題要複雜得多。而且幾何也不是光光限制在歐氏幾何，有很多沒有直觀性的幾何，你必須用代數的方法研究。在笛卡爾的心靈深處，也許他認為有了他的座標系，一切問題都可以通過幾何方式得到解決。
笛卡爾發明了座標系，架起了代數跟幾何的橋樑，但是笛卡爾沒有認識到這座橋的重要性。他只是認為這座橋完善了幾何學，這隻能說是笛卡爾有歷史侷限性。
我們再回頭來聊費馬。費馬是在研究拋物線和雙曲線時，觸及到微積分的思路的。這些研究包括拋物線的切線，拋物線的長度以及拋物線雙曲線圍成的面積。
從我們後人的觀點看，求曲線的切線以及曲線所圍成的面積，是最容易發現微分跟積分的互逆運算關係的。因為拋開嚴密的數學理論，曲線圍成的面積正好是切線組成小矩形的面積之和。也就是說，求面積，可以先求切線，然後把切線歸總求和，就得到面積了。當然，這需要嚴密的數學證明，而這個證明也不是那麼直觀容易得到的。所以費馬沒有從他的推斷中得出微積分的理論也是情有可原的。
除了求切線的算法，費馬的主要著眼點是計算y=xⁿ所圍成的面積。不過費馬不是用微分逆運算的方式求得面積的，而是通過求和，再忽略無窮小量得出面積函數為（n+1）分之x的（n+1）次方。不過考慮到費馬同時還算出了切線函數為（n-1）乘以x的（n-1）次方，對比微積分的兩個公式，是不是很容易聯想到微分是積分的逆運算？可惜的是，費馬沒有邁出決定性的一步。微積分的發明自然不能算費馬的功勞。
除了微積分方面的貢獻，費馬在數論發展上也是標誌性的人物。古典數論歷史一般分三個階段，第一階段是古希臘階段，代表作是《幾何原本》中證明的素數有無窮多個。這個階段屬於數論剛剛起步階段。第二階段就是費馬了。除了費馬大定理那個引發數學家三百多年證明求索的數論大難題，費馬還對同餘等問題進行了研究，那就是著名的費馬小定理。可以說高斯的數論鉅著《算術探究》正是在費馬的基礎上繼續研究同餘問題的，也就是說，古典數論到現代數論進化的第三階段：高斯的《算術探究》的出版是費馬研究工作的繼續。
費馬還在概率論的發展上也有一定貢獻，這個我們留在談拉普拉斯時，再詳細聊聊。
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