一个公式玩转勾股数（上）

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作者 | 王至宏

广州大学数学系

▎勾股定理

公元前1000多年，商高答周公曰：“勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”故而，勾股定理又称“商高定理”。

2002年数学家大会会标

从第一组勾股数发现至今，已过去3000多年。

对勾股数，你真的了解吗？

会标上的勾股定理

举个例子，请写出所有包含12的勾股数。

经过计算，容易求出这四组

[5,12,13]

[9,12,15]

[12,16,20]

[12,35,37]

但包含12的勾股数只有这4组吗？

此外，平时遇到的互素勾股数中，总有一个是4的倍数，且最大数与该数求和作差，结果都是平方数。

例如

[3,4,5]，5+4=3²，5-4=1²

[7,24,25]，25+24=7²，25-24=1²

[8,15,17]，17+8=5²，17-8=3²

[9,40,41]，41+40=9²，41-40=1²

是巧合还是一般规律？

如果有普遍的勾股数公式，这类命题就可以轻松论证了。

下边就来说说，公式应该怎么求。

勾股树

▎勾股数公式

早在古希腊时期，欧几里得就已经给出了勾股数公式。

而公式的证明，用初中知识就足够了。

很多时候，公式定理怎么得来，比怎么证明更加重要。

▎公式怎么求

公式的产生，有两种方法最常见。

一、直觉

说到公式直觉，就不得不提到，印度一千年来最伟大的数学家——拉马努金。

他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，惯以直觉导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。

他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。

电影《知无涯者》

他有很强的直觉洞察力，虽未受过严格数学训练，却独立发现了近3900个数学公式和命题。

拉马努金恒等式

他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示，早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题，日后有许多得到了证实。

直觉是学识，阅历，人生经历等在一瞬间集合之后发生的反应。影响因素很多，通常还需要一万小时的刻意练习。这里重点介绍寻找公式的第二种方法。

二、合情推理

那美女归，林柳绿呀！（钠镁铝硅，磷硫氯氩）

初高中挖空心思背的元素周期表，都要归功于门捷列夫”玩”的一手好牌。

据说门捷列夫从小爱玩扑克牌，经常牌不离手。

有一回，他在撰写《化学原理》时，遇到了难题。为了寻找元素的科学分类方法，不得不研究有关元素之间的内在联系。

正在思考，请勿打扰

他埋头在图书馆里夜以继日地阅读、思考，并琢磨出一套特殊的“扑克牌”来帮助寻找元素之间的规律。

有一天，门捷列夫又旁若无人地摆弄起“纸牌”来了，摆着，摆着，他像触电似的站了起来，在他面前出现了完全没有料到的现象，每一行元素的性质都是按照原子量的增大而从上到下地逐渐变化着。

这一天，元素周期律被发现了。

巧合往往受原理支配，合情推理就是透过巧合寻找原理的过程。

合情推理的大致过程

把勾股数放在一起会出现什么规律？

▎勾股规律

初中经常遇到这几组勾股数，观察规律：

信息预处理

其中c-b总为1或2，把差为2的勾股数同除以2，再重新排列

调整排列

这时，规律比较明显了

a逐行增1，依次为：3,4,5,...

b相邻行作差，差值增1：3.5,4.5,5.5,...

c与b类似

根据规律，正推和逆推，补充式子

新添的式子也都成立

猜想：按规律递推下去，等式始终成立。

根据小学“找规律”题的套路，易得

于是

通过公式，可以生成无穷多勾股数，但未必可以生成所有勾股数。

猜想：公式[a_n,b_n,c_n]遍历正整数，再同乘一个整数可以得到所有勾股数。

很快，就遇到了例外：

[20,21,29]不能由递推式生成。

但如果n不取整数，令n=2.5

得

再同乘以8，也可以得到[20,21,29]

原公式有缺陷，需要改进，继续观察：

公式中，a为一次齐次函数，b和c为二次非齐次函数，缺少对称美

把常数1改为变元m，增加公式的对称性：

新公式中，abc均为二次齐次多项式

此时，新公式仍满足勾股定理，实际上这就是我们要找的公式。即公式中，m，n跑遍正整数时，可跑遍所有互素勾股数。

P.S. 这是初二时做的探究，过程可能比较啰嗦，但刚好体现了合情推理的过程。

▎回到问题

得到勾股公式（未证），再回顾最开始的两个问题。

1. 互素勾股数[a,b,c]中，总有一个为4的倍数，不妨设为b，最大数为c，则c±b均为平方数。

2. 求包含12的所有勾股数。

公式中

∵b，c为整数

∴m，n同奇偶且m

命题1：

①若m，n同为偶数，则4 | a

且此时[a,b,c]有公因子2。

②若m，n同为奇数

设m=2k+1,n=2t+1，则

又∵c-b=m²

c+b=n²

即c±b为平方数，命题1成立。

命题2的一般形式是，

公式的证明及应用，下一篇再继续讨论吧。

* 本文作者王至宏，广州大学数学系大四学生，好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍，好玩的数学给你一个展示才华的平台。

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