一週一定理No.5 月牙面積定理
整理 | 子曰
月牙形是一種邊緣為兩個圓弧的平面圖形。公元前5世紀古希臘希俄斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios）因為他的偉大發現——求月牙面積——而被後人讚頌。評論家普羅克洛斯（公元410—485）就以他5世紀的眼光認為，希俄斯的希波克拉底“……作出了月牙形的等面積正方形，並在幾何學中做過許多其他發現，如果說那個時代有一位作圖天才，那一定非他莫屬。” William Dunham 在他的科普名著《天才引導的歷程：數學中的偉大定理》中，講述了12個偉大的定理，而第一個定理就是希波克拉底的月牙面積定理。
今天我們將借「一週一定理」這個欄目給大家介紹一下月牙面積定理及其歷史背景和意義所在。
如圖1，以AB為直徑作半圓，O為AB的中點，作OC垂直於AB，其交半圓於C，並連接AC與BC，取AC的中點D，然後以D為圓心，以AD為半徑作半圓AEC，這樣就形成了月牙形AECF，如圖1中的黃色部分。
圖1
希波克拉底發現並證明了月牙面積定理。
【定理】 月牙形AECF可用等積正方形表示。
這裡有必要解釋一下“可用等積正方形表示”，字面意思就是“能夠用與其面積相等的正方形表示”。但是為什麼要用等積正方形表示呢？其實這裡面有著深刻的歷史背景和意義，體現出了古希臘人獨特的數學智慧。
對於古希臘人說，求面積源於實際生產生活中測量的需要，如何求各種圖形的面積——尤其是不規則圖形的面積——是那個時代希臘數學的一箇中心問題。他們的處理方法簡單而偉大，即把不規則圖形用等面積的正方形替換，那麼確定不規則圖形的面積問題就轉化為確定正方形面積的簡單問題了。
因此，對於公元前5世紀的希臘人來說，如果一個平面圖形能夠用一個等積正方形表示，那麼平面圖形的面積就可以確定下來了。所以求面積也叫求方。在求方的過程中，古希臘人還有一個不成文的規矩，就是隻能使用圓規和(沒有刻度的)直尺作圖，而且這個規定一直保留至今，甚至成為幾何作圖必須遵守的規則。
這種化繁為簡，用簡單和基本的東西為基礎構建複雜問題的處理方式，在數學中有廣泛的應用，也是我們在數學學習中需要掌握的重要數學思想。
古希臘人首先解決了長方形求方的問題，接下來是三角形求方問題，最後過渡到多邊形求方問題。
【第1步】求長方形的面積。
圖2
對任意長方形ABCD，延長AD到E使DE=CD，取AE的中點F，以點F為圓心，以AF=EF為半徑作半圓，延長CD交半圓於H，然後以DH為邊作正方形DHKL，那麼，正方形DHKL與原長方形ABCD面積相等。
為了證明正方形DHKL面積與長方形ABCD面積相等，我們設HF=a，DF=b，DH=c。則在直角三角形DFH中，根據勾股定理：a²=b²+c²，或a²-b²=c²。顯然AF=EF=HF=a，AD=AF+DF=a+b，CD=DE=EF-DF=a-b，所以
S（長方形ABCD）
=AD×CD
=（a+b）（a-b）
=a²-b²
=c²=S（正方形DHKL）
這樣，我們就證明原長方形面積等於我們用尺規作圖所作的正方形面積，從而完成了長方形的求方。
求出長方形的面積後，我們就可以求三角形面積了。
【第2步】求三角形面積。
圖3
對任意三角形ABC，作BC邊上的高AD，取AD的中點E，然後我們作長方形FGHI，使FG=BC，GH=DE。
此時，S（長方形FGHI）
=FG×GH
=BC×DE
=1/2BC×AD
=S（△ABC）
至此，三角形求方問題也已完成。
【第3步】求多邊形的面積。
圖4
對於任意一個多邊形，我們可以通過連接對角線將多邊形分成若干個三角形。以五邊形為例，可以將其劃分為3個三角形，即Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ，整個五邊形的面積就等於S（Ⅰ）+S（Ⅱ）+S（Ⅲ）。
在第2步中，我們已經知道三角形是可用等積正方形表示的，因此，我們可以分別作出與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ面積相等的正方形，設它們的邊長分別為a，b，c，如圖5。
圖5
然後，以a和b為直角邊，作直角三角形，設其斜邊長為x，則x²=a²+b²。再以x和c為直角邊，作直角三角形，設其斜邊長為y，因而，y²=x²+d²。最後，我們便 能以y為邊長作正方形（如圖6陰影部分）。
圖6
綜合我們的結論，就得到
y²=x²+d²=a²+b²+d²
=S（Ⅰ）+S（Ⅱ）+S（Ⅲ）
因此，原多邊形的面積就等於以y為邊長的正方形面積。
顯然，以上作圖和推導過程適用於任何多邊形。總之，多邊形是可用等積正方形表示的。即使對於像圖7這樣的平面圖形也是可以用等積正方形表示的。想想為什麼？
圖7
利用上述方法，希波克拉底時代的希臘人可以將雜亂無章的不規則多邊形變為等面積正方形。但是，遺憾的是這些圖形都是直邊圖形，對於曲邊圖形是否也可用等積正方形表示這個問題，起初，人們認為，這似乎是根本不可能的，因為顯然沒有辦法用圓規和直尺將曲線拉直。其中，尤其是對於圓來說，如果不能用等積正方形表示，總是不那麼完美。
我們都知道，幾何上有三大著名難題，這三個問題是：
1. 三等分角，將給定角分成三個相等的角問題；
2. 倍立方體，求一體積為已知立方體體積兩倍的立方體的邊長；
3. 化圓為方，求與給定圓面積相等的正方形問題。
其中化圓為方問題正源於此。
當希波克拉底於公元前5世紀成功地將一種稱為“月牙”曲線圖形化為正方形時，世人驚得目瞪口呆。
圖8
由於希波克拉底求月牙面積的成功，希臘數學家對於“化圓為方”問題持非常樂觀的態度，彷彿勝利的曙光就在眼前，據傳希波克拉底本人曾聲稱他能夠求出圓的面積。不過戲劇性的是，2000多年後的1882年，德國數學家費迪南德·林德曼（1852—1939）成功而明確地證明了化圓為方是根本不可能的。這真是一個漫長、曲折而又頗具戲劇性的結果。
林德曼因為證明π是超越數，從而導致化圓為方不可能問題的證明，這已經超出了本文所要討論的範圍。
最後，我們附上希波克拉底月牙面積定理的證明如下，他的證明是如此簡單而又高明。
【定理】 月牙形AECF可用等積正方形表示。
圖9
【證明】 由於∠ACB為半圓上的圓周角，所以，∠ACB是直角。根據“邊角邊”全等定理，三角形AOC和BOC全等，因此，AC=BC。然後，我們應用畢達哥拉斯定理（即勾股定理），就得到
因為AB是半圓ACB的直徑，AC是半圓AEC的直徑，所以，我們可以應用上述第三條結論，即得到
也就是說，半圓AEC的面積是半圓ACB面積的一半。
我們現在來看四分之一圓AFCO。顯然，這個四分之一圓也是半圓ACB面積的一半，據此，我們可直接得出
面積（半圓AEC）=面積（四分之一圓AFCO）
最後，我們只需從這兩個圖形中各自減去它們共同的部分AFCD，即
面積(半圓AEC)-面積(AFCD部分)
=面積(四分之一圓AFCO)-面積(AFCD部分)
我們從圖中可以很快看出，剩下的部分就是
面積(月牙形AECF)=面積(△ACO)
我們已經知道，可以作一個正方形，使其面積等於三角形ACO，因而也等於月牙形AECF的面積。這就是我們所尋求的化月牙形為方的問題。證畢
以上，希波克拉底只是求出了一種特殊的月牙形面積，有趣的是，並不是所有的月牙形都能化成等積正方形。1771年，偉大的數學家歐拉（1707—1783）發現了另外兩種可以用等積正方形表示的月牙形。直到20世紀，N.G. 切巴託魯和A.W. 多羅德諾證明出了只有五種月牙形可用等積正方形表示！所有其他類型的月牙形，都像圓形一樣，不可能化為等積正方形。
最後，需要說明的是，根據希波克拉底特殊月牙定理的證明，我們很容易證明如下更一般的月牙定理。
【月牙定理】以直角三角形兩條直角邊為直徑向外做兩個半圓，以斜邊為直徑向內做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等於該直角三角形的面積。
圖10
即兩個黃色月牙形面積之和等於灰色直角三角形面積。作為練習，請各位讀才自己完成證明過程。
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