隨著 Riemann 論文中的外圍命題——那些被 Riemann 隨手寫下卻沒有予以證明的命題——逐漸得到證明， 隨著素數定理的攻克， 也隨著 Hilbert 演講的聚焦作用的顯現， 數學界終於把注意力漸漸投向了 Riemann 猜想本身， 投向了那座巍峨的主峰。
（David Hilbert。圖片來自網絡）
不知讀者們有沒有注意到， 我們談了這麼久的 Riemann ζ 函數， 談了那麼久的 Riemann ζ 函數的非平凡零點， 卻始終沒有談及過任何一個具體的非平凡零點。 這也是 Riemann 論文本身的一個令人矚目的特點， 即高度的言簡意賅， 它除了沒有對所涉及的許多命題給予證明外， 也沒有對所提出的包括 Riemann 猜想在內的若干最困難的命題提供任何數值計算方面的支持。 Riemann 敘述了許多有關 Riemann ζ 函數非平凡零點的命題 (比如第五節中提到的三大命題)， 卻沒有給出任何一個非平凡零點的數值！
倘若那些非平凡零點是容易計算的， 那倒也罷了， 可是就像被 Riemann 省略掉的那些命題個個都令人頭疼一樣， Riemann ζ 函數的那些非平凡零點也個個都不是省油的燈。
它們究竟在哪裡呢？
直到 1903 年 (即 Riemann 的論文發表後的第四十四個年頭)， 丹麥數學家 Gørgen Gram (1850-1916) 才首次公佈了對 Riemann ζ 函數前 15 個非平凡零點的計算結果。 在這 15 個零點中， Gram 對前 10 個零點計算到了小數點後第六位， 而後 5 個零點——由於計算繁複程度的增加——只計算到了小數點後第一位。 為了讓讀者對 Riemann ζ 函數的非平凡零點有一個具體印象， 我們把 Gram 所計算的這 15 個零點列在下面。 與此同時， 我們也列出了這 15 個零點的現代計算值 (保留到小數點後第七位)， 以便大家瞭解 Gram 計算的精度：
幾十年來， 這是數學家們第一次撥開迷霧實實在在地看到 Riemann ζ 函數的非平凡零點， 看到那些蘊涵著素數分佈規律的神秘傢伙。 它們都乖乖地躺在四十四年前 Riemann 劃出的那條奇異的臨界線上。 Gram 的計算所使用的是十八世紀三十年代發展起來的 Euler-Maclaurin 公式 (Euler–Maclaurin formula)。 在只有紙和筆的年代裡， 這種計算是極其困難的， Gram 用了好幾年的時間才完成對這 15 個零點的計算。 但即便付出如此多的時間， 付出極大的艱辛， 他在後五個零點的計算精度上仍不得不有所放棄。
在 Gram 之後， Ralf Josef Backlund (1888-1949) 於 1914 年把對零點的計算推進到了前 79 個零點。 再往後， 經過 Hardy、 Littlewood、 美國數學家 John Hutchinson (1867-1935) 等人的努力 (包括計算方法上的一些改進——但主體上仍使用 Euler-Maclaurin 公式)， 到了 1925 年， 人們計算出了前 138 個零點， 它們全都位於 Riemann 猜想所預言的臨界線上。
（John Hutchinson。圖片來自網絡）
不過到了這時候， 以 Euler-Maclaurin 公式為主要手段的零點計算也已經複雜到了幾乎令人難以逾越的程度， 零點計算暫時陷入了停頓狀態。
隨著數學界對 Riemann 猜想興趣的日益增加， 這個猜想的難度也日益顯露了出來。 當越來越多的數學家在高不可測的 Riemann 猜想面前遭受挫折之後， 其中的一些開始流露出對 Riemann 1859 年論文的一些不滿之意。 我們在上文提到， Riemann 的論文既沒有對它所涉及的許多命題給予證明， 又沒有給出哪怕一個 Riemann ζ 函數非平凡零點的數值。 儘管 Riemann 在數學界享有崇高的聲譽， 儘管此前幾十年里人們通過對他論文的研究一再證實了他的卓越見解。 但在攀登主峰的嘗試屢屢遭受挫折， 計算零點的努力又舉步維艱的情況下， 對 Riemann 的懷疑聲音終於還是無可避免地出現了。
於是在承認 Riemann 的論文為 “最傑出及富有成果的論文” 之後， 我們在 第一節 中提到過的德國數學家 Landau 開始表示： “Riemann 的公式遠不是數論中最重要的東西， 他不過是創造了一些在改進之後有可能證明許多其它結果的工具”； 於是在為證明 Riemann 猜想度過了一段 “苦日子” 之後， 上文 提到過的英國數學家 Littlewood 開始表示： “假如我們能夠堅定地相信這個猜想是錯誤的， 日子會過得更舒適些”； 於是就連用 Riemann 猜想跟上帝耍過計謀的英國數學家 Hardy 也開始認為 Riemann 有關零點的猜測只不過是個猜測， 僅此而已。 “僅此而已” 的意思就是沒別的了——即沒有任何計算及證明方面的依據。 換句話說， 數學家們開始認為 Riemann 論文中寫下來的一切大致也就是他在這一論題上所做過的一切， 他那猜想的依據只是直覺， 而非證據。
（Littlewood。圖片來自網絡）
那麼 Riemann 猜想究竟是隻憑藉直覺呢， 還是有著其它的依據？ Riemann 在那篇言簡意賅的論文中寫下來的東西究竟是不是他在這方面的全部研究呢？ Riemann 的論文本身當然不可能為這些問題提供答案。 那麼答案要到哪裡去尋找呢？ 只能到他的手稿中去尋找。
我們曾經提到過， 在 Riemann 那個時代， 許多數學家公開發表的東西往往只是他們所做研究的很小一部分。 在這種情況下， 他們的手稿及信件就成為了科學界極為珍貴的財富。 這種珍貴絕不是因為如今人們所習以為常的那種名人用品的庸俗商業價值， 而是在於其巨大的學術價值。 因為通過它們， 人們不僅可以透視那些偉大先輩們的 “beautiful mind” (“美麗心靈”)， 更可以發掘他們未曾公開過的研究成果， 堪稱是開挖一座座大大小小的寶藏。
不幸的是， Riemann 手稿的很大一部分卻在他去世之後被他可惡的管家付之了一炬， 只有一小部分被他妻子 Elise 搶救了出來。 Elise 把那些劫後餘生的數學手稿大部分交給了丈夫的生前摯友 Richard Dedekind (1831-1916)。 這是我們在後文中將會提到的一位著名的德國數學家。 但是在將手稿交給 Dedekind 之後隔了幾年， Elise 又後悔了， 因為她覺得那些數學手稿中還夾帶著一些私人及家庭方面的信息， 於是她向 Dedekind 索回了一部分手稿。 在這部分手稿中， 有許多幾乎通篇都是數學， 只在其中夾帶了極少量的私人信息——比如一位朋友的姓名等， 也不幸遭到了索回。
（Richard Dedekind。圖片來自網絡）
這其中對我們來說最關鍵的乃是一本小冊子， 那是 Riemann 1860 年春天在巴黎時的記錄。 那正是他發表有關 Riemann 猜想的論文之後的幾個月。 那幾個月巴黎的天氣十分糟糕， 很多時候 Riemann 都待在住所裡研究數學。 許多人猜測， 在那段時間裡 Riemann 所思考的很可能與他幾個月前所研究的 Riemann ζ 函數及其零點有關聯， 而那本被 Elise 索回的小冊子中很可能就記錄了與 Riemann 猜想有關的一些想法。 可惜那本數學家們非常渴望獲得的小冊子從此再也沒有出現過， 直到今天， 它的去向依然是一個謎。 有人說它曾被德國數學及數學史學家 Erich Bessel-Hagen (1898-1946) 獲得過， 但 Bessel-Hagen 死於二戰剛結束後的混亂年月中， 他的遺物始終沒有被人找到過。
那些有幸躲過了管家的火把、 又沒有被 Elise 索回的手稿， Dedekind 將它們留在了 Göttingen 大學的圖書館裡， 這就是如今數學家和數學史學家們可以看到的 Riemann 的全部手稿 (Nachlass)。
Göttingen 大學圖書館
自 Riemann 的手稿存放在 Göttingen 大學圖書館以來， 陸續有一些數學家及數學史學家前去研究。 但只要想一想 Riemann 正式發表的有關 Riemann 猜想的論文尚且如此艱深， 就不難想象研讀他那些天馬行空、 諸般論題混雜、 滿篇公式卻幾乎沒有半點文字說明的手稿該是一件多麼困難的事情。 許多人滿懷希望而來， 卻又兩手空空、 黯然失望而去。
Riemann 的手稿就像一本高明的密碼本， 牢牢守護著這位偉大數學家的思維奧秘。
但是到了 1932 年， 終於有一位數學家從那些天書般的手稿中獲得了重大的發現！ 這一發現一舉粉碎了那些認為 Riemann 的論文只有直覺而無證據的猜測， 並對 Riemann ζ 函數非平凡零點的計算方法產生了脫胎換骨般的影響， 讓在第 138 個零點附近停滯多年的 Euler-Maclaurin 方法相形見拙。 這一發現也將它的發現者的名字與偉大的 Riemann 聯繫在了一起， 從此不朽。
（Carl Ludwig Siegel。圖片來自網絡）
這位破解天書的發現者叫做 Carl Ludwig Siegel (1896-1981)， 他是 Riemann 的同胞——一位德國數學家。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
閱讀更多 原點閱讀 的文章
