在數軸上滄海一粟的有理數
現在我們可以證明有理數集與無理數集的一個較重要的區別：我們已證明前者是可數的，對於後者，我們將斷定它不可數。因為，假設無理數集是可數集。那麼，根據定理 ，所有有理數（我們已證明其可數性）與所有無理數（我們假設其可數）的並集也應該同樣是可數集。但是，這個並集恰恰是全部實數的集合，是一個不可數集。用反證法，我們可以斷定，無理數過於豐富，以致無法與集合N構成一一對應關係。不太正規地說，這意味著無理數在數量上大大超過有理數。實數遠比有理數多的原因恐怕只能解釋為實數軸幾乎被漫無邊際的無理數所淹沒。數學家有時說“大部分”實數，常常是對無理數而言；至於有理數集，公認是一個非常重要的無窮集，儘管有理數在數軸上處處稠密，然而與無理數相比不過是滄海一粟。數不勝數的有理數當初是如此豐富，現在在實數集中卻突然變得似乎無足輕重了。其實，有理數果真那樣多嗎？並非如此，對於康託來說，從基數的意義上講，有理數的確非常稀少，而無理數則佔據著統治地位。
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