對李永樂老師關於“發財中國年”集卡情況數計算的進一步研究

　　2019年1月31日星期四

　　近日看了李永樂老師的科普短視頻《春節超級大紅包咋領？集卡分現金活動靠譜嗎？李永樂老師講容斥原理》，對其中的“n次翻卡集齊‘發、財、中、國、年’5張卡”的情況數計算方法進行了仔細研究，發現了新的“笨方法”，同時也更好地理解了李老師方法的“高妙”之處。由於不折騰難以有學業之進步，便將發現寫了出來。

今日頭條推出的“發財中國年”集卡活動

李永樂老師講課視頻截圖

　　將李老師視頻結論整理如下：

　　“發、財、中、國、年”n次翻卡集齊5張卡的情況數是：

李永樂老師給出的公式

　　將其除以總情況數：

　　即可得“n次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比。其中：C（0，5）即“5選0的組合數”，等於1，本不必要寫，此處只是完善邏輯形式的需要。

　　（重要程度★★★★★）

　　注意：所謂“情況數佔比”並不等同於概率。如果每張卡都是等概率出現的，則上面的比值恰好等於“n次翻卡集齊5張卡的概率”。如果不是等概率出現的，則這個問題應該交由計算機編程搞定。即便是計算機編程，如果翻卡次數n很大的話，用羅列的方法也會讓計算機“累死”。最好的方法是用計算機進行大量隨機試驗，通過累計“出現頻率”模擬“出現概率”。雖然“試驗頻率”不能替代“理論概率”，且多次隨機試驗的“頻率”結果也是隨機的，但是在隨機試驗次數很大的情況下，頻率能很好地表現出“穩定性”，並進而逼近理論概率。而且，甚至可以分別統計n次翻卡“集齊5種卡”、 “集齊4種卡”、 “集齊3種卡”、 “集齊2種卡”、 “集齊1種卡”的出現頻率。這時我們可以把”發、財、中、國、年“5張卡各自的出現概率作為“隨機變量”，在程序運行之初輸入，模擬對應的結果。比如可以輸入以下模擬結果：

　　｛發，財，中，國，年｝

　　｛1/100，25/100，9/100，25/100，40/100｝

　　這組結果是我對自己“翻卡經歷”的經驗感覺：“發”卡出現概率是百分之一，最小；其次是“中”卡，出現概率是百分之九。5張卡出現概率之和為1，等於必然事件。也就是說：抽的是“發、財、中、國、年”，是不可能抽出“美”卡的，好像美國人也要過中國春節似的。

　　下面，將花大量的篇幅，逐次展現根據李老師的“公式”，驗證“5次至10次翻卡集齊5張卡”的情況數及其佔比的計算過程。同時，給出我的“笨方法”及其簡要介紹。

5次翻卡

　　1～4次翻卡肯定是集齊不了的，所以至少從5次翻卡為例開始。

5-1

5-2

　　其實應該是5!，所以寫成上面的形式，看著挺煩，卻是為了揭示新算法的道理。5次翻卡集齊5張，則要求每次出卡均不同。第一次有5種可能，第二次有4種可能，第三次有3種可能，第四次有2種可能，第五次有1種可能。根據乘法原理，總可能數為：5!＝5×4×3×2×1＝120（種）。

　　（重要程度★★★）

　　⑧“5次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　120÷3125＝3.84%

6次翻卡

6-1

6-2

　　這一步結果並不直觀。翻6次集齊了5張卡，有以下5種情況：

　　發、發、財、中、國、年

　　發、財、財、中、國、年

　　發、財、中、中、國、年

　　發、財、中、國、國、年

　　發、財、中、國、年、年

　　每種情況共有C（2，6）×C（1，4）×C（1，3）×C（1，2）×C（1，1）種組合，也可以這樣計算：6!÷（2! ×1! ×1! ×1! ×1!）=360，這種計算需要具備相當的組合學知識。5種情況實為C（1，5），乘以360即可得1800。

　　為了更好地理解上面的問題，改編一道類似的題目：

　　用六張數字卡片1、1、2、3、4、5一共可以組成多少個不同的六位數？

　　結果便是360個。

　　（重要程度★★★★）

　　⑧“6次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　1800÷15625＝11.52%

7次翻卡

7-1

7-2

　　這一步更不直觀了。7次翻卡集齊5張卡，共有兩大類情況：7＝3＋1＋1＋1＋1，即出現了3張相同的卡，具體又有C（1，5）＝5種子情況，因為重複的3張卡可以是“發、財、中、國、年”中的任意一張；7＝2＋2＋1＋1＋1，即出現了2組2張相同的卡，具體有C（2，5）＝10種子情況。

　　（重要程度★★★★★）

　　⑧“7次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　16800÷78125＝21.504%

8次翻卡

8-1

8-2

　　情況更多了，足見這個方法的囉嗦。8次翻卡集齊5張卡，共有三大類情況：

　　8＝4＋1＋1＋1＋1，即出現了4張相同的卡，具體又有C（1，5）＝5種子情況，因為重複的4張卡可以是“發、財、中、國、年”中的任意一張；

　　8＝3＋2＋1＋1＋1，即出現了3張相同的卡和2張相同的卡，具體有C（1，5）C（1，4）＝20種子情況；

　　8＝2＋2＋2＋1＋1，即出現了3組2張相同的卡，具體有C（3，5）＝10種子情況。

　　極難羅列，且隨著翻卡次數的增加，大類情況的羅列和子情況總數的計算也要用到非凡的方法。

　　（重要程度★★★★★）

　　⑧“8次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　126000÷390625＝32.256%

9次翻卡

9-1

9-2

　　不再展示“新方法”了，持懷疑態度的可以自行驗證一下。

　　9次翻卡集齊5張卡的子情況總數可以用“插板法”計算。

　　□　□　□　□　□　□　□　□　□

　　上面9個框表示9次翻卡，要求翻出5種卡。可以在中間8個空位隨便插入4塊板，即可分隔出一種滿足要求的子情況，一共有C（4，8）＝70（種）。其中：

　　9＝5＋1＋1＋1＋1，有C（1，5）＝5（種）；

　　9＝4＋2＋1＋1＋1，有C（1，5）C（1，4）＝20（種）；

　　9＝3＋3＋1＋1＋1，有C（2，5）＝10（種）；

　　9＝3＋2＋2＋1＋1，有C（1，5）C（2，4）＝30（種）；

　　9＝2＋2＋2＋2＋1，有C（4，5）＝5（種）。

　　（重要程度★★★★★）

　　⑧“9次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　834120÷1953125＝42.706944%

10次翻卡

10-1

10-2

　　10次翻卡集齊5張卡的子情況總數用“插板法”計算。

　　□　□　□　□　□　□　□　□　□　□

　　上面10個框表示10次翻卡，要求翻出5種卡。可以在中間9個空位隨便插入4塊板，即可分隔出一種滿足要求的子情況，一共有C（4，9）＝126（種）。其中：

　　10＝6＋1＋1＋1＋1，有C（1，5）＝5（種）；

　　10＝5＋2＋1＋1＋1，有C（1，5）C（1，4）＝20（種）；

　　10＝4＋3＋1＋1＋1，有C（1，5）C（1，4）＝20（種）；

　　10＝4＋2＋2＋1＋1，有C（1，5）C（2，4）＝30（種）；

　　10＝3＋3＋2＋1＋1，有C（2，5）C（1，3）＝30（種）；

　　10＝2＋2＋2＋2＋2，有C（5，5）＝1（種）。

　　（重要程度★★★★★）

　　⑧“10次翻卡集齊5張卡”的情況數佔比：

　　5103000÷9765625＝52.25472%

　　……

　　不勝其煩。

　　足見，李永樂老師的方法才是最簡潔的方法。

　　再會。

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