張志峰25
希爾伯特第十問題。所謂希爾伯特第十問題，是1900年德國數學家希爾伯特在巴黎的國際數學大會上提出的關於“刁藩圖方程解的判定問題”，也就是判定不定方程是否有解的方法問題。這一問題雖然在1970年得到否定的解決，但是在數學中產生了十分深遠的影響。
關於解一個特定的刁藩圖方程本是一個古老的數學問題，某些兩個變元的二次方程人們早就發現了它們的解法，而對兩變元的三、四次刁藩圖方程並未發現一般的解的方法，對特定的一個這樣的刁藩圖方程，證明它是否有解，或當有解時求出它們的解，也不是一件容易的事情。
然而，在本世紀 60 年代末，英國數學家貝克成功的對一類兩變元刁藩圖方程給出了一個有效的方法，可求出它們的一切解，它成功的確定了一個僅依賴於次數 n 及多項式係數的上界 B ，使對任意解 （x0, y0）有： max （∣x0∣,∣y0∣）≤ B ，
由於貝克的這一出色工作，他獲得了1970 年的菲爾茲獎 。
從古希臘時代，人們就對不定方程的整數解感興趣，人們首先從一個幾何學上的定理：
畢達哥拉斯定理（又稱商高定理）：一個直角三角形（如上圖），站在兩直角邊上的正方形的面積之和恰等於站在斜邊上的正方形的面積。
即： a^2 + b^2 = c^ （勾股定理）
人們自然想到，變元 x , y , z 取正整數的不定方程：
x^2 + y^2 = z^2 ( 1 )
它的解本身就包含有美的享受，而且是畢氏幾何定理的“數”的體現 。
方程（1）的一個解（3，4, 5），我國商高也早以發現，在兩千年前的一部數學著作《周髀算經》中有記載，而後，在我國另一本名著《九章算術》中又列出了幾組解：
（5,12,13）、（7,24,25）、（8,15,17）、（20,21,29）
但在那個年代都沒給出（1）的完全的整數解。
到了公元 3 世紀，有一名著名的希臘數學家叫刁藩圖（約公元246 - 330），在他寫的一本《算術》書中，最先討論了方程（1）的整數解，他得出：
到了十七世紀，刁藩圖的書為法國數學家費馬所注意，他深入的研究了這類方程（刁藩圖方程），並得到一個為後世所驚奇的定理：
人們把它稱之為費馬猜想或費馬大定理，而這是一個特殊的刁藩圖方程。關於這一問題的最好結果是由德國數學家法爾廷斯給出的，他指出，如果這一刁藩圖方程有解，則只有有限多個解，這自然已是一驚人的突破，他把人們在茫茫無限中的考慮變成有限中的論證。
到了二十世紀初，一位著名的德國數學家希爾伯特 ，在1900年於巴黎的國際數學大會上，它總結而提出了二十三個數學問題，提醒數學家們要搞清楚這些問題，他沒有把費馬猜想作為一個問題提出，而把比它更廣的所謂刁藩圖方程的可解性作為第十個問題而列出，他說：“10 . 任意刁藩圖方程的判定” 。
希爾伯特第十問題問世以來，人們尚未給出精確化的算法，數學問題的可解與不可解究竟是什麼含義人們還不得而知，企圖尋找這一算法的數學家們都一個個碰壁，第十問題毫無進展，我們後來才明白，這時解決這一問題的時機尚不成熟，人們面對著困難，在思索、在前行，這就促進了數學的發展。
希爾伯特第十問題的解決是集體的智慧，使人驚奇的是只用了一點數理邏輯和初等數論就解決了這一世界大難題。美國數學家戴維斯，魯賓遜和普特南作出了突出的貢獻，而最終的一步是在 1970 年由蘇聯青年數學家馬吉雅塞維奇完成的。
人們知道，數學問題作為數學研究的對象，也是推動數學發展的動力，人們為了解決數學難題，要引入新概念，尋找新的工具，這方面的例子很多......
