數學分析研究的對象是函數。
為了區別牛頓和萊布尼茨，歐拉在他1748年出版的《無窮小分析引論》中明確說，“數學分析是關於函數的科學”。我們知道，函數的本質有三點：變量的取值是數，因變量取值唯一，藉助數值以外的符號表達。而人們對於這三點的認識是逐漸清晰起來的。歐拉重新定義了函數：
變量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的。
在他1755年出版的《微分學》中，給出了更為明晰的定義：
如果某變量，以如下的方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是後面變量的函數。
可以看到，我們現行的初中數學教科書就採用了這種定義。比較萊布尼茨最初關於函數的定義，我們看到了本質的變化，在萊布尼茨那裡，函數是藉助幾何圖形描述的，而現在已經擺脫了具體的內容，形成了更為一般的，因而更為明確的定義。
柯西則在1821年出版的《分析教程》中進一步定義了變量，“依次取許多互不相同的數值的量叫做變量”，並且定義了自變量和因變量。1851年，德國數學家黎曼給出了函數對應定義：
假定Z是一個變量，如果對它的每一個數值，都有未知量W的一個數值與之對應，則稱W是Z的函數。
我們現行的高中數學教科書就採用了這樣的定義。可以看到，柯西的對應的定義比歐拉的變量的定義更加抽象。到了20世紀，1939年法國的布爾巴基學派給出了更為抽象的定義，這個定義是建立在關係的基礎上的：
如果定義在XY上的關係F滿足：對於每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x,y)∈F,則稱F為函數。
美國的一些中學教材就採用這種定義，這時相當抽象的概念。
我們應當清楚，對於研究者而言，對事物進行抽象有利於把握事物的本質，有利於分析事物之間的關聯；但是，對於學習者而言，過分的抽象往往會適得其反，因為抽象必須捨去事物的一部分表象，因而也捨去了事物的生動與直觀。今天，在我們已經能夠很好地理解函數地時候，回顧萊布尼茨最初的關於函數的定義，反而會感到樸實和自然。
正是因為函數概念的建立，使得數學由常量走向變量，由有限走向無限，由離散走向連續。同時我們也應當看到，無限和連續是非常抽象的概念，是從古至今爭論不休的概念，因此要把數學建立在這樣的概念上，只有通過符號化即形式化，否則是說不清楚的，這些都與極限有關。
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