丈量新世界
微積分的本質
個人理解就是先把不規則的無限切，切成規則的，然後再用堆積；
實際應用中，我們需要計算的物體或者平面都是不規則的，無法使用公式計算或者用工具進行測量，微積分的好處就是可以無限切分，當切的無限小的時候“微元”時，就可以認為它是規則的了，這個時候就可以代入公式進行計算了；
此外，微積分是一個計算工具，需要依託經典公式進行微元計算，然後用微積分公式進行微元的堆積。
小兵的拼搏
小學時候我們就學過圓的面積公式
其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個公式是怎麼得到的嗎？
首先，我們畫一個圓，這個圓的半徑為R，周長為C。我們知道，圓的周長與直徑的比定義為圓周率，因此
這個公式就是圓周率π的定義，是不需要推導的。
然後，我們把圓分割成許多個小扇形，就好像一個比薩餅分割成了很多小塊。再然後，我們把這些比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個接近於長方形的圖形。
可以想象，如果圓分割的越細，拼好的圖形就越接近長方形。如果圓分割成無限多份，那麼拼起來就是一個嚴格的長方形了。而且，這個長方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個長方形的面積就可以了。
這個長方形的寬就是圓的半徑R，而長方形的長是圓周長的一半
根據長方形的面積公式“長方形面積=長乘寬”，我們得到圓的面積公式：
其實，這個推導過程很簡單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。
大家知道微積分是誰發明的方法嗎？
其實，從古希臘時代開始，數學家們就已經利用微積分的思想處理問題了，比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關問題時都用到了這種思想，但是那時微積分還沒有成為一種理論體系。直到十七世紀，由於物理學中求解運動-如天文、航海等問題越來越多，微積分的需求變得越來越迫切。於是，英國著名數學家和物理學家牛頓和德國哲學家和數學家萊布尼茨分別發明了微積分。
1665年，牛頓從劍橋大學畢業了，當時他22歲。他本來應該留校工作，但是英國突然爆發瘟疫，學校關閉了。牛頓只好回到家鄉躲避瘟疫。在隨後的兩年裡，牛頓遇到了他的蘋果，發明了流數法、發現了色散，並提出了萬有引力定律。
牛頓所謂的流數法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當時並沒有把它看得太重要，而只是把它作為一種很小的數學工具，是自己研究物理問題時的副產品，所以並不急於把這種方法公之於眾。
十年之後，萊布尼茨瞭解到牛頓的數學工作，與牛頓進行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發明第一人，連續發表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對他與牛頓之間通信的事隻字未提。
牛頓憤怒了。作為歐洲科學界的學術權威，牛頓通過英國皇家科學院公開指責萊布尼茨，並刪除了鉅著《自然哲學的數學原理》中有關萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對牛頓反唇相譏。兩個科學巨匠的爭論直到二人去世依然沒有結果。所以我們今天談到微積分公式，都稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。
他們在自己的著作中刪除對手的名字時，如果知道後人總是把他們的名字放在一塊寫，又會作何感想呢？歷史就是這麼有趣。
為了讓大家更瞭解微積分和它的應用，我們再來計算一個面積：有一個三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，並且有兩個直角。我們希望求出木板的面積。
為了求出這個面積，我們首先把木板放在一個座標系內，底邊與x軸重合。左右兩個邊分別對應著x=a和x=b兩個位置，而頂邊曲線滿足函數y=f(x).函數的意思就是一種對應關係：每個x對應的縱座標高度是f(x)。
如果我們把這個圖形使用與y軸平行的線進行無線分割，那麼每一個豎條都非常接近於一個長方形，而且長方形的寬是一小段橫座標Δx，高接近於f(x)，所以這一小條的面積就是f(x)Δx。
現在我們把無限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作
其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數，這個表達式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。
怎麼樣？雖然微積分的計算比較複雜，但是明白原理還是十分簡單的，對不對？
李永樂老師
今年我家孩子上大學。暑假裡我給他講了一下微積分的本質。我給自己設定的要求是沒有一個公式，而且中學生都能聽得懂，我是這樣講的：
求一個直角三角形的高，可以通過底長和夾角來推算，但如果三角形是一個曲邊的呢？再用加角和底邊兒推算就會產生很大的誤差。
那該怎麼辦呢？不妨曲邊三角形分成三段，形成三個藍色直角三角形的，再通過它們夾角和底長推算數三個小高度，這三個小高度就叫做“微分”。
然後，將這三個微分累積起來，就叫做“積分”，這個積分就是我們所求的曲邊三角形的高度。
問題來了，這三個藍色直角三角形的高度，其實是低於實際高度的，會有一個紅色的小誤差。
如何將這個誤差消除呢？如果分成更多段，形成更多的藍色直角三角形，那麼這個紅色的誤差就會快速縮小。
如果分成無窮多段，形成無窮多個藍色直角三角形，那這個紅色的小誤差就會消失。
所以說微積分的本質就是：通過無窮小來求總和。
這算不算史上最容易理解的微積分科普？
先不忙誇我，這個例子及其說法是我從中國科學院林群院士那裡偷學來的。
這個問答可是有院士背書啊😄請大力點贊評論和轉發！
奧卡姆剃刀
很高興回答你的問題。
說到微積分，我覺得這是我們接近世界本質，所邁出的第一步。
為什麼這麼說呢？因為，如果數學還停留在算個橫平豎直、矩形三角的面積的話，那麼離應用真的是差太遠了。
數學是什麼？
一個工具，如果說物理是在探究這個世界的一些規律和原理的話，那麼數學就是物理的語言。
如果沒有微積分，這個語言就幾乎失去了價值。這個世界其實沒有那麼多稜角，連隨便一塊石頭，都有風、水和歲月的侵蝕，來把稜角打磨。那麼微積分就是打開了通向這個“圓滑”的世界的大門；除此之外，這個世界還是多變的，雖然說“你不可能踏入同一條河流兩次”這樣的觀點太唯心，但是正是這樣的思想告訴了我們一個道理：
這個世界變化太快。
而微積分給了我們去跟上變化的資本。
萬變不離其宗，你怎麼變，我都可以去積分積出來。
用哲學的角度看：
積分是看到了量變產生的質變。
微分是放大絲毫的變化，讓你不被任何一個“平滑掉”的數據，矇蔽雙眼。
微積分，讓我們有可能看清世界。
如果覺得有用，您就給點個贊、粉個好友唄。
大約花費0.3KB的流量，哈哈哈哈哈。
畢竟，我辣麼萌~
不哈韓的小韓
微積分的本質可以從物理上求速度和位移來說明！
首先，說微分。沒有這個概念以前，高中物理最多敢講授勻變速運動。唯一涉及到變加速運動還是在功裡面，通過汽車加速過程中，通過不斷增加檔位，減小牽引力，提高速度，最終達到勻速。大學裡面解決這一問題就簡單了，我們可以假設如上圖的，如果
t2—t1無限趨緊於0，則這時：
v＝ds／dt，即由上圖的平均速度變成了瞬時速度，這就是求位移對時間的導數。可見，小夥伴再也不是隻能計算勻速、勻變速運動了，任何運動都可以用導數來計算。總結來說，就是微分就是如果我們將複雜的變加速運動速度，分割成很多的極短時間的勻速運動，就可以計算出物體各個時刻的速度了。
其次說積分。沒有積分以前，我們也只能通過運動學公式計算勻速或者勻變速物體的位移。而有了積分我們面對變速運動也可以通過計算每一段不同速度的位移再加起來就可以了。
總之，微積分的出現使人類認識世界和改造世界的能力大大提高！
地震博士
說「本質」都是很難的事情。但我們可以從一些簡單的定義出發，來理解一下什麼是微積分。
我們看看最簡單的一個積分：
它對應的圖像就是這樣的：
斜的直線就是它。但如果我們要計算它的面積，該怎麼算呢？可以拆分成小的長方形。有的人可能會問，不還有三角形的差別嗎？對，但如果長方形夠細，這些差別就會足夠小。當細到零的極限的時候，就是它的面積了。
也就是：
在取 delta x -> 0 的時候，就逼近了右邊的積分式了。
實際上，積分的符號就是拉長的S，也就是Sigma符號的S。這也表明了他們之間的內在關聯。
為什麼我不說「積分就是算面積」呢？因為這個說法不嚴謹，除了我們常見的積分（黎曼積分）之外，還有Lebesgue積分，如果直接說積分就是算面積，其實是很不嚴謹的。
而且在做路徑積分的時候，「求和」這個直覺模型，是比「面積」要更為直觀的。如果死守住面積的說法，是不利於後面的學習的。
章彥博
十年前，翻箱倒櫃找東西的時候，不小心翻出來大學時候的課本《高等數學》，心血來潮就重讀起來，第一章是極限，第二章開始講微分，讀了兩章，頓時覺得自己大學一年級時是多麼的愚笨——這麼簡單的高等數學才考了七八十分。
十年後的某一日，把已經墊在書櫃腳上的高等數學課本抽出來，擦去灰塵，翻開，膩麻，完全看逑不懂了！
如今，數學功底剩得只會如下運算：
單價╳面積=總價
工程結算價—已支付進度款=年底準備帶工人去堵門或者用跳樓秀方式討要的工程尾款
亹齍
積分
對於經常學習使用微積分的我來說哦，理解微積分就需要理解下面幾個點：
1.無窮小：無限趨近於0的變量。將一根木棍均勻分割成無限多的小段，每一小段就是一個無限小的量。
2. 在無限小的世界裡，沒有曲線。所有無限小的線段都是直線。如下圖所示，當需要求曲線下方與X，Y軸之間面積的時候，最容易的想法就是無線分割。如下圖這樣將X軸分割成7等份，整個面積被分成了7份。但是當無限分割後，陰影面積被分解成無限份，因為無限小的線段都是直線，兩個曲線上無限接近的點的連線可以看做即平行於X軸，也平行於Y軸（比較抽象）。
所以陰影面積就是無窮多個矩形面積的和。
這個是積分：無線分割然後求和的過程。
正弦函數曲線面積
微分
微分的幾何意義可以看做求曲線上任一點的切線斜率。
微積分的應用
這還是很多例子中的一個，活學活用才能體會到微積分的強大。
逃學博士
通俗地說，“微積分”三個字，顧名思義，就是無限分割之後再無限累加，很好理解，是大學裡所有自然科學專業的必修基礎課，在數學系叫做“數學分析”，在其他系叫做“高等數學”，是理科生考研的重頭戲，看似深奧，其實並不難，小學、中學的數學、物理都用到了微積分的思想。
小學算術，圓形面積計算，就是從圓心到圓周做許多輔助線，把圓形平均分割成許多圓心角很小的扇形，再把這些扇形相互交錯地拼接成近似的矩形，分割得越細，拼接出的圖形就越接近於矩形，當無限分割時，拼接出的圖形就是矩形，這其實就是所謂的微積分，矩形的長等於圓形周長的一半πr，矩形的寬等於圓形的半徑r，因此矩形的面積為πr²，也就是圓形的面積。
高中立體幾何，球體體積計算，我上學時用的教科書，是將球體平行分割成許多圓臺，兩個最邊上的看做近似的圓錐體，不過我覺得這種方法不好，推導過程太麻煩，不如從球心到球體表面做許多輔助線，把球體分割成許多頂角很小的近似的錐體，所有錐體的底面積之和等於球體的表面積4πr²，錐體的高近似等於半徑r，和前面的圓形面積同理，分割得越細，錐體的高就越接近於半徑，當無限分割時，錐體的高就等於半徑，因此球體的體積為4πr³／3，我覺得這樣推導體積公式簡單得多，用微積分的專業術語來說，球面積分比直角座標積分簡單，不過上中學時不敢違抗課本和老師，呵呵。
高中物理，力學裡的加速度，就是速度的導數，只不過高中沒有正式學過微積分，只能用初等數學的方法，所以說，大學裡的普通物理，其實比中學物理容易，大學的高等數學，也比高中數學容易，就像用初中代數做《九章算術》裡的“雞兔同籠”一類的題，比用小學算術去做要簡單一樣。
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微積分的醞釀是在17世紀上半葉到17世紀末這半個世紀。
1608年伽利略第一架望遠鏡的製成，不僅引起了人們對天文學研究的高潮，而且還推動了光學的研究。
開普勒通過觀測歸納出三條行星運動定律：
（1）行星運動的軌道是橢圓的，太陽位於該橢圓的一個焦點上。
（2）由太陽到行星的焦半徑在相等的時間內掃過的面積相等。
（3）行星繞太陽公轉週期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。
最後一條定律是在1619年公佈的，而從數學上的推證開普勒的經驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一。1638年伽利略《關於兩門新科學的對話》出版，為動力學奠定了基礎，促進人們開始對動力學概念與定理作出精確的數學描述。望遠鏡的光程設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線和求曲線的切線，而炮彈的最大射程和求行星的軌道的近日點、遠日點等涉及函數最大值、最小值等問題；而求曲線所圍成的面積、曲線長、重心和引力計算也激發了人們的興趣。
在17世紀中葉，幾乎所有的科學大師都致力於未解決這些難題而尋求一種新的數學工具。正是為解決這些疑難問題，一門新的學科——微積分應運而生。
微積分的創立，歸納為處理以下幾類問題：
（1）已知物體運動的路程和時間的關係，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知加速度與速度，求任意時刻速度和路程。
（2）求曲線的切線，這是純幾何問題，但對科學應用具有重大意義，如透鏡的設計、運動物體在運動軌跡上任一點的運動方向（即該點切線方向）等。
（3）求函數最大值、最小值，前面提到彈道射程問題、近日點、遠日點等問題都屬於這一類問題。
（4）求積問題，包括求曲線長、曲線所圍面積、曲面所圍體積等。
而這些問題的解決，原有的已經無能為力了，只有當變量引進數學，能描述運動過程的數學新工具——微積分的創立後，這些難題才得以解決。其中最重要的是速度和距離以及曲線的切線和曲線下的面積這兩類問題。正是為了解決這兩類問題，才有了牛頓和萊布尼茨各自獨自創立了微積分。
