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1368年10月，朱元璋在消灭南方陈友谅、张士诚两大割据势力后，便紧跟着发动了推翻元王朝的战争。
当时，长江以北和南方云南还在元朝统治之下，在河南、山西、陕西等地还有完整的元军野战兵团，虽然内部各自为政，但是其军队秉承蒙古铁骑的传统，战斗力依然十分强劲。明军进行北伐绝不是一件轻松的差事。
因此，朱元璋在发动北伐战争前确定了第一步沿运河北上夺取山东，取得后勤补给中转基地。第二步进军河南，消灭元军一部，攻占潼关，封锁黄河，阻止山西和西北的元军南下。第三步合围并攻取元朝都城——大都（北京）。
鉴于北伐战争任重道远，朱元璋所派之将都是指挥大兵团作战经验丰富之人，其中以老成持重的徐达为主帅，统一指挥常遇春、冯宗异、傅友德、薛显、张兴祖等部兵马，总兵力达25万人。
北伐军于10月从淮安出发，沿京杭运河向山东推进，沿途宣传“驱逐鞑虏恢复中华”的主张，号召各族人民起来反抗蒙元王朝的残暴统治。山东元军兵力薄弱，北伐军没有进行大规模战斗，仅三个月就占领山东全境。元王朝丢了山东，等于被斩掉一支翅膀，大都暴露在徐达大军兵锋之下。
但是徐达没有急于进攻大都这一坚城，而是按计划以一部兵力扼守黄河，阻敌南下，主力部队按计划沿黄河进入河南，很快占领开封。从襄阳北上的另一路明军邓愈所部也攻克了南阳。驻守在河南的是元朝梁王阿鲁温和元军大将脱因特木儿。见明军入境，脱因特木儿率5万元军迎战明军。徐达率军首先抢占虎牢关，在洛水以北与元军展开激战。这也是北伐军第一次真正意义上的大规模战斗。常遇春当先冲锋，射杀敌将一人，徐达率大军跟进，以绝对优势的兵力大败元军，一直打到洛阳城下，梁王阿鲁温开城投降。北伐军夺取洛阳后又以雷霆万钧之势横扫河南全境，潼关守将李思齐、张思道弃关而逃。
河南平定，徐达派重兵扼守潼关，以阻止西北元军南下，主力部队于当年7月初从山东、河南两地同时出击，向大都进攻。北伐军进展神速，前后20天功夫就抵达大都城下并控制了出海口。
自河南失陷，大都就成为一座孤城，唯一的外援就是驻守山西的王保保军团。但是由于王保保迟疑不决，加上明军水陆并进，进展神速，很快兵临大都。惊慌失措的元顺帝见大势已去于大都陷落前三天深夜弃城而逃。八月初二，徐达率军开进大都。
大都攻克，标志着蒙元王朝统治终结。
世纪战争大揭秘
公元1366年底，腐朽的元朝政权在红巾军持续沉重的打击下，已经摇摇欲坠了，加上元廷内部派系林立，矛盾重重，值此危亡之际，却不思振作、团结，依旧是内耗不止，曾经横扫欧亚的大元早已衰弱不堪、日趋瓦解了。
《明史》载：元至正二十七年（1367）10月，朱元璋遣徐达、常遇春率25万大军北伐。明军誓师出发前，朱元璋亲自制订了 一套很完备的北伐征战计划：先攻取山东，强拆拱卫元大都（北京 ）的屏障；然后挥师中原，斩断其羽翼；占领河南后迅速挥师西进，一举攻占潼关，等于一把掐住了元廷的咽喉。如此一来，天下形势将尽数握于手中，最后集中力量进攻大都，元军势穷力孤，定可毕其功于一役。 朱元璋再三申明行军纪律，又发布了北伐讨元檄文，提出了"驱除胡虏，恢复中华，立纲陈纪，救济斯民"的口号。
徐达率大军北伐，基本都是按朱元璋事先制定的计划具体实施的。1367年11月，徐达率军抵达山东境内，苦战3个月后，基本平定了山东全境。随后，兵分两路，又顺利攻取河南。接着，以迅雷不及掩耳之势向西占领潼关。到1368年4月间，元大都已成孤城，北伐大军合围大都的战略目标已告完成。
就在徐达率领的北伐大军以摧枯拉朽之势横扫中原、直逼大都之时，元军主力却成了皇位之争的工具，正忙于内战。待潼关失守后，元顺帝这才惊慌失措的征调正内斗不休的悍将扩廓帖木儿（汉名王保保）、李思齐的部队，南下抵御明军。扩廓帖木儿和李思齐确实凶悍能战，初战却也取得了一些小胜，但元军早已腐败，加上大势已去，又互相猜忌、提防，哪里还有持久战斗力？ 之后，二将果然逢战必溃。元顺帝见已无力回天，又听闻徐达已攻克通州，遂于1368年的某个深夜间携后妃狼奔豕突逃往上都（今内蒙多伦）。第二年8月间，徐达指挥北伐大军围攻元大都，并一举攻克之，统治中国99年的蒙元政权宣告败亡。
紧接着，徐达、常遇春乘胜挥师东征西讨，先后平定了北方、西北诸省。1371年，朱元璋派水师配合陆军，大军沿江西上，平定了四川。1382年，又派大将沐英率军平定了云南，元梁王败死。1387年，元丞相纳哈出献辽东乞降。至此，除漠北蒙古、西域（新疆）外，统一中国的大业已基本完成。
史载，元至正二十八年（1368年）正月，正当徐达率北伐军在山东攻城略地、连连告捷时 ，40岁的朱元璋于应天府（金陵 ）正式登极称帝，国号大明，建元洪武，以应天府为南京。徐达北征灭元，居功至伟，“论功当为第一”，被元璋封为右丞相、信国公。
徐达之所以能用25万北伐大军击败元军，赶跑强大的元朝（元朝并未灭亡，而是遁入漠北，史称北元），主要是因元皇太子爱猷识理达腊与军阀扩廓帖木儿、张良弼、脱列伯、李思齐等混战不休，元军陷入无休止的内战，元气消耗殆尽所致。
还有一重要原因：在元朝对中原不到100年的统治中，蒙元统治者在受到中华先进文明浸润影响的同时，也迅速被汉化。到了元末，元军的主力主要由色目人和汉人组成， 军队将领也大多以色目人为主。在中原出生的蒙古人已经没有其祖先身上那种彪悍好战的气质，成了既得利益者，导致元军的整体战斗力大大衰减，早已不复往日之勇。到元朝灭亡的前夜，元帝国赖以生存、扩张的强大武装力量——蒙古军队战斗力早已羸弱不堪 。在战场上一遇到徐达率领的北伐大军，基本上都是一触即溃。似此，焉得不败？加上元廷政治腐败，内讧激烈，却还用几十年前的落伍想法和暴力作为来对待汉人和其他民族，但其军队早已不能倚重 ，简直就是自取灭亡。
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首先此问题存在一定的问题：1、北伐中原的并非徐达一人；2、明军并未灭掉元朝，而是将其赶出中原；3、元朝强大，但元大都势单力孤。
因此该问题问的可能是明军何以北伐成功。
元失其鹿
朱元璋的北伐檄文中写道元朝入主中原“此岂人力，实乃天授”。明军北伐何尝不是如此呢？
虽然有一些天命论，但历史往往就是这样难以捉摸，当“天选之人”出现时往往“一唱雄鸡天下白”。成吉思汗、忽必烈是这样，朱元璋同样也是这样。无论是阿里不哥还是陈友谅，老天告诉他们“不服，忍着。”中国王权政治运行的规律早已昭然若揭，在《左传》中就提出“其兴也勃焉，其亡也忽焉”。因此，问答里很多的问题也可以此来回答，例如“把朱元璋换到崇祯的时候，明还会亡吗？”，回答当然是肯定的。没有人能够逆天改命。
那么在王朝鼎革的时候，双方是如何应对的呢？
明军势如破竹
徐达、常遇春、冯胜等人的能力自是不消多说了，诸将配合徐达部作战，使得北伐非常顺利。如打河南时，征南将军邓愈由襄阳进军，攻克南阳，完成对河南元军的合围。因此，北伐军不止25万。
朱元璋的北伐战略非常清晰：
先取山东，撤其屏障。旋师河南，断其羽翼。拔关中而守之，据其户槛。天下形势入我掌握，然后进兵元都，则彼势孤援绝，不战可克。既克其都，鼓行而西，云中、九原以及关陇，可席卷而下。
北伐的效果非常显著，山东、河南几乎没有怎么反抗就降了。3个月平定山东，又3个月平定河南。随后徐达令诸将大会临清准备直取大都，仅仅半个月就攻下了通州，然后元顺帝就跑了。留下的简讯是“今日岂可复作徽、钦？”
元朝忙着“攘外必先安内”
明军何以攻下山东、河南便直取大都了呢？关键就在于元军主力在陕西斗得死去活来。
扩廓帖木儿与李思齐在关中“相持经年，数百战未能决。”
扩廓遭部下背叛后势微，元朝转而令李思齐等攻打扩廓。扩廓愤甚，引军据太原，尽杀朝廷所置官吏。元朝尽削扩廓官职，令诸军四面讨之。总之，元朝内部打得稀里糊涂。相反大都守备多不设，顺帝太清楚国家的情况了，谁劝也没用，必须马上跑。
僵而不死
元廷先走上都，又走应昌、合林，总之就是哪里安全就跑去哪。虽然是流动朝廷，但毕竟朝廷还在。
明朝数次北伐，取得了不少战果，但元朝撤到草原，就如同鱼入大海，猛虎归林。自古以来的中原对草原的征伐往往是胜而不胜，游牧民族如同草原上的青草一样“野火烧不尽，春风吹又生。”况且，在洪武五年的北伐中，扩廓大败徐达。明朝的北伐已经变成了打击，而非“攻灭”了。
我们将回到大草原的元朝势力称作“北元”，以视其还是一个政权。即使回到了草原，蒙古贵族们依然还在“先安内，再恢复大都”的国策中挣扎。有鬼力赤者，杀坤帖木儿自立，称可汗，去国号，遂称鞑靼。蒙古分为鞑靼、瓦剌、兀良哈三部，就如同子婴去秦帝号一样，他们依然是“黄金家族”领导下的蒙古，明朝皇帝从未取得“天可汗”的尊称。
换句话说最后灭掉元朝的还是蒙古人自己，而草原蒙古人再也没有失去。
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我认为有三个原因：蒙古内政腐败，导致了战斗力低下、蒙古的统治范围太大，已经无法集中力量对抗南方的各路军阀了、南方大明的力量已经全方位超过北方。
蒙古内政腐败，虽然至正皇帝刚上台的时候任用脱脱等人对弊政进行了改革，但是改革的成效没有达到皇帝的期望，他的努力他的付出总是得不到回报。到了至正中后期，至正皇帝已经身心疲乏，对于改革已经放任不管了，手底下的人也是都在为自己的利益做着各种损坏国家的事情，大元至此已经完全没救了，起义刚开始爆发的时候，依靠丞相脱脱还能镇压，但是随着脱脱病逝后，大元的最后挺梁柱倒塌了，元朝也就完了。
政治腐败，带来的必然是军队的不堪一击！大元的军队畏敌不前成为了经常发生的事情，一旦开战，往往都是兵败如山倒。
还有元朝的统治也实在是太大了，北边直达西伯利亚高原，南边到达海南，跨越的范围太大，都可以说是一种势力范围统治了，如果地方上发生叛乱，一旦要出兵镇压往往都要消耗掉很多的军费，而且效果还不能保证。
元末的起义和别的起义有很大的不同，南方朱元璋、张士诚、陈友谅等军阀居然不是先联手推到元朝政府再内战，而是南方各势力先分出胜负再攻打北方大都，这期间有十几年，元朝居然没有绝对的兵力镇压！
在这十几年元朝军队都在干什么？难道各位不感到奇怪吗？等到朱元璋统一了南方后，徐达北伐，没有经过很大的难度，至正皇帝居然就北逃了。
从南宋之后，中国的经济重心完全转移到江南，元朝在丧失掉江南后，财政日益匮乏，已经维持不了如此庞大的帝国了，更别说还要镇压起义了，而朱元璋占据富有的南方，无论是经济还是人口，都占据了绝对优势，所以，一旦北伐，必然是势如破竹！再加上徐达等名将率军，胜利也就不是什么难事了。
梦三七夜
公元1367年11月，为了彻底推翻元朝的统治，朱元璋派徐达、常遇春率军25万北伐。在发布的讨元檄文中，朱元璋提出“驱逐胡虏，恢复中华”的口号；同时又表示，蒙古、色目人“愿为臣民者，与中华之人抚养无异”。
北伐军先占山东，再入河南，又克陕州，扼潼关。然后主力沿运河北进。公元1368年7月底，大势已去的元顺帝只好北逃至上都。8月初，明军攻占大都，元朝宣告灭亡。
下面来回答你的提问，徐达、常遇春所率的北伐军为何能打败强大的元朝？因为将近一个世纪的舒适生活，已经让彪悍的蒙古人失去了原有野性。这时的成吉思汗子孙已经到了只能用软弱无能来形容的地步了。最致命的是他们之间的内斗，从未停止过，也从未像当时严重过。他们之间经常互相掣肘，坐视起义军壮大。
当时的天灾只是一根导火索，元朝的野蛮统治和民族压迫政策，已经让在人数上占绝对优势的汉族到了无法忍受的地步了。当徐达、常遇春北伐时，他们刚刚与北方的起义军火拼完，已经是元气大伤了；反观徐达、常遇春的北伐军是一支在血与火中磨练出来的百战之师。统帅徐达文武兼备，常遇春又是一代名将，他们能一路势如破竹的直捣大都，就不足为奇了。
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打仗并不是单单靠人多，蒙古灭金，灭南宋，灭花剌子模，都是少数，不过10万左右，而对手通通超过百万雄兵。同理，明初，徐达虽说25兵力，灭几百万的元朝却易如反掌，为毛？
天命所归。
明朝开国功臣都是精英，身经百战，而大元虽说人多，却是酒囊饭袋，贪生怕死，早没有当年草原民族的剽悍凶猛。怎么打？
更主要是，大元几百万雄兵，分别掌握地方军阀手中，这些人根本瞧不起元顺帝，也不听皇帝的话。徐达打到北京城下，元顺帝根本没有抵抗，立马逃至草原？为什么如此熊包？原因就是元兵虽多，却都不听元顺帝的话。元顺帝根本勤不了王，逃命要紧，否则会成为第二个祟祯。
蒙古人根本不能在中原地带生存，适应不了气候。到了后期，马不会骑，拉不了弓，如同八旗子弟，混吃等死，废物点心，哪是饱尽战火历练出来明军的对手？
醉剑书
这问题问的😅，看看满清后期的满州八旗的战斗力就清楚了！优越生活腐朽无能的军官、缺乏锻炼和士气的士兵，还有蒙古人认为草原才是真正家的理念，都不愿意为城死守，为保大都拼命，就是人再多有什么用。加之元朝统治者把人种分级的制度，汉人对义军一呼百应，徐达自然能常胜
龙城无敌
前面的几位老师回答的都不错，各有特点。赞一下。这个问题可以改成明朝何以打败元朝？
首先打败元军的是民心所向，元朝末年，政治制度昏聩。腐败成风，徭役深重。民怨载道，苦不堪言。以上人祸不算加之天灾横行。旱涝泛滥。瘟疫肆虐。大多数人民挣扎在死亡线，与其说打败元军的是明军，不如说打败元军的是人心，正所谓民心所向，胜之所往
娱趣文化
墙倒众人推，元朝比较是少数民族，可是不会管理，也绝拒了汉化，蒙汉之间矛盾极大，而且那时候蒙古的战力已经不像以前啦，腐化的厉害，所谓的无敌的蒙古铁骑已经不在，享乐后，战力已经很低啦，加上民心所向，焉能不败
mike20172017
纵观历史你会发现一个问题，北方的游牧民族始终是中原政权的一个威胁，但是这个威胁确实在不断强大，先秦时期燕赵两国凭借自己是实力就可以独挡，到了秦汉时期凭借强大的军事实力也能北逐匈奴封狼居胥，隋唐时期更是碾压北方游牧民族，到了宋代就开始被成了南北对峙了，后来南宋更是被灭，取代明朝的最终还是北方游牧民族女真，这是为什么呢？
