本文轉自 善科文庫
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但是一個鮮為人知的事實是我們的身體也試圖教我們高等的數學，只要我們希望如此。來看嬰兒的第一個髮式：
頭髮中間那個可愛的漩渦，按數學的說法，就是一個“奇點”，這個嬰兒的頭髮似乎無法決定該往哪個方向生長的一個點。它後面的頭髮向左而前面的頭髮向右生長。在這點附近，頭髮有的向前有的向後。使得這個髮型在該處“奇異”的是一個突然而且不連續變化的變量（這個變量就是頭髮的方向）。
自然界中不乏奇點，在颶風的風眼中根本沒有風，然而在周圍的所有和任何方向上都有風吹。同樣似是而非的事情發生在北極點。如果你以劉易斯.卡羅爾(Lewis Carroll)的風格來發問，現在北極點是什麼時間，那麼僅有意義的回答聽起來像個笑話：所有時間。所有的時區在北極點匯合，所以從這個奇點沿著不同的經線邁出去你可以到達任何你想去的時區。
奇點反映了自然界解決不匹配的嘗試，克服一切困難堅持連續性。當分歧成為必然（在頭髮的方向或風吹的方向或時區中間），奇點儘可能的把不匹配侷限在最小的範圍，一個點。
奇點一個非常顯著的特點是它能堅持。它們有一種持久性。隨著你長大，你的頭骨和頭皮也越來越大，但是髮式中的那個漩渦卻一直在。
拓撲學是高等數學的一個分支，它就是用來處理這種經久性的特性。它經常被定義為研究形狀經過連續變化之後不會改變的那些性質。為了看到這其中的含義，想象我們在一張很薄的彈性纖維上素描一個嬰兒的髮型。現在我們把這張纖維變形，拉伸它，彎曲它，扭曲它，但不要撕開它或者把任何部分粘在一起。你的努力歪曲了這張素描的幾何結構（有些頭髮離得遠了，有的頭髮之間的角度改變了），但是它的拓撲結構卻未改變（髮式依舊，交叉的頭髮依然交叉，沒交叉的頭髮也依然不交叉）。
或者你看一下自己的手指和手掌。看到那些整齊圖案的指紋隆起了吧？在皮膚的很小的部分它們是幾乎是互相平行的。這又是自然界施行連續性的特點。但是當不同部分的隆起迎頭撞在一起的時候，就很難讓所有的都高興了。每個隆起都想與鄰居平行，但也想把新來的加入進來。碰撞產生了不可避免的不連續性--奇點--這使得看手相的人和FBI感興趣。這就是你的皮膚教給你拓撲學的方式。
當查看你的手相時，你會注意到很少一些類型的奇點。兩種最基本的奇點類型是三叉點
和環點
指紋上所有其他的奇點可由這兩種構造出來。例如，這種叫做螺紋的奇點
可被視作兩個環的融合
它們擠在了一起讓兩個中間的終點重合。
1965年一位英國遺傳學家萊昂納爾.彭羅斯(Lionel Penrose)指出指紋和掌紋符合一個普遍性的法則：不論你自己的紋型如何，所有五指的手上的的三叉點總比環點多4個。（他的記錄中把螺紋當作兩個環，原因見上述的解釋。）
這裡諷刺的很令人驚訝。我們炫耀的最大的區別性特徵--我們指紋和掌紋的幾何--也是最難區分的：同樣的拓撲法則適合我們所有人。
彭羅斯把他的法則推廣到出生並非五指的手上，這常常是由於遺傳異常造成的。如果用D來表示一個手上的手指數目，彭羅斯的法則是三叉點的數目T減去環點的數目L等於手指的數目減去1：
T-L=D-1.
1979年彭羅斯的兒子羅傑(Roger)，一名數學物理學家，發表了一篇紀念他父親的優美文章，在這篇文章中，他用拓撲學推導出了他父親的法則。讓我現在概述一下他的證明。
第一步是為每一種類型的奇點分配一個數字。這個數字傳統上稱為奇點的“指標”，這並不是有意地與手指雙關。為了明白它的意義，想象一個細小的體操運動員吉姆，他逆時針繞著這個奇點環行一圈。在他行進中的每一點，吉姆都很小心地調整他的方向來保持與那裡的指紋隆起的方向一致，這會導致他旋轉。
這是當他在繞三叉點運動時發生的狀況：
在一點處A，吉姆站立向上來保持與那裡的指紋隆起一致。在一點處B，他沿順時針方向稍微轉了一下。當完成圍繞三叉點一整圈，他現在頭部向下，與他開始時顛倒了過來，相當於他做了一個180度順時針旋轉，與他的繞行的逆時針方向相反。
一般的，一個奇點的指標衡量吉姆沿逆時針方向繞奇點一週時完成的180度旋轉的淨數；用正負號來表示逆時針旋轉（+）或順時針旋轉（-）。所以這種類型的奇點的指標是-1。
然而逆時針繞行一個環奇點會讓吉姆逆時針旋轉180度。也就是說環奇點的指標是+1。
讓吉姆繞著整個扁平的手掌一圈：、
由日常的經驗我們知道手掌和手指的紋路隆起表現如圖所示——趨於與指尖和手腕平行，並在手指和手掌邊緣指向外側。所以當吉姆逆時針繞著扁平的手部一圈，他只在手指縫隙間翻動。五指的人有4個手指縫隙。在每個縫隙中，吉姆順時針旋轉180度。所以吉姆旋轉的180度的淨數是-4，由指標定理，這必然等於內部的所有奇點指標之和。因為三叉點的指標是-1，環點的指標是+1，那麼三叉點的個數一定比環點的個數多4，這正是關於五指手的彭羅斯法則。
沿用羅傑.彭羅斯的做法，我以本文紀念我的導師，Art Winfree，世界上最偉大的數學生物學家之一。他的很多工作是關於我們身體和大腦生物鐘奇點的。
用以上的拓撲學推理，Art預測心跳的節律到睡眠的週期有它們自己的北極點，在那裡心律的相(phase)變得奇異，睡眠週期會終止。他的這一想法被實驗證實，現在被醫生和試圖揭開心律失常的生物研究人員視為一條重要的線索。
儘管元兇依然在逃，但我們已有有希望的線索。就像Art喜歡引用的夏洛克·福爾摩斯的那句話“奇特總能提供一些線索 ”（Singularity is almost invariably a clue）。
註記
1.一個關於拓撲學包含指標定理的活潑生動易於理解的介紹請看：D. Richeson, “Euler’s Gem”(Princeton University Press, 2008).
2.基於他的臨床觀察，彭羅斯是第一個分析指紋和掌紋的紋型的，請看:L. S. Penrose, “Dermatoglyphic topology,” Nature, Vol. 205(1965), pp. 544–546.這篇文章陳述的法則現在名為彭羅斯法則。
關於羅傑.彭羅斯對於他父親的法則的拓撲學證明，請看:R. Penrose, “The topology of ridge systems,” Annals of Human Genetics, Vol. 42(1979), pp. 435–444. 我對於這個題目的處理以及文中環點、螺紋以及三叉點的圖片，均受到這篇優美文章的啟發。
另外一個獨立的分析，能得到同樣結論並推廣到纖維細胞的培養（一種結締組織中的細胞），請看：Elsdsale and F. Wasoff, “Fibroblast cultures and dermatoglyphics: The topology of two planar patterns,” Wilhelm Roux’s Archives of Developmental Biology, Vol. 180(1976), pp. 121–147.
3.關於指紋歷史以及在犯罪調查中的應用，請看：S. A. Cole, “Suspect Identities”(Harvard University Press, 2002)以及C. Beavan, “Fingerprints”(Hyperion, 2002).
4.當你查看自己的手的時候，你或許不會有任何問題就能看清你的指紋，但是你或許需要明亮的光線和放大鏡才能看清紋路隆起經過你的手指下方延續到手掌。在老年人或者從事重體力活的體力勞動者，如磚瓦工，這些紋路很難看清，就像輪胎磨損面。
5.Art Winfree關於生物節律中的相奇點和他他其他的一些工作，請看他的鉅著：“The Geometry of Biological Time,” 2nd edition(Springer, 2001).很多人發現這本書由於它的特色很難讀，但這是本很棒的書，值得一試。Winfree早期的、或許更容易讀的關於奇點如何牽涉到心律失常的描述，請看：A. T. Winfree, “Sudden cardiac death: a problem in topology?” Scientific American, Vol. 248, No. 5(1983), pp. 144–161,以及“When Time Breaks Down”(Princeton University Press, 1987).
6.“奇特總能提供一些線索”。（Singularity is almost invariably a clue）：引用自柯南.道爾“福爾摩斯歷險記”中的“博斯科姆比溪谷秘案”（The Boscombe Valley Mystery ）。
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