數學中的公理和公設是指那些最為基本的、不可能被證明的、看起來是自明的命題.其他的命題都是根據這些公理和公設而被證明的.歐幾里得的《原本》(共十三卷,465個命題)一書的第一卷從5個公理和5個公設出發,證明了48個命題,這些命題主要討論三角形的性質、 平行線理論、平行四邊形和正方形.其中前二十八個命題的證明不需要公設五. 他書中的公理和公設可概括為:

公理:

1. 與同一件東西相等的一些東西,彼此也相等.

2. 等量加等量,總量仍相等.

3. 等量減等量,餘量仍相等.

4. 完全重合的東西是相等的.

5. 整體大於部分.

公設:

1. 過平面上任意兩點可作一條直線.

2. 任一有限直線可循該直線無限延長.

3. 過任意給定的點,以任意給定的距離為半徑,可作一個圓.

4. 所有直角都相等.

5. 如果同一平面內一直線與兩直線相交,且同側所交兩內角之和小於兩直角,則兩直線無限延長後必相交於該側的一點.

歐幾里得第五公設從一開始就遭到數學家的懷疑,而不被接受.這當然是因為它不那麼自明,是我們直接經驗之外的東西.自古希臘以來的許多世紀,大量的數學家都企圖從歐幾里得的公理和前四個公設推出第五公設,但所有的努力都以失敗而告終. 直到1733年意大利的薩謝利(G.Saccheri,1667-1733) 才作出了關於第五公設值得注意的研究成果.他以兩底角均為直角的等腰四邊形為基本圖形.他利用歐幾里得《原本》第一卷中前二十八個命題(這些命題與第五公設無關) 很容易地證明了這個四邊形的另外兩個角相等.如果能利用前四個公設以及由這四個公設證明的命題證明這兩個角一定都是直角,那麼我們就可以證明第五公設,第五公設也就不是公設了,而成了命題.為此他對這兩個角分三種情況進行討論:

(1)這兩個角是直角;

(2)這兩個角是鈍角；

(3)這兩個角是銳角.

他期望通過否定(2)、(3)兩種情形得出情形(1),從而證明第五公設, 但是他沒能達到這一目的.相反他卻證明了許多定理.薩謝利在處理這一問題時,其想法是相當大膽的.

在這之後的1766年,瑞士數學家蘭伯特(Lambert,1728-1777)對第五公設作了類似的研究.他是以三直角四邊形為基本圖形,對第四個角作了三種不同的假定:直角、鈍角、銳角.他同樣得到了許多定理,如他證明了在這三種假定下分別可推出三角形的內角和等於、大於、小於兩個直角.對於銳角假定他在不用第五公設的情況下是無法排除的,而且他猜測銳角假定推出的幾何可能能夠在虛半徑的球上實現.現在我們知道這個猜測是正確的.但他取消了鈍角假定,這主要是因為他默認直線為無限長.

對第五公設的證明作出傑出貢獻的第三人是法國著名數學家勒讓德(A.M.Legendre，1752-1833).他是以一特殊的三角形為基本圖形,對內角和作出三種不同的假定:等於、大於、小於兩直角.他同樣默認直線是無限長的,因而取消了鈍角假定.如果不用第五公設,對於銳角假定他也是無法否定的.

他們在研究歐幾里得第五公設這一問題上有一個共同點,那就是他們都極力否定第二和第三種假定,以期得到對第一種假定的肯定,從而證明第五公設,這樣就可以得出第五公設不是獨立的結論.這其實反映出在他們的思想中比較傾向於認為第五公設是可以被證明的.當然他們都是以失敗而告終. 他們的失敗不是因為他們沒有創造性,而是由於第五公設事實上是獨立於其他公設和公理的.之後還有一些數學家對歐幾里的第五公設作出過研究,他們比前面提到的三位走得更遠,思想更解放,他們甚至承認在歐幾里得幾何之外還存在別的幾何學.他們把幾何分為兩類:內角和為兩直角的歐幾里得幾何學和內角和不為兩直角的幾何學.由於他們找不到後一種幾何的幾何模型,這種幾何在他們看來只是邏輯上相容而已,毫無實用價值,也就毫無意義.有的人甚至在“只有一種幾何學”這個幾千年來根深蒂固的信念支配下,認為歐幾里得幾何之外的東西都是荒謬的.他們認為只有歐幾里得幾何才是解釋物質世界的唯一的正確的幾何.其實如果他們當時能夠承認這種幾何,他們就成了發現非歐幾何的第一人了,可惜他們卻和非歐幾何擦肩而過.

直到匈牙利軍官J.鮑耶(JanosBolyai，1802-1860)在1832年和俄國的羅巴切夫斯基(1793-1856)在1826年獨立發現非歐幾何時,歐幾里得第五公設是獨立於其他公理和公設的這一論斷被證實了.羅巴切夫斯基的非歐幾何理論何以能說明第五公設的獨立性呢?簡單地說,羅巴切夫斯基幾何的公理和公設是將歐幾里得幾何的第五公設用一個相反的公設來代替,而其它的公理和公設不變,在這套新的公理系統中,定義點、線、等等“幾何”概念,象歐幾里得幾何學一樣,發展一種與歐幾里得幾何學平行的自相容的幾何學.這種幾何學的幾何模型由德國著名數學家F.克萊茵 (Felix Klein,1849-1925) 構造了出來. 如果歐幾里得第五公設不是獨立的,也就是說它可以從其它其它的公理和公設推導出來,由於羅巴切夫斯基的非歐幾何和歐幾里得幾何除了第5個公設不同之外,其餘的公理和公設全相同,那麼在羅巴切夫斯基幾何體系中,也可推出歐幾里得的第五公設,可是羅巴切夫斯基的非歐幾何的第五公設與歐幾里得幾何的第五公設是相反的,這樣在這種非歐幾何體系中同時成立一對相反的命題,這種非歐幾何就是自相矛盾的,也就是說不是自相容的.相反羅巴切夫斯基的非歐幾何的自相容性,就說明歐幾里得的第五公設是獨立的.對歐幾里得第五公設的研究,導致了19世紀非歐幾何的產生,非歐幾何的產生是數學發展史上的一個重大事件.

--數學的100個問題

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