π是錯的！
誰是最著名的數學常數？毫無疑問是 π。我們小學就學過，老師說它約等於 3.14，而且是最重要的數學常數之一。但是，數學家鮑勃·帕萊、物理學家邁克爾·哈特爾、科普專家維·哈特卻說：“π 是 錯的！”
什麼意思？π 不能約等於 3.14 ？不是。他們想說的是，如果重寫數學，他們根本就不會提到π，要提也只是把它當成註腳，說明其歷史上的作用即可。
眾所周知的 π
在推翻數學史之前，我們先簡單看看歷史說了什麼。π 又叫圓周率，是圓周長與直徑之比，換句話說，如果圓的直徑為 1，則周長為 π（任意單位）。
然而，π 能讓數學家和大眾頻頻稱道，卻並不是因為它的定義，而是因為它的性質。這裡只提一下 π 的三個奇妙性質：
- 奇數倒數正負交錯相加，1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …，等於π/4；
- 自然數平方的倒數相加，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …，等於π²/6；
- 任取兩個正整數，互質的概率為1/π。
但是，讓 π 名聲大噪的應該還是它令人捉摸不透的本性。18 世紀，瑞士數學家約翰·朗伯證明了 π 是無理數，和 2 的平方根一樣，不能寫為分數形式，換句話說，不能用整數 a 和 b 寫出 π = a/b。更“糟”的是，1882 年，費迪南德·馮·林德曼指出 π 是超越數。籠統地說，這表示 π 不是任何一個整係數多項式方程的解，和黃金分割率 φ 不同，因為黃金分割率是方程 x² = x + 1 的解。
π 的神秘之處不止於此。其性質如此複雜，有些關於其數位的簡單問題至今也沒有答案。比如，取一個整數，如 265，π 的數位中是否有這個數？對 265 來說，答案是肯定的，因為 π 的前幾位就是 3.141592653... 但是，任取一個整數都一定會在其中出現嗎？或者說，π 是一個“包羅萬象”的數嗎？人們還不知道答案。但我敢肯定，能解決這個問題的人一定會名垂青史……
不管怎麼說，在我們這個時代，π 已成為數學和極客文化的標誌，說起來總是很有“派”。人們把每年的 3 月 14 日被定為“π 日”，好像紀念遠古神祇一樣。
與 π 共舞的數學家們
反“派”公式
但在鮑勃 · 帕萊、邁克爾 · 哈特爾和維 · 哈特看來，π 是錯的，或者說，π 這個常數選得不好。
為什麼呢？在他們看來，“真正”的圓周率不應該是周長與直徑之比，而應該是周長與半徑之比，他們稱為 τ（念tao）。實際上，如果用 τ 代替 2π，許多公式都能簡化。學習數學或物理的學生們都有這樣的經驗，π 前面經常有 2，如果把 2π 寫成 τ，那應該能節省一點墨水。
當然，數學家完全不在意用多少墨水，但非常在意另一件事——優雅。優雅部分來自公式的簡潔。如果用 τ 代替 π 的話，許多公式都會變得更優雅。比如下圖中這些公式，它們都是數學和物理學研究中一定會用到的，學生課本里都有，我們只是把 τ 換成了 2π。
就算不懂這些公式的含義，你也能看出其中的優雅之處吧？下面，我們將詳細講述其中兩個公式(第一個和第三個)，看看 τ 的驚人作用。
本書彙集了法國科普網站“科學咖啡館”中廣受歡迎的趣味小品文，用幽默的文字和豐富的圖畫講述了動物學、生物學、腦科學、數學、計算機科學等領域與日常生活息息相關的小故事。科研工作者在研究中經常遇到的咄咄怪事，不但出乎他們的意料，甚至違背了大眾的認知，新鮮、有趣卻引人深思。
斯特林公式
第一個公式稱為斯特林公式，給出了 n ！（n 的階乘）最容易操作的近似值。左邊的 n ！表示 1 × 2 × 3 ×…× n，也就是說，從 1 到 n 的所有整數相乘。於是，
2! = 1 × 2 = 2，
3! = 1 × 2 × 3 = 6，
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24，
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120……
以此類推。
階乘在正弦函數、餘弦函數、指數函數的研究中用得很多，在排列組合中也必不可少。比如，52 張牌就有 52 ！種排列，從 49 個數裡選 6 個數的樂透有 (49!)/(6! × (49 - 6)!) 種組合。這裡就不進一步解釋了，大家明白階乘很有用就行。
但是，大數的階乘很難算。一套塔羅牌有 78 ！種排列，老式計算器可能算不出，因為結果大於 10100，這個巨大的數字稱為古戈爾，超過了可見宇宙中所有粒子的總和。勸你不要在計算器或計算機上嘗試計算 1000 ！。
當用 1000 ！這樣的大數進行運算時，通常可用近似值代替。斯特林公式右邊就是“可用”的近似，n 很大時誤差可忽略不計。具體而言，我們藉助這個公式可以很快估計出 1000 ！約有 2568 位數。計算中還出現了歐拉數 e，這個常數約等於 2.718。當然，也有 τ……(未完待續)
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