周末辅导孩子数学作业，发现一道题目，如下：
已知有甲和乙两自然数，甲和乙之差为207，当把甲向左移动一位小数后，甲乙相等，求甲和乙分别是多少？
对于这道题，相信大家都会解，解法多样，有算术的方法，也有代数的方法。在这里我主要是想通过这道题，从思维的角度分享一下算术向代数的发展。
算术与代数是数学最古老的分支，它们作为数学的基础内容又是中小学数学学习中的重要内容。算术的发展演变，符号的诞生以及算术向代数的发展，表现了数学思维方式中数量形式和内容之间的变化与发展。
一．算术与数学符号的数量性思维
算术的主要内容是有关自然数，分数和小数的性质及相关的四则运算。算术的形成是人类在认识现实世界数量关系上迈出的重要一步，是人类社会实践活动取得的重要成果之一。有了算术这个工具，人类才开始从数量的意义来思考世界。
数字符号，运算符号作为一种特定的数学形式，或者说作为最基础的数学符号，经过了世界上不同民族的不间断的创造过程。世界上对古代文明做出重大贡献的民族都为这中特定的数量符号做出过贡献。
现今应用的阿拉伯数字1，2，3，4，5，。。。始于印度，后来传入阿拉伯，最后传入欧洲。0的符号比1到9这九个符号的产生还要晚得多。由此可见，作为表示数量关系的符号，作为人类数量化思维的最初语言，数学符号的问世表明了人类数量化思维的历史过程。
数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化，数量化的符号，人们运用这些形式进行数量化的表示，并且运用这些符号进行数量化的思维，这是算术为人类数学做出的最重要的贡献。
今天孩子们都可以很容易掌握的数量运算和数字符号，却经历了漫长的形成过程。世界上原本没有符号，但后来的数字符号和由此而来的四则运算符号都是我们人类思维的创造。
只是由于算术内容与现实生活的密切联系，使人们并不感到自然数的抽象性，但是作为算术的内容与形式所包含的数量思维意义是不能忽视的。
算术理论的发展虽然为人类早期的社会解决了许多的问题，但是它的局限性也暴露了出来。算术的思维方式，是以现有的具体的，已知的数字符号进行思维表述的，这种数量关系依靠的是具体的，已知的，确切的数字符号，不允许有不可知的数量符号参与运算。这样一来，运用算术方法解决问题时，首先根据要解决的数量问题，收集整理各种已知的数量，并依据他们之间的数量关系列出这些具体数据的算数式，然后通过加减乘除的四则运算求出算是的结果。许多古老的应用问题，如行程问题，工程问题，流水问题，分配问题等，都是应用这种数量化的思维方式表示。
算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加减乘除连接起来，建立起解决问题的数学算式。这种思维方式对于具有比较简单数量关系的问题，列出相应算式并不难，但对复杂数量关系的实际问题，要按算术解题思维方式求解，往往难度很大。对于一些含有多个未知量的实际问题，要想通过算术的思维方式，由已知数量把算是列出求解，有时甚至是不可能的。
算术的思维方式，无论是在中国古代，还是在古希腊都曾经相当辉煌过。现代数论的许多问题都是源于古希腊时的算术理论，这些都充分表明了算术思维方式在当时产生的积极作用。算术思维方式对已知数的依赖和对未知数的排斥，说明这种特定的数学符号形式与运算形式已经跟不上不断发展的数学内容。数学内容的发展要突破算术思维方式的局限。
二．算术向代数的发展
代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由等号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。
代数的思维方式有两点比算术优越。
第一，代数的思维方式把未知数看作是同已知数一样可参与运算的数学符号，未知数作为一个特定的数学符号在等式中有着与已知数相同的意义。
第二，代数的思维方式对相等有更灵活的认识，解方程中强调每一步得到的都是等式，而上一方程与下一方程并不一定相同。例如。3X+5=2X+6得到X=1，只能说明两方程同解而并非相等。在算术中，一个算式的多步演算中，每步都要保持相等关系。
算术向代数的发展，使数学思维的范围扩大了。未知数已经作为一个抽象的符号进入了数学思维。思维方式的扩展，带来了数学内容的扩大，代数运算具有了算术所不具有的灵活性和普遍性。许多算术不能解决的问题，在代数中可以很容易的得到解决。
从数学思维的意义上看，数学思维方法的改变，扩大都会带来数学本身的进步。数学从算术向代数的发展，代表了数学思维方式的改变。这种改变不仅是扩大了算术的应用范围，更为重要的是，这种数学思维的改变对整个数学的发展都产生了重大而深远的影响。例如，对二次方程的求解，使人们创造了虚数；对五次以上方程的求解，最终导致了群论的诞生；把代数的思想方法应用于几何问题上，最终导致了解析几何的问世。
三．数量化思维的形式于内容
数学具有高度抽象性，这种抽象以形式化为特点。形式化在算术和代数的范畴内就是一种数量的形式，即现实世界真实的数量关系由特定的数字符号，运算符号和关系符号表示出来。
数学的形式化特点，往往使人们把数学看作是一个毫无内容的符号逻辑表达体系，但是实际上这些形式代表了特点的内容。数学的思维方法在算术向代数的发展中，从数量方面揭示了形式所包含的内容。数学的内容在于它反映了事物间的数量变化规律，在算术与代数中形式与内容相比较，内容是积极，活跃的，居第一位，这一点与哲学表述的定义是相同的。正是表示数量关系的活跃，才使数学方法从算术向代数发展。未知量作为同已知量相同意义的内容参与数量关系式的计算，使数学的抽象化数量形式从算术发展到代数。当然，今天我们从思维方法来考察数学的形式与内容时，它已经不再只是表示数量关系的内容，数学思维层面上的模式化构造已进入了数学的内容与形式之中。
对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以带给我们两点启示：
第一，数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数学形式所反映的内容。无论是对象符号（如1，2，3，......，∏，a，b，c等），数学运算符号（+，-，×，÷等），还是数学关系符号（=，等）都具有与特定内容的相关性。如果中小学生只认得抽象符号而不理解或不会运用数学符号，那么抽象的符号就失去了在数学思维中的语言符号作用了。
第二，数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形式的结合。从思维发展过程来说，从算术思维向代数思维的过渡，是中小学生必然经历的一个过程。从这种意义上来说，过分追求算术思维的难度不仅对培养学生的数学兴趣，数学爱好不利，而且对进一步代数思维的发展也无必要。
在数学教育的意义上，明确和理解算术向代数发展的思维规律，还可以使我们的教育理念有所改变。作为数学的历史，作为人类的数学思维发展过程，算术思维曾在历史上经历过相当长的实践，并留下了由相当难度的习题。过分追求算术思维的难度（目前在国内有广泛市场的中小学奥数竞赛就有此倾向），常常不自觉的违背了算术向代数发展的思维规律。有学者批评：现在国内热衷的中小学数学竞赛，就太过于强调技巧。其实我们的学生从中学开始就应该接受多方面的知识熏陶，让孩子多看名人传记，培养他们对科学的好奇心。
从数学教育的意义上分析，算术向代数的数学思维发展，可以成为算术难题代数化的一个表现形式。由算术的繁难到代数的简化可以引起学生学习数学的兴趣，好奇，而不是用繁难的技巧使学生的好奇心受挫折。
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