非線性系統與混沌
在一個物理系統中，如果該系統的輸入與輸出成正比的話，則被成為線性系統，例如我們熟知的純電阻電路系統，電路的輸入電壓與輸出電流滿足歐姆定律，是個典型的線性系統。
線性系統的動力學行為是由系統的線性（微分）方程組來描述，其數學結構相對簡單，人們對其的研究已經相當完善了，在物理學和控制學等領域也得到了廣泛的應用。
然而，我們的自然界的大部分系統本質上卻是非線性的，即輸入與輸出並不是成正比關係，系統的（微分）方程含有非線性項。例如，當入射光的強度較大時，介質的極化強度與光強不再是成正比了，這就是所謂的非線性光學，是一個典型的非線性系統。
相對於線性系統，非線性系統看起來顯然要複雜得多。因此，它又蘊含了許多線性系統所沒有的有趣現象，從而吸引了眾多數學家、物理學家以及各類工程學家的極大興趣。其中最迷人但也最令人討厭的現象就莫過於“
混沌（chaos）”了。 所謂的混沌，簡單的來說就是一個系統的響應對初始狀態相當敏感，初始條件的一個微小的變化都可能會導致最終狀態的巨大差別。一個最經典的例子就是蝴蝶效應：一隻蝴蝶在巴西亞馬遜輕拍翅膀，可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍捲風。
混沌理論發展歷程
混沌理論最早可以追溯到19世紀末期，當時大數學家、物理學家龐加萊在研究天體物理問題時發現，對於保守三體運動系統，有些軌道沒有周期，並且這些軌道既不會越來趨向於無窮遠處，也不會收斂到一個穩定點。這是人類歷史上對混沌現象的最初的認識（當時還沒有引入混沌的概念）。
雙杆擺動畫，呈現混沌行為
在龐加萊之後，混沌現象並沒有引起人們的重視，關於混沌的研究基本處於停滯狀態。然而，到了1961年，事情迎來了轉機，氣象學家愛德華·羅倫茲在用計算機模擬天氣情況時，發現大氣運動系統對初值極為敏感，初始狀態的任何一點微小的變化在演化一定時間後，都會導致完全不一樣結果。
愛德華·諾頓·羅倫茲（Edward · Norton · Lorenz，1917 – 2008），美國數學與氣象學家，混沌理論之父，蝴蝶效應的發現者
羅倫茲斷言：準確地對天氣做出長期的預測是不可能的。對此，他做了一個相當形象的比喻，也就是現在大家所熟知的蝴蝶效應。羅倫茲的工作揭示了：即使對於一個確定的方程，我們也可以得出完全隨機的結果。這一觀念可以說是對牛頓力學框架下的“確定論”思想提出了極大的挑戰。
蝴蝶效應
幾乎在同一時期，數學家
阿諾爾德和莫塞在數學上嚴格證明了科爾莫戈羅夫提出的一個物理問題，也就是著名的卡姆（KAM）理論。該理論從數學上嚴格說明了混沌現象是具有普遍性的。羅倫茲的工作與卡姆理論問世之後，人們才開始慢慢意識到混沌現象的重要性，從而對混沌現象的研究也逐步進入正軌。1975年，詹姆斯·約克和李天巖在“週期三蘊含混沌”一文中第一次引入“chaos”這個術語，並被沿用至今。
隨後，茹厄勒與塔肯斯提出可以用“奇怪的吸引子”來刻畫混沌運動的整體形態；曼德布洛特將分形的概念引入混沌理論中，他發現混沌運動系統的相空間具有分形結構，即無窮層次的自相似結構；費根鮑姆 發現了混沌中的分岔具有一些普適性規律，即後來著名的費根鮑姆常數。
這些工作表明，看似雜亂無章的混沌並不是完全隨機的，相反，它卻是有跡可循的，有著內在普適的規律。
美麗的分形
混沌控制
事實上，人們對混沌一開始的認識就是混亂的，不可控的。然而，隨著對混沌理論研究逐漸深入，尤其是對其內部亂中有序的認識之後，人們便開始思考：
是否可以通過某些手段去控制混沌呢？一方面，當混沌導致的隨機性和不確定性給我們帶來災難時，我們能否可以通過某種手段去抑制或者消除混沌；另一方面，當我們需要混沌為我們帶來便利時，我們又能否可以通過某些手段去產生我們所需要的混沌，或者將系統的混沌運動軌道調節到我們所需要的軌道。
混沌系統呈現的分形與分岔
帶著這樣的思考，直到1989年，
布勒首次提出了混沌控制的概念。次年，奧特（Edward Ott），格里博格（Celso Grebogi）與約克（James A . Yorke）三人提出了一種參數微擾控制方法。他們利用混沌對參數微擾的極度敏感性，通過對某個可調節的參數進行微調，從而使系統進入我們所期望的週期狀態，達到控制混沌的目的。該方法開創了混沌控制的先河，問世之後，立馬產生了及其深遠的影響。人們根據該三位物理學家名字的首字母，將這項奠基性的混沌控制方法稱作為OGY方法。
隨後，在OGY方法的基礎上，人們又發展了一系列其他改進的混沌控制方法，例如連續反饋控制法和自適應控制法。
另外，隨著人工智能的發展，人們發現其可以運用到混沌控制中，提高控制的效率，例如神經網絡控制 和模糊控制已經成為近年來的熱點方向。
自上而下分別為愛德華·奧特（Edward Ott），切爾所·格里博格（Celso Grebogi）和詹姆斯·阿蘭·約克（James Alan Yorke）
混沌的應用
如前所述，我們的世界充滿了非線性效應，而這些非線性效應往往會引起混沌。因此，混沌與混沌控制理論不僅僅是個數學的把戲，其更是擁有無比廣泛的應用前景。
除了湍流、氣象以及保守三體系統等物理問題，混沌理論在生物學等其它基礎自然科學中也得到了廣泛的應用。例如用混沌理論研究
昆蟲繁殖問題，甚至是經濟學，金融學和政治學等社會科學也能經常見到混沌理論的身影。
昆蟲繁殖與混沌
另外，除了運用混沌理論去解釋和解決以上科學問題以外，對於現代科技，混沌也有極大的應用前景。
在控制科學與工程領域，混沌控制可以廣泛應用於各類非線性控制系統，提高系統的穩定性以及控制精度與效率；在信息學領域，我們可以利用混沌來實現保密通信，以及信息的壓縮與存儲。
隨著人們對混沌與混沌控制理論研究的逐步深入，我們有理由相信，該項理論和技術會給我們人類帶來更多的驚喜。
總 結
綜上所述，混沌是一個由非線性效應引起的一個相當獨特的現象，具有對初值的敏感性、內稟的隨機性、長期不可預測性以及分形性和普適性等特點。它表面上看似雜亂無章，內部實則另有乾坤。
δ與α為費根鮑姆常數
在哲學範疇裡，自牛頓力學建立起來後，決定論早已深入人心。然而，混沌理論和量子論的出現卻動搖了人們對於決定論的信仰，從而引起了一場哲學思想的變革。
在自然科學的範疇裡，混沌理論中蘊含著深刻而又豐富的數學與物理學的美，人們相信，在這些數學與物理學之美的背後必定暗含了宇宙的奧秘。
在應用科學的範疇裡，混沌與混沌控制理論能為人類的技術發展帶來無限的可能，其廣闊的應用前景延升到了各個學科領域。
然而，故事並沒有就此結束，人類對混沌的認識才只是剛剛開始，內部乾坤有待於我們繼續發掘。亞馬遜蝴蝶魔法的秘密，還需要我們數代人去慢慢解開。
參考文獻
[1] 維基百科, Chaos theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory
[2] Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
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[6] Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. New York: Macmillan.
[7]Edward Ott, Celso Grebogi, and James A . Yorke, (1990) Controlling chaos, Phys. Rev. Lett. 64, 1196
出品 | 科普中國
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