質量、普朗克與愛因斯坦

無論你是站在浴室的體重秤上，還是在菜市場買東西，我們都會遇到

自1889年起，國際度量衡大會（GCWM）的成員國便一致同意使用大K（Le Grand K）來定義千克。大K是國際千克原器（IPK），是一個鉑-銥合金圓柱體。它被密封在三個嵌套的玻璃鐘形罩內，儲存在法國賽弗爾的國際度量衡局（BIPM）內的一個金庫中。

○ 國際千克原器。| 圖片來源：BIPM

儘管大K被存放在一個高度受控的環境中，它的重量依然會發生非常微小的變化。為了解決這個問題，世界各地的科學家花了數十年的時間來討論如何根據自然、普適的常數來定義千克。現在，他們終於做出了決定。

○ 大K的複製品之一——K92。每隔大約40年，科學家就會將大K和複製品進行比對。| 圖片來源：BIPM

11月16日，在第26屆國際度量衡大會中，60個成員國代表投票通過了對千克的重新定義：

一千克等於普朗克常數除以6.62607015×10^-34m^2/s

普朗克常數（用字母“h”表示）是一個被編寫在宇宙結構中的基本常數，無論在宇宙中的任何位置，它的值都不會改變。從太陽能所依賴的光電效應，到玻爾的原子模型，再到海森堡不確定性原理，我們都能看到普朗克常數的身影。

質量、普朗克與愛因斯坦

1879年，馬克斯·普朗克正為他關於熱力學第二定律的論文進行答辯。同年，阿爾伯特·愛因斯坦出生。這兩位偉大的物理學家大概不會想到他們的工作，將為21世紀對千克的定義奠定基礎。

1900年，普朗克在試圖解決19世紀物理學中一個困擾著許多物理學家的問題時，提出了“量子”的概念。當時的一個主導理論預測說，某些物體在高頻波段（也就是短波長，接近光譜的紫外部分）發射電磁輻射時，會輻射出無限的能量，這種情況被稱為“紫外災難”。普朗克假設，具有特定頻率的電磁能量只能以離散的數量（也就是“量子”）發射，其能量與如今被稱為普朗克常數的h成正比。

○ 經典理論預測的結果（黑線），與從普朗克公式推導出的結果（藍、綠、紅線）相比，普朗克公式與物理測量結果相一致。

那麼，生活中一升水的的質量與量子力學發展初期提出的常數之間究竟有什麼聯繫？物理學家發現，它們之間的深層聯繫就隱藏在物理學中最著名的兩個公式中。

其中一個公式便是著名的愛因斯坦質能方程：E=mc²，其中E是能量、m是質量、c是光速。另一個公式比較鮮為人知，卻是現代科學的基礎，那就是E=hν，其中E是能量、希臘字母ν是頻率，h是普朗克常數。這是歷史上第一個“量子”公式。

愛因斯坦質能方程揭示了質量可以用能量來理解，甚至量化。而普朗克方程表明，能量可以用物體（如光子）的頻率ν乘以h的倍數來計算，而且必須是整數倍，如1、2、3。整數使得這個方程“量子化”，也就是說物質是以離散的塊（被稱為量子）釋放能量的，可以想象為一包一包的能量，或一束一束的能量。

將這兩個方程結合起來，就得到了一個違反直覺卻非常有價值的見解：質量——即使是在日常物體的尺度上——本質上與h有關。普朗克常數的單位是焦耳·秒（J·s）。一個焦耳等於一千克乘以米的平方除以秒的平方 (kg·m²/s²)。顯然，從單位中我們看到了它們之間的關聯。

○ 1931年，五位諾貝爾得主齊聚一堂，左二和中間兩位分別是愛因斯坦和普朗克。| 圖片來源：Public Domain

基布爾秤

幾十年來，物理學家早就知道千克可以用普朗克常數來定義。但是，科學家必須發展出能夠以足夠高的精確度來測量普朗克常數的實驗，才有可能使全世界去接受一個全新的定義。2005年，來自NIST、NPL和BIPM的五名科學家發表了一篇具有里程碑意義的論文：《重新定義千克：一個時代已經到來的定義》。

○ NIST-4基布爾秤。| 圖片來源：Jennifer Lauren Lee / NIST

論文中提到的測量普朗克常數的關鍵技術之一是瓦特秤（Watt balance），由NPL的Bryan Kibble於1975年是首次提出。2016年，為紀念Bryan Kibble的去世，瓦特秤被重新命名為基布爾秤（Kibble balance）。

在普通的天平秤中，在秤的一端放上待稱量的物體，在另一端逐漸加砝碼，直到砝碼的質量（重力）等於待稱量物體的質量（重力），秤就會保持平衡。基布爾秤與此不同的是，雖然要平衡的一端仍然是物體的重力，另一端卻是通電線圈與磁場相互作用產生的

○ 基布爾秤的簡單示意圖。| 圖片來源：NISST

基布爾秤可以在兩種不同模式下運行：

1. 稱量模式（Weighing mode）

將待稱量物體放在線圈上方的秤盤中，產生向下的重力（mg）。然後，在基布爾秤的稱量模式，讓電流通過線圈，直到電流和磁體相互作用產生的向上的力恰好平衡向下的重力，系統達到平衡，記錄此時的電流。這個力的計算非常簡單，就是19世紀人們已經知道的安培定律：

2. 速度模式（Velocity mode）

速度模式運用的也是一條19世紀就發現的定律——法拉第電磁感應定律。在基布爾秤中，取出待稱量物體，關掉通過線圈的電流，讓相干激光保證線圈以恆定的速度在周圍磁場中運動，此時會產生感應電動勢V，並與線圈速度v成正比，即V = vBL。這裡的BL與稱量模式的完全相同。

然後，結合mg = IBL和V = νBL這兩個公式，我們發現，公式兩邊的BL相互抵消了，最終得到IV = mgν（也就是電功率和機械功率的平衡，它們的單位都是瓦特）。所以，質量可以通過m = IV/gν計算。

○ 基布爾秤的基本原理，該儀器可以被用來精確地測量質量。| 圖片來源：NISST

然而，這一切與普朗克常數有什麼關係呢？普朗克常數與電壓和電流又有何聯繫？這背後其實跟兩個物理常數——約瑟夫森常數（K_J = 2e/h）和馮·克利青常數（R_K = h/e²）有關，這兩項工作都獲得了諾貝爾獎。

1962年，約瑟夫森（Brian Josephson）提出了與電壓測量有關的約瑟夫森效應。當施加在超導結上的電壓產生頻率與電壓成正比的交流電時，就會產生交流約瑟夫森效應。頻率的測量可以比其他任何量都要精確。因此，K_J提供了一種測量電壓的精確方法。

電流的測量則是通過測量線圈的電阻，而這與馮·克利青常數R_K相關。R_K

這兩個常數都與普朗克常數有關。如此，普朗克常數就可以通過電流和電壓與質量聯繫起來了。如果精確知道物體的質量，就可以測量h的數值；反過來，如果知道h的確切數值，也就可以測量物體的質量。而後者，正是此次重新定義質量所依據的原理。

○ 在NIST的一塊白板上寫著基布爾秤的基本原理。| 圖片來源：NISST

但是，在接受這個新定義之前，也有一些要求。至少有三個實驗必須產生相對標準不確定度不超過十億分之五十的測量，並且其中至少有一個測量的不確定度不超過十億分之二十。所有這些數值必須在95%的統計置信水平內一致。

NIST最終提交的重新定義國際單位制的h的測量結果的不確定度為十億分之十三。另一項來自加拿大國家研究委員會（NRC）的基布爾秤的測量數據，其不確定度僅為十億分之9.1。包括法國國家計量實驗室（LNE）在內的其他兩項基布爾秤測量也都達到了要求的精確度。

最圓的球體

除了基布爾秤外，那篇論文中還提出了另一種計算普朗克常數的方法——用硅原子的質量來定義千克，方法是計算1千克的超純硅-28（硅的最豐富的同位素，總共包含28個質子和中子）球體中的原子數量。而這背後與另一個我們熟知的常數有關，即阿伏伽德羅常數（N_A）。

○ 阿伏伽德羅常數（N_A）與普朗克常數（h）之間的聯繫。

在目前的國際單位制中，阿伏伽德羅常數被定義為12克碳12所包含的原子數目，其數值大約為6.022 x 10²³mol

為了最小化不確定性， 科學家將1千克均勻的硅-28晶體制作成一個近乎完美的球體，完美到如果讓這個“硅球”膨脹到地球那麼大，那麼硅球表面上“最高的山峰”和“最深的海洋”也不過3-5米的差距。另一方面，這塊硅-28晶體球的純度高達99.9995%，這種高純度確保了所有原子具有同樣的質量，因而可以簡化計算。

○ 純硅-28原子的阿伏伽德羅球。通過測量球的體積和單個硅-28原子的體積，科學家可以測量球體中單個原子的質量，提供了一種計算阿伏伽德羅常數的方法，進而被可以用來計算普朗克常數。| 圖片來源：BIPM

光學干涉測量術使得對球體直徑的測量可以精確到納米量級；而X射線晶體學則可以提供了硅晶體結構的圖像。根據這些，就可以精確的確定阿伏伽德羅常數的數值。對“硅球”的四項測量也符合國際要求。

基布爾秤和阿伏伽德羅常數這兩種方法形成互補，最終確定了普朗克常數的值為：6.62607015×10^-34kgm^-2s，不確定度只有十億分之十。

儘管對千克的重新定義不太可能會改變你的日常生活，但定義一個更精確的計量系統最終產生的效應往往是深遠的。

舉個例子。自1967年以來，1秒就被定義為銫-133原子基態的兩個超精細能級間躍遷對應輻射的9192631770個週期的持續時間。沒有這種精度，今天的GPS技術就不可能實現。每顆GPS衛星都攜帶一個原子鐘，根據愛因斯坦的相對論，高速繞地球運行的衛星上的原子鐘的時間流逝，會比地面上的時鐘慢一點點。如果沒有新的定義，我們就無法對這些微小的差異進行修正。那麼GPS定位也將成為科幻。

單位秒和GPS之間的關係揭示了計量學和科學的基本交織：不斷進步的研究需要並允許新的測量標準，而這些新的測量標準反過來又使更先進的研究成為可能。此次被重新定義的基本單位還有安培、開爾文和摩爾。

https://www.bipm.org/en/about-us/

https://www.smithsonianmag.com/science-nature/redefine-kilogram-180970798/

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/42/2/001/meta

https://www.nist.gov/si-redefinition/turning-point-humanity-redefining-worlds-measurement-system

閱讀更多 原理 的文章

關鍵字: 菜市場 千克 馬克斯·普朗克