怎么
又来了
在上篇文章中，我们说到由柯西与康托尔为代表的数学家们，通过建立起了严谨的极限理论，和实数理论成功解决第二次数学危机。（传送门：互掐了半辈子的两个数学巨头，到最后连单身问题都没解决）
就当大家觉得总算可以消停会时，第三次危机又来了！
又是一个找茬的
然而这次危机的引发者，恰恰也是解决了第二次危机的数学家——康托尔。
格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）
1873年11月29日，康托尔给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ）寄了一封信，信中提到：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。
同年12月7日，康托尔又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这标志着集合论的诞生。
十九世纪下半叶，他创立了著名的集合论。但在集合论刚产生时，遭到了许多人的猛烈攻击。
尤其有一个叫克罗耐克的数学家，处处与康托尔作对，跟针对牛顿的贝克莱 一样，克罗耐克也有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作”。
克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象。他反对无理数和连续函数的理论，并且说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。
由于连续统假设长期得不到证明，以及克罗耐克在当时的数学界权势很大，康托尔不断的受到各方面打压，甚至由于过度紧张得了精神病，最后死在了精神病院里。
后来有越来越多的数学家，接受了康托尔这一开创性成果，认为从自然数与康托尔集合论出发，可建立起整个数学大厦—“一切数学成果可建立在集合论基础上”。
一波未平一波又起
但好景不长，又有一个震惊数学界的消息传出来了：集合论是有漏洞的！
1903年，数学家罗素（Bertrand Russell，1872—1970）提出的一个悖论：若S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？
说到这个罗素，也是大有来头，不仅是哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，也是分析哲学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。
罗素出生在英国的一个贵族家庭，祖父曾担任英国首相。虽然家里很有钱，但不幸的是，在罗素年幼的时候，父母和祖父相继离世，他从小由祖母照顾。
祖母出身于一个贵族的虔诚教徒的家庭，在道德方面对罗素要求非常严格。罗素12岁生日时，祖母送给他一本《圣经》，书的扉页上题写着：“不可随众行恶” 。这句话成为罗素一生道德上的座右铭。
罗素的童年和少年时代是孤独的，他没有像其他富二代一样上贵族学校，而只是在家里接受保姆和家庭教师的教育。
祖母特别讲究规矩和清教徒的美德，而且不允许怀疑。但数学是可以怀疑的，因为数学没有伦理内容，于是罗素喜欢上了数学。
同样的，罗素也有一句名言：在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。
罗素的这个悖论看似简单明了，却轻轻松松的摧毁了集合理论！许多把数学作为信仰的数学家，心态爆炸。
他还把自己的发现告诉了德国著名逻辑学家弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）。
弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）
然而，看完信后的费雷格差点吐血。因为这时候，弗雷格的关于集合的基础理论正好完稿付印。
因为这个悖论的诞生，导致了他的著作《算术原理》中的第五公理是错的。
最后他在自己著作的末尾写道：
“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”第三次数学危机的解决方案
为了解决这次数学危机，数学家们纷纷提出自己的解决方案。
首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗（ Zermelo），他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论。
又经过德国的另一位数学家弗芝克尔（Fraenkel-Conrat,Heinz）的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。
(1)外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等 [1] 的。(2)分离公理模式：“对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合Y，使z∈Y 当且仅当z∈X而且P(z)为真”也就是说：若A是一个集合，那么可以断定，B={x∈A|P（x）}也是一个集合。(3)配对公理：对任意a和b是对象，则存在一个集合{a，b}，其仅有的元素是a和b。也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统即使历史上的三次数学危机,给人们带来了极大的麻烦，但危机的产生也使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段。
所以悖论是科学发展的产物,又是科学发展源泉之一。
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