假定有一组完备且互斥的事件A1,…,An , 它们发生的概率具有初始的假定值P（Ai）,…,P（An）, 称为先验概率。
在正概率随机事件B发生（被观察到）的条件下（P(B)>0）, 这些事件出现的条件概率P（Ai| B）,( i = 1,…,n )，称为验后概率。
应用条件概率公式和全概率公式，我们得到下面的贝叶斯公式（或贝叶斯定理）：
(i = 1,…, n)
验后概率P（A i| B）被认为是获得新的信息（事件B）后，对先验概率P(A)的修正。
所谓“修正”的说法，其实是不严格的，或者说有条件的。
准确地说，条件概率P（A i| B）只是从事件B的角度去观察事件A1，…，An，打个比方，也可能是管窥蠡测，坐井观天。
为了下面分析的简明，我们讨论两组完备且互斥的事件A与A‾，及B与B‾，有下面的条件概率公式和全概率公式：
P(A|B）= P(A）P(B|A）/ P(B)
P(A‾|B）= P(A‾）P(B|A‾）/ P(B)
以及
P（B）= P（A）P（B|A）+ P（A‾）P（B|A‾）
用P（B）的公式代入前面两个公式，就分别得到两个贝叶斯公式。
现在分析下面的应用背景。它蕴含着A是事件的原因，B是事件的结果，从结果来推测原因这样一种相互关系。
假定某社区的全部人口为样本空间，社区出现某种疾病。从社区中随机抽取一人，得这种病为事件A，未得病为事件A‾，根据统计数据估计，得病的概率为p = P（A），未得病的概率为P（A‾）= 1 - p 记为q。
有一种检测疾病的试剂，检测结果呈阳性为事件B，呈阴性为事件B‾。
经过对这种试剂多次检验发现，这种试剂对于已得病的人呈阳性的概率（即检测到得病的准确率）为P（B|A）= α；对于未得病的人，呈阳性的概率（即误诊得病（假阳性）的概率为P（B|A‾）= β。
在上面的基本假定条件下，我们应用贝叶斯公式可以得出哪些合理的结论，又可能得出哪些似是而非、实则错误的结论呢？
贝叶斯公式在一些领域的应用近年来成为一个热门的课题。
然而，就像在概率统计其他领域以及贝叶斯公式发展历史中，也出现由于混淆（误用）概念，导致不正确的结论。
本文希望通过分析较广泛传播的具体例子（引自近年出版的专业著作，或科普文章），厘清重要的概念，并引起这个领域的学者及爱好者的重视或进一步讨论。
第一个例子：“设从某个城市的人口中随机选取一个人作结核病皮肤试验(“简称为皮试”），而试验的结果是阳性，问给出皮试阳性结果（记为事件B）这个人正是结核病患者（记为事件A）的概率是多少？”
它假定已从医疗机构得到的信息为：P（A）= 0.01，P(B|A）= 0.98，及P（B|A‾）= 0.05。应用贝叶斯定理计算的结果是P（A|B） = 0.165。
结论是：这个皮试后呈阳性的人确是结核病患者的概率从0.01上升到0.165。
第二个例子：“已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？”
应用贝叶斯定理计算的结果是P（A|B） = 0.019。结论是：这个检验结果为阳性的人得病的概率从0.001上升到0.019。
（ 本文在引用时对其中关键的语句用粗体表示。这两个例子是同一个类型。）
难道这个令人惊讶的结论是贝叶斯公式的可靠结论吗？
在应用条件概率时容易出现比较隐蔽的错误，即随机事件A和随机事件B的界限以及它们之间的关系被混淆。
如果我们的问题是：一个随机抽取的人在试剂检验呈阳性的条件下得病的概率是多少？
那么，事件A是“在讨论的人群总体中随机抽取的一人得病”，事件B应该是“这个被随机抽取到的人试剂检验呈阳性”，在这样的语境下，文章中所得结果及解释方为正确。
可是，文章提出的问题是：“现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？”，情况就完全不一样了。
事件b是“某甲的检验结果为阳性”，这是一次检验结果的事件，由于检验结果带有随机性，所以事件b仍然是随机事件。
事件a是“某甲得病”。如果这次阳性检验结果不正确（假阳性），某甲没有得病，按题设，这个概率为0.05；否则，阳性检验结果正确，某甲得病了，这个概率为1 - 0.05 = 0.95。也就是说，某甲确实得病的概率为0.95。
类似地，我们可以讨论两类“假阴性”问题。
一个是：一个随机抽取的人在试剂检验呈阴性的条件下得病的概率是多少？
另一个是“现有一个病人的检验结果为阴性，请问他确实得病的可能性有多大？”
一种检测试剂如果对于发现疾病的准确性很高，有可能对于未病者的误诊率稍高，出现“假阳性”；一种检测试剂如果对于发现疾病的准确性略低，但对于未病者的误诊率很低，就会出现“假阴性”。
应用贝叶斯方法应该概念清晰，避免掉入陷阱。
它应用的前提是，对于样本空间中随机抽取的样本，以及这些随机样本属于事件B的条件（子范畴，子空间）下，其他随机事件A出现的条件概率。
它只是对于局部的子空间整体成立的公式，并不意味着应用到一个具体的或特定的样本时，一定可以适用同一个公式。
正如我们上面着重指出的，这是两种不同类型的问题。
目前，在介绍贝叶斯公式应用的例子中常常出现的问题，恰恰是在已经获得有关个体呈现阳性时的误诊概率的信息后，仍然套用针对样本空间中随机样本成立的贝叶斯公式，得出不恰当的结论。
关于“假阳性”的进一步说明：
“假阳性”现象说明，判别小概率事件出现特有的困难。
在上面的例子中，如果我们记全体人员为W集合，得某种疾病的人员为A集合，检验呈阳性的人员为B集合。
尽管对每一个被检验的人员，若他呈阳性（属于B集合），可以以相当大的概率（比如0.95）判断他得病（属于A集合）（即不得病的误判概率为0.05），但是，由于出现A的概率非常小（比如0.001），在全体不得病人员的集合W-A中，有百分之五的人被误判（即呈阳性但并未得病），其数量以较大比例超过只占全体人员千分之一的得病人员总数。
这就是说，对全体人员而言，如果每个人都去检验，检验结果呈阳性的人员中，只有小部分的人真正得了病，换言之，从总体而言，呈阳性的人群真正得病的概率并不高 ，很多人虽然呈阳性而没有得病，属于“假阳性”！
这种对抽样个体与对总体下的结论相左的情况似乎是一个悖论，然而，这的确是一个合理且经得起检验的结果。
应用数学与计算机应用高级工程师，编审；
1957一1963北京大学数学力学系数学专业毕业；
1963一1967中国科学院计算技术研究所概率统计计算专业研究生毕业；
长期从事数学应用研究与计算机应用软件开发工作；
发表论文十余篇，编著出版《随机模型与计算机模拟》一书，译书若干种。
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