你什麼都沒有
你只有思想
應該會有很多同學在開始學習數學分析和高等數學時，表現出這般那般的不爽無奈，露出一副“我了個去，這也要證明？！”的模樣。
但就我所知的情況來看，其實大多數人所用的教材，從大眾角度看還沒有到一種極致精確的架構數學的程度。
大多數的教材所做的還是“我教會你怎麼弄這個東西就行了，別怨我了啊乖”的活。
但是，Zorich和Terence Tao（陶哲軒）不約而同的花了大量筆墨去闡述人們如何建立起實數體系。
Tao 甚至從自然數開始討論問題，一次又一次的重構了減法，除法，極限，細緻至極。
在這個過程中，出現了非常多的經典的證明題，關於這樣的題目，有一個詞語可以顯示他們的價值“基石”。
以及，他們都在後面的篇章開始討論了度量空間和拓撲的相關內容，所謂大師所見略同，大致如此。
那麼，為什麼呢？
1、數系，從頭說起
柯朗尼克有句名言：“上帝創造了自然數，其他一切都是人造的。”
這樣的說法可能有些偏激，但的確說明了問題。
我們有了0，1，我們懂得不斷累加，於是自然數出現了。
沒錯，這個時候我們只會加法，但其實我們懂得更多，比如：數學歸納法。
利用這個歸納法可以得出幾乎所有自然數的代數法則，以及不少漂亮的結論，比如：
構造出序的概念（比較大小，注意不要忘了，此時我們只有自然數和加法，我們不知道怎麼比較大小，這一點非常關鍵：如果你想要看到本質，你必須把一切全部拋棄，然後要做的就是至繁歸於至簡，這似乎類似於張無忌學太極功的故事。），這個證明是非常瑣碎的，但本質上他只需要歸納法和加法法則的定義。
通過加法，我們自然的考慮相反的情形（注意，這樣的試探性思考非常關鍵），於是“學會”了減法，從而自然的得到了負整數。
而不斷的累加同一個數的過程中，我們學會了乘除法。有了除法，我們就可以構造出有理數了。
有理數有一個好的性質，稠密。
就是說有理數的可數可以通過不斷取兩個有理數的中點，（a+b）/2的過程去得到無窮多個有理數。
But incomplete！（嗯，語氣可參考《A beautiful mind》裡Nash發現均衡理論時那兩句incomplete~）
幾千年前就有畢達哥拉斯學派的人發現了根號2，到現在，根號2不是有理數的證明依然出現在各類數學分析的習題中（運用反證法即可）。
對於實數的構造是個困難的事情，也是數學系的學生學習數學分析的一個重點，但在此不多闡述。
必須說明的是，實數體系的架構可以非常好的說明數學家的工作模式，怎麼選擇公理（這在集合論上體現的非常明顯，在對概括公理（axiom comprehension）拋棄上。），建立定理。
當然其實我們還有個初等的例子可以說明公理化體系的構建過程：歐幾里德幾何。
一個小插曲，我們學了12年的中小學數學，學到過證明的方法，提到過反證法和數學歸納法，可顯然在中小學數學中這兩個方法基本上不會考查，用這兩個方法基本只會令問題變複雜。
然而這兩種方法是極為重要的，並且被廣泛運用的。
這在實數理論架構時體現明顯，閉區間套定理，有限覆蓋定理，極限點定理都不同程度的運用了反證法。
而數學歸納法普遍運用於自然數和整數的一些證明，比如運算法則的架構上。
而很多好的證明也涉及這兩種證明，比如“質數有無窮多個”的證明就是一個非常古典和經典的反證法證明，然而我猜，大多數人在接受中小學教育時並不知曉這個十分初等的問題和證明（來自歐幾里德），這個證明本身是讓人眼前一亮的。
那麼為什麼我們的中小學數學教育會錯重點，把這麼重要的問題忽略掉呢？
原因很簡單，出證明題批起來麻煩。。。
而且學會一個又一個證明，對於考試是無用的：考試所用的試題必然是標準化規範化的，然而每個有趣的命題的證明往往具有其特殊性，這顯然是不利的。
然而考試是必然存在的，美國小學也考試，為什麼他們的學生的數學修養要高於我們呢？
這是個深刻而廣泛的問題，但一個顯然的原因，我們在考試上放了太多的精力，以致於無法分心去欣賞一些美妙的數學證明了。
私以為，這些方面的差異是導致我們國民邏輯思維能力較弱，以致於常常媒體上出現各種因果混亂，神邏輯的狀況。
當然，我個人對這兩種證明方法不算偏愛，他們能解決所遇到的問題，但是一個重要的問題在於他們更形式化，而不是構造性的，這不利於我們理解一個事物，儘管我們可能知道它是對的。
2、群，度量與拓撲——沒錯，我們很一般
前面說到，Zorich和Terence Tao不約而同的在他們各自的數學分析著作裡提到了度量空間，拓撲，群論。
當然可能部分同學會覺得這些數學深層的東西對於自己而言是無所謂有無所謂無的。
那麼請看我的一位在MIT讀物理學博士的朋友說過的話：“高代和數學分析都是基礎，往後會有更有用的學科。 ”
（順便這裡讚揚一下他的敬業態度，目測他這幾天在忙課題，已經連續3天沒開過郵箱，回覆我的郵件。。。）
而會有同學甚至覺得數學無所謂學與不學。
毫無疑問，數學在科研中至關重要。可以見到下列文字：
數學的領域在擴大。
哲學的地盤在縮小。
哲學曾經把整個宇宙作為自己的研究對象。那時，它是包羅萬象的，數學只不過是算術和幾何而已。
17世紀，自然科學的大發展使哲學退出了一系列研究領域，哲學的中心問題從“世界是什麼樣的”變成“人怎樣認識世界”。
這個時候，數學擴大了自己的領域，它開始研究運動與變化。
今天，數學在向一切學科滲透，它的研究對象是一切抽象結構——所有可能的關係與形式。
可是西方現代哲學此時卻把注意力限於意義的分析，把問題縮小到“人能說出些什麼”。
哲學應當是人類認識世界的先導，哲學關心的首先應當是科學的未知領域。
哲學家談論原子在物理學家研究原子之前，哲學家談論元素在化學家研究元素之前，哲學家談論無限與連續性在數學家說明無限與連續性之前。
一旦科學真真實實地研究哲學家所談論過的對象時，哲學沉默了。它傾聽科學的發現，準備提出新的問題。
哲學，在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方時，他不再用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用於觀察前方。
數學則相反，它是最容易進入成熟的科學，獲得了足夠豐富事實的科學，能夠提出規律性的假設的科學。它好像是顯微鏡，只有把對象拿到手中，甚至切成薄片，經過處理，才能用顯微鏡觀察它。
哲學從一門學科退出，意味著這門學科的誕生。數學滲入一門學科，甚至控制一門學科，意味著這門學科達到成熟的階段。
哲學的地盤縮小，數學的領域擴大，這是科學發展的結果，是人類智慧的勝利。
但是，宇宙的奧秘無窮。向前看，望遠鏡的視野不受任何限制。新的學科將不斷湧現，而在它們出現之前，哲學有許多事可做。
面對著浩渺的宇宙，面對著人類的種種困難問題，哲學已經放棄的和數學已經佔領的，都不過是滄海一粟。
哲學在任何具體學科領域都無法與該學科一爭高下，但是它可以從事任何具體學科無法完成的工作，它為學科的誕生準備條件。
數學在任何具體學科領域都有可能出色地工作，但是它離開具體學科之後無法作出貢獻。它必須利用具體學科為它創造條件。
模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡。
——《數學與哲學》
嗯，就是這樣。
說回正題。
關於群論的話題可以參看《無法解出的方程：天才與對稱》，這是由天才的數學家伽羅華架構的理論體系。它所研究的是一系列的變換。
而群論出來時，當時的理論數學家都看不懂。直到死後50年他的手稿才發表，被當時的學界認可了。
科學史上最偉大的發明往往來源於年輕人，為什麼？
因為他們受傳統思想影響還不大，沒有條條框框的限制，還有批判思維能力。
這樣的一個一般性的基石性的理論（研究對稱與變換，意味著，你所做的一切變換都可以納入這個體系，而什麼是變換呢？加法減法，平移旋轉，這些都是變換，所以這個理論相當的具有一般性）為什麼前人沒有發現？
不知道，沒有答案。
但我們知道的是，這套理論大放異彩，滲透到數學的各個理論，甚至在音樂，藝術（你應當知道，那些藝術家利用的對稱和絃是是極好的變換）。
類似的是度量空間和拓撲學。
度量空間來源於對於歐幾里德幾何的研究。然而在一般的平面幾何研究中，我們是不討論長度的（回憶初中生活10秒~），度量空間補上了這一個空缺，它談論了不同的長度的定義，將幾何學抽象出來作更細緻的研究。
而拓撲學則更為抽象，也更為general，用來研究各種“空間”在連續性的變化下不變的性質。
早期一個古典的問題：哥尼斯堡七橋問題很能說明這門學科的精髓所在。
（愛山的童鞋自行翻閱《數學活動課》叢書，其他孩子建議翻閱《龐加萊猜想》瞭解一些拓撲學的內容。
順便提句龐加萊猜想，這是懸賞一百萬美元獎金的千禧年七大數學問題之一，已被佩雷爾曼破解，原本的猜想內容是是在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。
很不起眼？事實上這個猜想有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。）
拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。
在拓撲學裡我們完全不考慮度量和形狀，但是討論拓撲等價的概念。
比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的----從拓撲學的角度看，它們的拓撲結構是完全一樣的。
換句話說，拓撲學中，我們追求的是最本質的特徵，比如一個流形有幾個“孔”，這涉及到連通性的概念；再比如下圖，對於拓撲學家來說，這裡出現的所有實體，都是同一樣事物（為什麼？）
而另一個拓撲學中有趣的例子是莫比烏斯帶：
思考：如何操作，可以使你手中一條紙帶的總長度趨於無窮大，且不破壞紙帶的基本結構？
3、本質與結構，數學界的前進方式
“一個好的定理在剛出來時，往往難得不得了，幾百頁的證明，你當然曉得Picard定理，Picard證明這個定理的時候，是一百多頁的證明，現在Picard定理的證明可以一頁多就證完了，這是什麼原因？
我們說這個定理重要，我們就會花很大力氣慢慢將它消化，直到最後定理看起來是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年後，這個證明會很簡單，因為通常我們將這些定理的證明分解，分解成很小部分，各個小部分吸收到不同地方去，最後剩下的是一個平凡的證明，歷史上所有的發展都是這樣。
比如平面幾何，在埃及的時代，由於阿拉伯人一把火把埃及亞歷山大大帝圖書館燒掉了，埃及當然是沒有文獻留下來。
不過我相信埃及造金字塔用了兩千年，圖書館中一定搜存了很多關於平面幾何的定理和事實。
當時沒有歐氏公理，所有的現象很亂，亂得不得了，這邊一條定理，那邊一條定理你可能覺得很難很難。可是這整個東西，等你將定理整個瞭解以後，就變簡單了，我想差不多是這個意思。”
——Shing-Tung Yau
我們看過了一系列的數學成果，現在，我們可以初步的把握一點點數學家們的思考方式。
他們思考問題，將問題不斷分解簡化，抽象成一般性的問題，使他們可以運用一些已有的數學工具去解決問題。
待到這個問題在人們運用original idea徹底解決之後，人們不斷消化理解在這個問題中所理解的一些內容，然後這些會沉澱下來，成為新的工具，去解決新的問題，不斷循環。
而在這個過程中，本質和結構非常重要。
在面對一些問題時，一個合理的定義和公理能讓問題變得簡潔，數學家們為了簡潔的數學結構不可不謂“喪心病狂”，平面幾何有一堆命題，可他們只確立了5個公理，這意味著其他命題都需要被證明。。。
但不得不說公理化的架構體系是令人興奮的，你是願意宣稱：我只要5個公理就可以掌握平面幾何，還是：我用了1000個公理證了這個命題？
這和Apple以及Steve Jobs宣稱的，“至繁歸於至簡”是一致的。簡潔意味著我們更好的理解了這些事物，真正瞭解了本質。沒有人喜歡複雜的結構。
從這個角度看，把數學比作大廈是非常合適的。公理和所有人類積累的技巧構成了大廈的基石，而利用這一切，我們可以爬得更高，架起更高的建築，看得更遠，如此循環。
4、藝術家
曾經看到過一個比較貼，關於陶哲軒和伽羅華天賦對比——伽羅華——那位為愛決鬥而早亡的天才毫無疑問的勝出了。
因為，如果說陶哲軒是在幾棟大樓間加裝了若干漂亮的天橋，伽羅華做的則是平地另起一棟華麗的高樓。
說伽羅華，這是一個英年早逝的天才數學家，他死因是：為愛決鬥，然後。。。然後就沒有然後了。。。
非常激進，非常浪漫的天才。
我覺得，在科學家和藝術家之間，數學家更接近於藝術家，又或者說做數學的人活在人文和科技的交叉點上。
很多關於數學的事物，在你深入進去之後會看到一種思想上的結晶，是一種思維的美感，這類似於音樂，繪畫，文學的模式。
但不會有人抱怨音樂繪畫文學難以理解，就算他不懂和絃（寫成書有厚厚一大本），不懂線條明暗配色，不懂意象構造和文字深層內涵，但他依然能聽能看能讀，樂於其中。
從這個角度來說，數學很高貴，鑑賞數學的門檻很高，這就能使數學避開了一批人云亦云，裝模作樣的人來濫竽充數。
你應該知道，據說維多利亞女王非常喜歡《愛麗絲夢遊仙境》，所以她請 Lewis Carroll （劉易斯·卡羅爾）務必帶來他的新書一睹為快，於是女王收到了《淺論行列式，及其在線性和代數方程組中的應用》 ；如果你是王小波的門下走狗的話，你也應該知道，王小波是學數學的；你也可以知道，很多大數學家同時都是音樂天才，甚至有在樂隊供職的……
但拋開這一切，數學是自然科學中唯一一門可以天高任鳥飛的學科——不依賴於實驗，只依賴於思想——這就是它與藝術和文學的共通之處，也是學習數學的最關鍵的認識：
你什麼也沒有，只有思想。
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