微积分一本书，定理太多、证明太长，大学生也难懂。今欲代之以一个知识点，或一条定理(基本定理）加几行证明：使小学生知其然（知道微积分是什么），中学生知其所以然（知道为什么）。 所以一个变量的微积分在中学即可学会，大学物理不必再等微积分接轨。
小学版（知其然）
娃娃是白纸，听得进先进的东西（长大了杂念多了，反而难听进）。 所以微积分（最先进的数学）趁早从娃娃抓起。
在深圳华富小学四年级、武汉华中科大附小一年级，做过实验：背口诀、一言片语
一方的面积 = 另一方的高
（只比较大小）具体化
余弦cos下的面积 = 正弦sin的高， ....
解释：基本定理是什么？那就是：曲线（例如cos，或半圆形教室）下的面积怎样计算？
传统方法：以直代曲，由一系列长方形来覆盖，但无论你用了多少个长方形，永远达不到精准值（永远盖不满，小学生也明白）。 所以它不能作为精准的计算方法，只能作为曲线下的面积定义（如果精准值存在）
cos下的面积 sin的高
微积分方法：意外，根据以上的面积定义，居然对应着一个精准值，那就是另一条曲线（sin）的高. 一次性解出，简直异想天开。
欲知为什么，须知三角公式。 初中未学到，耐心等。
能不能先睹为快（高铁时代），越过初中，跳到高中（随后才回到初中？）
高中版（知其所以然）
为什么有基本定理：cos下的面积 = sin的高？
先将sin的定义区间等分为许多小区间，长为θ
再求在sin两个节点上的高度差（又称小高）
（其中cos取分点间的中值，故称中值公式）
（三角恒等式没商量，后面张景中有两行的证明）。
再在所有x=xi节点上相加，便得sin在两头，b与a的高度差（又称全高）
（还是恒等式）。 但右边第一个公因子→1当θ→0(见三角不等式cosθ 当θ→0就定义为曲线cos(x)下的面积（见上左图），记为cos(x)的积分（面积或积分的定义就在于此，慢慢体会）。 结果，一石二鸟，得出面积以及基本定理（求高）
总共论证也不过四行（不算三角恒等式的两行证明. 此外每行都得解释），所以透明如镜！
立下写书行规：超过四行的证明不进教科书（理想之例：是无理数的证明）
对称地，将 cos 下的面积 = sin的高，换成sin下的面积 = cos的高：先求 cos 的小高
（中值公式）
再变成全高：
或
总共论证也不过四行（虽然每行都得解释），透明如镜！
重复写书的行规：超过四行的证明不进教材（理想之例：√2是无理数的证明）.即使专业，台雪成（现在香港浸会大学）说，Nash得奖的定理，证明大致20行（虽然每行都得解释）.再多人们就跟不上！
sin下的面积示意图（无需另一半）
习题1：用tan做一遍
习题2：用√x做一遍
习题3：用x3做一遍
到此，基本定理是什么、为什么，我们已经心中有数，甚或透明如镜！过去（传统教材），学了80学时，其实并不知道基本定理是什么，更不知道为什么。
以上就是基本定理或微积分的速写（高铁时代的精神），它一针见血、立竿见影
到此已告一段落
进一步深造，无非将以上各例推广到更复杂或更一般的函数。
高中深造版：借用导数
前面两例，借用三角，有中值公式（若借用一般的函数语言，即
两边再除以θ，即得割线斜率及导数. 经过变形及算术定理，又得基本定理 。
例1. sin的割线斜率切线斜率或导数：
（用中值公式）
其中
（此即算术定理，只需验证无需证明，见以后的微积分小卡片）
例2. cos的割线斜率切线斜率或导数：
其中
（算术定理）
下面各例，没有中值公式，但借用导数，并有基本定理。
例3.tan的割线斜率切线斜率或导数：
其中用到
例4.√x的割线斜率切线斜率或导数
其中用到
例5.x3的割线斜率切线斜率或导数
其中用到
经过反复做题，熟悉了基本定理的推理程序，自然会做出
总结 摆脱中值公式，借用导数，仍有基本定理
（算术定理见以后的微积分小卡片）
这里积分，或
当θ→0即曲线 f'(x)下的面积（面积与积分的定义就在于此，慢慢体会）
以上论证也不过四五行（虽然每行都得解释），高中生可以承受
基本定理统一证明
这时，也只有这时，我们才尝到了微积分的鲜活味道！
总之，基本定理只要拿几道题，自己做一遍，就完全明白了.还有必要引经据典、狂轰乱炸：由实数论，到连续函数论，到微分学（中值公式、泰勒公式、原函数、不定积分），到黎曼积分？越多越糊涂。
从此，微积分一本书由枪林弹雨解脱出来，成了一个知识点。
微积分一座大山，终于变成了几碟小菜。
以上借用高中的函数语言与导数定义. 但是，后面有一张《微积分小卡片》，像三字经（或九九歌），小学生也能一知半解（启蒙作用）。
够了，读者可以松口气了！暂停。
注 张景中的三角公式无图证法:
建议
微积分一开始就布置这几题，作为打擂台、比武场，供学生试身手、比功夫.直到他们交卷了，才能肯定微积分过关了。
这几题真值得，包含了微积分的最初功能：求导数与积分. 加上四则运算求导，便可以制造导数表与相应的积分，如上表。
以后仅仅是套公式. 下面仅举出决定性的一招：利用上表求单位圆的周长与面积。
即 圆周长=4arcsin(x)的高，圆面积=2（arcsin(x)+x√(1-x2)。
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