1742年，一個不那麼有名的數學家哥德巴赫給超級有名的大神歐拉的信中提出了以下猜想：“任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。”並請求歐拉來給予證明。歐拉回信又加強了一下命題，改為“任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。”前一個命題叫弱哥德巴赫猜想，後一個稱為強哥德巴赫猜想，歐拉至死都沒有證明這個問題。
哥德巴赫
這個有名的猜想在最初的280年間幾乎毫無進展，人們只知道通過驗算，一直都沒有發現反例，很多人也堅信這個猜想是正確的。
20世紀以後，人們改用步步推進的方式來圍攻哥德巴赫猜想。用“a+b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表示為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。於是，終極目標就是證明偶數滿足1 + 1。
沿著這個思路，1920年，挪威的布朗率先證明了9 + 9，顯然這個結果離最終的結論很遠，但終究是邁出了第一步，所以意義仍然重大。接著7 + 7，6 + 6,5 + 9陸續都出來結果，中國數學家在哥德巴赫猜想的研究上獨佔鰲頭。王元在1956年證明了3 + 4，3 + 3，2 + 3。1962年，潘承洞證明了1 + 5，同年，王元又攻破了1 + 4。直到1966年，陳景潤用改進的篩法證明了1 + 2，距離終極目標僅有一步之遙。然而至此之後的50年，數學界對於哥德巴赫猜想的研究再也沒有重大進展。很多數學家認為，用篩法作為武器來對付哥德巴赫猜想其實已經彈盡糧絕了。
中國解析數論三駕馬車——王元陳景潤潘承洞
電子計算機的逐步發展，給各個行業帶來了脫胎換骨的改變。有人在對停機問題的研究上給出了不一樣的角度構造了一個精巧的理想實驗來應對哥德巴赫猜想問題。
計算機剛剛誕生之初，人們就考慮過停機問題。最初時代的程序員都幻象著，有位大牛能夠發明一套算法，用這個算法可以檢測任意程序代碼，並分析這些代碼段是會在某個節點停止執行，還是陷入死循環一直執行。如果真的有這樣的一套算法，那麼今天的程序員會省掉很大一部分精力來檢查代碼的有效性，他們只要把精力集中在方法的實現上就可以。
我們編寫一個簡單的驗證哥猜小程序，從6開始進行驗證，並且不限制上限值。如果這樣的超級算法存在，那麼我們將這個小程序用超級算法檢驗，當驗算到某個數值時，如果超級算法給出的結果是程序將永不停機，那麼我們也就不用繼續下去，換句話說，這樣就已經證明了哥德巴赫猜想了。
而實際上停機問題的產生是一種邏輯上的矛盾性。1936年，圖靈（又是圖靈）證明這樣的超級算法不存在，你永遠用自身的邏輯體系去評價自身的邏輯正不正確。雖然這樣的超級算法不存在，我們還可以繼續去開拓一種思路，那麼任意程序停機的概率總是存在的吧，而且這個概率是個定值，也就是蔡廷常數。
下面我們來一場頭腦風暴吧。
“異形計算機”
假設我們有一臺無窮算力，無限內存，並且無盡壽命的超級計算機，這個計算機可以計算世界上任何複雜的問題，我們將這個計算機稱為異形計算機。現在我們把所有可能排列的程序按照文件大小從1,2,3...q來分類，並且將每一類的停機概率設置為P1,P2,P3...Pq。N是已驗證停機程序的個數，M是已驗證總的程序個數，顯然，Pq=N/M，。如果當前驗證的程序是停機的，那麼P=(N+1)/(M+1)，如果當前驗證程序不停機，那麼P=N/(M+1)。注意這裡的程序是廣義上的，實際上我們交給異形計算機的任務是，用窮舉法將任意合法字符組合成代碼段，這裡大部分都不能被稱之為程序，因為有各種語法錯誤，邏輯錯誤等等，也就壓根談不上執行了。
我們將長度從1,2,3...q的程序做一個總的停機概率統計Ω。異形計算機開始工作，開始執行這些無比複雜艱鉅的任務。我們關注顯示器上Ω的值以及當前的Pq值。這兩個概率值不會隨著驗證次數增加而上下跳躍，隨著海量無窮的程序被逐漸驗證，我們最終會發現這個兩個數值會逐漸逼近某個值，蔡廷常數就是這個值的下限。那麼我們什麼時候才可以判定某個程序是否永不停機呢？
這裡我們讓異形增加一個判別條件，
Min函數左邊表示，增加一個停機程序對於程序長度k停機概率值的正貢獻，右邊表示，增加一個不停機程序對於程序長度k停機概率值的負貢獻。這個判別條件的意思是，若長度為k的所有程序的停機概率Pk與總體概率值Ω的差值已經比程序增加一個程序給整體概率值帶來的正負貢獻還要小時，我們就可以斷定，那些此時還在運行著的程序，將永遠不停機！
舉個數學家在證明中用到的例子，類似於這裡在找一個充分大的k。
2013年，法國巴黎高等師範學院的研究員哈洛德•賀歐夫各特徹底證明了弱哥德巴赫猜想。
哈洛德•賀歐夫各特
由於現實裡，我們並沒有異形計算機這樣空前的算力，所以計算機只能驗算相對有限範圍的數值。前人已經證明了，充分大的奇數情況下，弱哥德巴赫猜想成立。賀歐夫各特的重大貢獻在於，他第一次將這個充分大的下界降到了計算機可以驗算的範圍內，10的30次方。很快10的30次方以內的所有奇數通過驗證，因此也弱哥猜被完全解決。異形計算機的工作也類似，它除了要執行那些複雜無限的計算任務以外，還必須時時關注什麼時候程序會產生滿足判別式的k,如果k值找到，那麼異形計算機任務完成，我們朝思暮想的猜想也就解決了。
倘若異形在找到滿足判別式的k之前，某個猜想的驗證程序就已經停機了，那麼顯而易見，這些猜想僅對有限的數字是成立的，並不能推廣到所有情況。如果異形已經找到k,此時檢索當前仍然運行的程序裡有哥德巴赫猜想驗證程序，費馬大定理驗證程序，或者孿生素數驗證程序。那麼這些驗證程序就將會被永遠執行下去，不停機，換句話說，我們已經從另外一個角度上證明了這些猜想對所有的自然數都是成立的，也就是證明了這些重大問題！
在這裡，我們實際上並沒有用到多麼高深的數論知識，我們只是擁有一臺超凡算力的異形計算機，以及一些構造性的簡單驗證算法而已。然而這樣的理想思維實驗卻對著所有的需要驗算全體自然數的數論問題很有效，因此也有人把這樣的方法稱之為證明數論問題的“萬能方法”。
當然了，這樣的算法實際上並沒有多少可執行性，但是卻給我們帶來了一個獨特的角度來思考問題，就像是給數學證明開啟了一扇新的窗戶。我們相信大概很多年之後，必定會有一個人站出來給出純理論的方法證明哥德巴赫猜想，不論採用的是陳景潤的篩法還是另闢蹊徑的新方法。
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