自發明解析幾何以後，變量就登上了數學的舞臺。函數概念提出以後，描述物體運動規律便有了相應的數學方法。然而在處理變量規律這個問題上，當時的科學家並沒有找到強有力的方法，這極大地阻礙了科學研究。然而自牛頓和萊布尼茨兩位科學大師創立微積分這一強有力的工具之後，這些問題都迎刃而解，一場屬於數學的盛宴便開始了。
背景
關於“無窮”的思想，無論在古代西方還是中國，都有萌芽。“割圓術”就是這一思想的提現，阿基米德利用圓內正96邊形得到圓周率π的值在223/71到22/7之間，而我國魏晉時期的著名數學家更是以驚人的圓內正3072邊形將π的值精確到了3.1416。這些方法都體現了“無限分割之後再無限求和”的微積分數學思想。然而限於低下的生產實踐水平，這些思想難以進一步發展完善。
時間很快到了16世紀，社會生產實踐活動水平已經上了一個新臺階。天文學和物理學的快速發展帶來了許多數學問題，例如如何求時候瞬時速度和加速度，如何計算曲邊三角形的面積。進入17世紀之後，科學家們的注意力逐漸聚焦到了四大類問題上:1.已知物體的位移-時間關係函數，求其在任意時刻的速度與加速度；反過來，已知物體的加速度-時間函數，求速度與位移。2.求已知曲線的切線。3.求已知函數的最大值與最小值。4.求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心位置、物體（比如行星）作用於另一物體上的引力等。在這些問題的探索中，笛卡爾、巴羅(牛頓在劍橋大學的老師，微積分早期先驅之一)、開普勒、卡瓦列裡(意大利數學家，“祖𣈶原理”的西方發現者)等科學家做出了開創性貢獻。然而仍然沒有形成完整的理論。在大量知識和方法的積累下，一門嶄新的學科已經呼之欲出了。
巨人與大師:牛頓和萊布尼茨
牛頓(1642-1727）出生於一個純粹的農民家庭，父親早亡之後母親又迫於生計改嫁給一個牧師，之後牛頓便和祖母一起生活。殘酷的家庭處境造成了牛頓沉默寡言又倔強的性格。中學時代的牛頓成績並不出眾但好奇心和求知慾都相當旺盛，慧眼識人的中學校長和牛頓的叔父都十分鼓勵牛頓去讀大學，於是牛頓便以減費生的身份進入了劍橋大學三一學院，開始了他的科學巨人之路。
根據記載，牛頓對微積分問題的研究開始於1664年，此時他十分認真地研讀了笛卡爾的鉅著《幾何學》，並且對書中求曲線切線的方法十分著迷，求知慾旺盛的牛頓迫切尋求一種更有效更一般的方法來解決這一問題。
思索了兩年之後，在1666年10月，牛頓撰寫了數學史上第一遍微積分論文《流數短論》，歷史性地提出了“流數”這一概念。牛頓將“流數”對應與速度，即位移函數對時間的微商，然後又以速度對時間的微商來作為加速度。深思熟慮三年之後，牛頓又完成了第二篇論文《運用無窮多項方程的分析學》，此文給出了因變量對自變量求瞬時變化率的一般方法，而且還證明了面積可以通過求變化率的逆過程得到，這實際上已經非常接近微積分基本定理(即牛頓-萊布尼茨公式)。1671年，牛頓在第三篇論文《流數術與無窮級數》中完善了第一篇論文的內容，使得論述與方法都更加清晰。又過了5年，牛頓寫出了他最成熟的微積分論文《曲線求積論》，進一步完善了對流數的理解並清晰敘述了微積分基本定理，還給出了他自己發明的一系列記號。
至此，一代巨人完成了創立微積分的偉大壯舉。然而由於自己保守內斂的性格，牛頓長期沒有公開發表自己的論文，僅為他少數好友所知。直到1687年，在好友哈雷的鼓勵與要求之下，牛頓才出版了鉅著《自然哲學的數學原理》，直到這時，牛頓關於微積分的工作才公諸於世。正是牛頓的遲疑，引發了牛頓和萊布尼茨誰才是“微積分之父”的百年之爭，更是造成了英國科學界和歐洲大陸科學界的長期分隔。
萊布尼茨(1646-1716)出生於德國萊比錫，他的研究領域遍及數學、物理、哲學、歷史、生物學、機械、神學等，是人類歷史上罕見的天才和全才。同時，萊布尼茨也是中國文化的狂熱信徒。在萊布尼茨的時代，德國相對於英國，無論是科學教育還是科學發展水平，都很落後。
1672年，萊布尼茨來到了巴黎，在惠更斯的鼓勵下開始研究起了數學。一年之後，萊布尼茨訪問了倫敦，得到了一本巴羅的《幾何講義》，並從一些數學家那裡聽聞了牛頓的一些工作。回到巴黎之後，若有所思的萊布尼茨大量研究了帕斯卡、笛卡爾、卡瓦列裡等人的著作。早於牛頓三年，他公開發表了歷史上第一篇微積分論文，彷彿為了印證論文的劃時代意義，萊布尼茨取了一個非常長的名字:《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。在這篇論文中，萊布尼茨給出了接近於現代的微分符號和法則。在1677年的一篇手稿中，萊布尼茨也粗略地給出了微積分基本定理的表述。9年之後，萊布尼茨又發表了《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》一文，再次論述了積分和微分的關係。
同時，萊布尼茨非常熱衷於尋求簡單的記號符號以便於簡化計算，如今的微積分符號大部分出自萊布尼茨之手。
牛頓對微積分的研究更早，但萊布尼茨發表成果更早，但一場爭論已經不可避免。孤懸海外的英國為此在相當長一段時間幾乎斷絕了和歐洲大陸的來往，造成了英國數學乃至科學落後的局面。
然而無論是牛頓還是萊布尼茨，對“無窮小”這一概念的描述和使用都是含糊不清的，時而看做不確定量，時而又當成定性的“0”，所以在很長的一段時間內，微積分理論都飽受批評和質疑。
分析的嚴格化
微積分的橫空出世，迅速催生了一系列嶄新的數學分支，如微分方程，微分幾何，函數論，變分分析等。數學界屬於分析的時代悄然來臨，然而微積分理論的嚴格化仍是擺在無數數學家面前的一大難題。
第一個在這方面做出大膽嘗試的數學家是波爾查諾(1781-1848)，他給出了連續函數定義的現代表述，同時他也指出:dy/dx只是一個記號，並不應理解為比值。
而貢獻最大的當屬柯西(1789-1857)無疑。1821年，柯西連續出版了《分析教程》、《無窮小計算講義》、《無窮小計算在幾何中的應用》這三本重要著作，給出了微積分的一系列嚴格定義。首先，他把無窮小量看做極限為0的變量，從而一舉解決了長期以來無窮小量“似0又非0”的模糊狀況。在此基礎上，他給出了連續、微分、積分、導數等一系列概念的嚴格定義。然而他對極限定義的描述仍使用大量文字性的東西，這是不符合數學家的追求的。
如今我們熟知的關於極限的“ε-δ”語言是由半個世紀之後的德國數學家魏爾斯特拉斯(1815-1897)提出的。19世紀後，實數理論和集合論得到了空前發展，魏爾斯特拉斯、戴德金(1831-1916，高斯學生)和康託(1845-1918，魏爾斯特拉斯學生)等人看到了終結對微積分理論質疑的機會。經過幾十年的努力，分析學嚴格化的歷史任務終於畫上了圓滿的句號，終結了長達三百年的“各方混戰”，使得分析學成為了像歐式幾何一樣是擁有堅實牢固基礎的嚴密科學。分析的時代也達到了空前的高潮，各分支的發展也愈加繁榮。
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