轻风白云
答：这个问题，我只能做一个不太严谨的回答，主要是因为：平面内，相似图像的对应曲线之比，等于相似比。
其中，把对应曲线换成周长也是成立的。
表面上，这个问题看似简单，主要是大多数人被圆周率的定义束缚了，实际上要严格证明还是不容易的。
首先，不同大小的圆是相似的，那么半圆也是相似的。
假设不同大小的圆，其相似比为N；
那么根据相似图像对应曲线之比等于相似比，就有N=R1/R2=C1/C2;
根据分数运算法则，就有C2/R2=C1/R1，也就是说，圆的周长和直径之比为定值，我们把这个值定义为圆周率π。
以上这个证明的前提，是利用了相似图像的性质，如果要严格证明这个性质，还需要去证明这么一个更基本的定理：可缩放平面内的曲线，曲线弧长与该曲线对应弦长的比值为定值。
这个定理我试了一下，没有证明出来，如果有读者朋友能证明，欢迎留言告诉我们呢！
另外，对于圆周率为定值，还能利用刘辉的割圆术，用极限去逼近，得到的级数是收敛的，也就证明了圆的周长比直径为定值，但是这个证明非常繁琐。
艾伯史密斯
不用这么复杂！不需什么高深的知识！设两圆半径分别为r1、r2，则圆的周长C1、C2，由于两圆相似，根据周长比等于相似比，圆的相似比等于半径比，即C1:C2=r1:r2，故C1:C2=2r1:2r2，所以C1:2r1=C2:2r2，即任何圆的周长与直径之比都相等，即为一个常数！
指尖的阳光109819951
参《林根数学》之"圆的周长与半径的比为什么是常数?"
林根数学
简单理解用祖冲之的割圆术就可以解决这个问题。不过切割的方法有点说道。要无限次切割，直到切割以后的弦长等于弧长。而这是几何不可能成立的。但是代数方法，切割到最后变成一个数值或者说点代表一个数值，不考虑几何问题，就可以计算出派了。可是，无论切割无限次到底是多少次，这都仅仅是代数逼近结果，因为派是超越数。这也是数学不能完成代数几何绝对意义的大一统的原因之一。所谓常熟，实际只有在限制小数点后的位数的前提下，才是有限意义的常熟。这个常熟小数点后面，每增加一位，都是有变化的，所以并不常。这就是超越数的特征之一。
霹雳火76228767
我来说一说，其实一点也不难，不用故弄玄虚。圆是这样定义的:平面上距离一个定点等距的点的集合，也就是说排除位置，圆只有一个参数:半径。用极限的方法，把圆理解为正N边形，那么每条边的长度显然用余弦定理得到是:根号【rr+rr-2rr*cos（2π/N）】，化简后是一个k*r的形式，显然这个正N边形的周长为Nkr，它和直径（2r）的比值刚好约去r，所以求这个比值当N趋于无穷大的时候的极限就行了。
2018年中国最帅的男生
圆的周长和直径的比值叫圆周率，它是无限小数，也就是说只能无限的接近它而不能求出它，数学概念规定了只要不是变量就是常数，显然圆周率是不会变化的，他是常数
耳鼻喉科吴医生
圆的周长与直径之比直观就可看到是个常数，几乎不需证明。圆内接正多边形当边数越分越多时，边长逼近相应弧长。从宏观上看边长与相对应弧长的长度并无差异。在边长与两个半径组成的等腰三角形中，边长与半径之比是常数，所有半径的和等于所有相应弧长的和，即是圆周长与半径之比为常数。…春草
13101778437
这个不算难，难得是给你看如何证明这个常数还是一个无理数！！
