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李善蘭的名氣不可謂不大，相信很多人在歷史教科書上見到過他的畫像，知道他是一個著名的數學家。
《清史稿》載：“李善蘭強絕人，其於算，能執理之至簡，馭數之繁，故衍之無不可通之數，扶之即無不可窮之理。 ”表明他聰慧，精通數學。最能體現其卓越的數學才能的，當是李善蘭通過自學翻譯西方近代數學和著書立說，為我們留下了宏豐論著，諸如《幾何原本》、《代微積拾級》等。
與《幾何原本》的不解之緣
李善蘭翻譯的第一本書，是與著名漢學家偉烈亞力合作翻譯的世界數學名著《幾何原本》。《幾何原本》原名《原本》，是古希臘著名數學家歐幾米得的傑作，對西方思想有深刻的影響，曾被大哲學家羅素視為“古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一”，以致有人認為，在西方文明的所有典籍中，只有《聖經》才能夠與《原本》相媲美。
《幾何原本》在明萬曆三十五年（1607）被引入中國，它是由著名科學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合作翻譯的。但徐光啟和利瑪竇在翻譯前六卷後，因種種原因，後面的九卷一直沒有譯出。 《幾何原本》沒有完整地翻譯過來，這對中國學術界是件很遺憾的事。
李善蘭與《幾何原本》可以說有著不解之緣。他十五歲就開始研讀《幾何原本》前六卷，“通其義”，“時有心得”。 《幾何原理》對李善蘭的影響是如此之深，以致他深為徐光啟、利瑪竇未盡譯全書而遺憾。恰好，李善蘭在墨海書館的合作者偉烈亞力也是個對《幾何原本》很感興趣的學者，到中國後，他一直有意要續譯《幾何原本》，並特意從英國買來了從拉丁文譯成英文的15卷本《幾何原本》。但由於偉烈亞力在數學方面的造詣並不十分的精深，對翻譯並無十分的把握，他需要一位精通數學、熟悉《幾何原本》的中國學者來合作，而李善蘭正是這樣一個最為合適的人選。於是，兩人一拍即合，李善蘭來到墨海書館後不久，咸豐二年（1852）的六月上旬，兩人開始了續譯《幾何原本》的工作。
李善蘭與偉烈亞力合譯的方式是當時流行的一人口譯一人筆述。由於英文舊版“校勘未精，語訛字誤，毫釐千里，所失非輕”，同時“各國語言文字不同，傳錄譯述，既難免差錯”，因而李善蘭翻譯的過程，實際上是一次對底本的整理和加工，更值得注意的是他在《幾何原本》原著上所加的“按語”。在“按語”中，他對《幾何原本》作了一些補充、闡述和發揮，這些“按語”。
據學者統計，共有近二十條。譯完之後，李善蘭又請他的摯友著名數學家顧觀光、張文虎任校復，細細核較，這樣，直到1858年才在墨海書館木刻印行。經過整整250年，《幾何原本》才算有了第一個完整的中譯本。然後好事多磨。續譯《幾何原本》初刊之時，太平軍與清軍在蘇滬激戰正酣，續譯《幾何原本》沒刊刻多少，雕版就毀於兵火，存世者極少。
幾年之後，李善蘭在金陵面見兩江總督曾國藩，極言此書學術價值，謂“此算學家不可少之書，失今不刻，行復絕矣”。曾國藩於1865年取徐光啟、利瑪竇合譯的《幾何原本》前6卷與李善蘭、偉烈亞力合譯的後9卷併為一書，重校付梓。這就是我國的第一部 《幾何原本》的足本。《幾何原本》全譯本以一種非常簡潔的演繹方法，道出了自然的和諧和合理的法則之所以然，給中國學術界帶來一種全新的理念和方法。
數學才能走向成熟
李善蘭在《方圓闡幽》一卷（1851年刻）中獨創“尖錐術”，運用我國傳統數學中垛積術和極限方法首創了尖錐概念。它是一種處理代數問題的幾何模型。李善蘭創立了一種求錐狀平面形面積和錐狀立體形體積的方法。這是一個頗為整齊的公式。在數學史上這一公式佔有顯赫的地位，是我國求圓周率計算史上新時期的代表之一。
李善蘭的尖錐術理論與西方的定積分理論雖然還有距離，但畢竟它是在中國產生出來的積分法，此外，李善蘭還在此基礎上創立了一些級數展開式或積分公式雛形，都具有解析幾何思想和微積分思想，這在近代西方數學還未傳入我國時，確實是相當可貴的數學成就。退一步來說，李善蘭的尖錐術表明，即使沒有後來的微積分傳入我國，我國也會運用獨特的數學思想，通過自己特殊的途徑而獨立地達到中國式的微積分，從而完成由初等數學到高等數學的轉變。
垛積是堆垛求和的意思，屬代數中高階等差數列求和問題。李善蘭把北宋沈括首創的隙積術，宋元朱世傑的“垛積招差術”發揚光大，獨樹一幟，自成體系，形成了我國一個特有的垛積理論——《垛積比類》四卷（1864年），這是我國在討論高階等差級列求和方面的一本最優秀的著作，是融匯中西數學學術思想的體現之一。除對我國古代垛積術進行了系統的整理與進一步討論外，主要提出了馳名中外的“李善蘭恆等式”的組合公式。
有趣的是，李善蘭恆等式是總結歸納出來的，但沒有證明。國外多稱它為“李壬叔恆等式”。20世紀30年代以來，不斷引起數學界的廣泛興趣。我國數學家章用（1911年~1936年）研究並對原公式改寫後引起了中外學者注意並進行補證。如1954年匈牙利數學家圖蘭·馬爾和我國數學家華羅庚都各自給出兩個證明。 20世紀80年代仍有人在繼續進行研究，如法國人還用現代數學方法證明了這個恆等式。此外，還有以李善蘭名字命名的“李善蘭數”、“李氏多項式三角形”等。這種以中國人名字命名的定理、公式在當時的數學史上是少有的。
盛名享譽中外
李善蘭在我國數學史上佔有特殊的地位，其重要性在於，他處於我國傳統數學的結尾時期，以其傳播西方科學文化的熱情，為我國傳統數學融入、統一於世界數學之中作出了突出的貢獻。
1868年，李善蘭走馬上任北京同文館“天文算學館”（相當於今大學數學系）總教習（相當於今天的教授）。因此，他是我國第一位數學教授。他一生自學、教書、著作、翻譯，晚年又教書，直到臨終。他所教的學生，不少成為名家學者。
李善蘭重視古算實際應用的傳統，曾用相似勾股形對應邊成比例的原理，測算過東山的高度。又如他研究天文學，非常重視實地觀察天象與實地測量，他的經學老師陳奐在 《師友淵源記》中說他：“孰刁九數之術，常立表線，用長短式節候以測日景，便易稽考。 ”餘杼木在《白盦詩話》中說他：“夜嘗露坐山頂，以測象緯躔次。 ”李善蘭生命不息，科研不止。如1874年在京中風後，行動很不方便，“憚於行遠，咫尺之遙，須人扶掖”。病稍好一點，便又開始進行教學與研究工作，又著了《級數勾股》二卷，直到1882年病故才停止工作。
精通詩詞，文采俱佳
李善蘭並不是我們想象中的一個刻板的科學家，他是一個很有趣的人，渾身上下散發著那個時代的味道。咸豐四年（1854年）秋，李善蘭與傳教士艾約瑟相約共遊西湖。當時杭州從未見過外國人在大庭廣眾中游覽，引起了轟動。縣令大為緊張，立即把艾約瑟逐回上海，把李善蘭發回海寧。李善蘭寫了首詩歌呈給海寧州守，詩曰：“遊山不合約波臣，奉遣還鄉判牘新。刺史風流公案李善蘭曾雲： “十三學吟詩。 ”青少年時代寫詩二百餘首，譯著之餘也常作詩抒發感情，表達愛國憂民以及強烈的愛國主義思想。他的詩文也頗具特色，如15歲時曾寫出：
膝下依依十五秋，
光陰瞬息去難留，
嗟餘馬齒徒加長，
爆竹驚心歲已固。
以及
數聲爆竹歲朝天，
漸愧平與會講年。
一歲功程今日始，
急須早著祖生鞭。
的佳句。他關心勞動人民的辛苦，年輕時寫的《夏日田園雜光》和《田家》等詩篇，如
提筐去採陌頭桑，
閉戶看蠶日夜忙，
得到絲成空費力，
一身仍是布衣裳。
我們再錄他的二首五言詩
《題張蒼水先生畫像》
（一）
一木撐天墜，支吾十九年。
衣冠留勝國，瞻拜仰前賢。
衰祚終難振，丹心豈易傳。
忠魂疑不死，鬚髮上森然。
（二）
南屏遺木在，碧血至今殷。
抔土封超直，峨碑勒謝山。
骨爭湖水潔，魂其暮雲還。
風雨猿啼哭，行人淚欲潸。
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