鲲鹏圣仙

答：不存在没有图像的数学函数，只存在画不出图像的数学函数，两者是有区别的。

因为函数的本质，就是集合间的射影关系，对于数学函数，其集合的元素，都是可以在坐标上找到的。所以一切数学函数的图像肯定存在，至于你画不画得出来，那是另外一回事！

一、Dirichlet函数

最为著名的，当属狄利克雷（Dirichlet）函数：

这是一个处处不连续，处处不存在极限的函数；但它本身也有一些普通函数的性质，比如它是一个偶函数，还是一个周期函数，但没有最小正周期（任意正有理数，都是它的周期）。

狄利克雷函数还可以用极限形式表示为：

根据狄利克雷函数，可以变形得到很多，其他画不出图像的函数。

二、皮亚诺曲线

除了狄利克雷函数类型的函数外，还有皮亚诺曲线，也是一个比较有趣的函数，我们只能意会它的函数图像。

广义的皮亚诺曲线：自变量x在（0、1]区间取值时，皮亚诺曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。

皮亚诺曲线可以有很多种定义，但重要的性质是，自变量在“线”上的取值，可以一一对应到“面”上的因变量，甚至任意纬度的空间上。

该函数的本质，是康托尔的超穷数理论中，线上的点可以和任意纬度空间上的点一一对应，因为它们都是不可数集合。

皮亚诺曲线就是一种对应方式，这是一条连续但处处不可导的曲线，函数图像只能意会，不能完全地画出来。

艾伯史密斯

我们知道在近几年的高考中,越来越重视对函数的理解。而狄利克雷函数正是完全建立在主观意义上的人造函数,所以值得我们细细研究。

函数概念最早出现在17世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中．他定义函数是这样一个量：它是从一些其他盆经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的．自从牛顿于1665年开始微积分（研究曲线的弧长、不规则图形的面积等的一个数学分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一词来表示变t间的关系．17世纪德国著名数学家莱布尼茨1673年在一篇手稿里使用了，函数”这一概念．后来，莱布尼茨又引进“常盆”’、“变量”和’‘参变t”的概念．

在数学史上，这是一大进步，它使得人们可以从数量上描述运动了．当时的函数指的是可以用解析式表示的函数．但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了．

1734年，瑞士数学家欧拉用f(x）作为函数的记号．f(x）中的f是function（的数）的第一个字母．

历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)．这也促成了微积分的严格性的开始．事实上，如果严格性没有进人定义，那就无法在推理中体现严格性．

当时，数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的、严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象．他们还没有推理赖以展开的精确定义．

1829年，一个叫狄利克雷的人生生造出了如下的函数：

从直观上讲,狄利克雷函数可以看做两条极不光滑的直线。

狄利克雷函数具有以下几个性质:

(1)解析式不可写。

(2)图像不可画，无法画出图像，但是图像客观存在。

(3)没有有关的实际背景作为参考，即生活中很难找到以这个函数为模型的例子。

从以上特点看出,狄利克雷函数完全是“人工”的函数,对整个数学的逻辑严密性,起到至关重要的作

用。

狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来．这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.

狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有愈识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数，进行具体计算，他们不大考虑抽象问题．但狄利克雷之后，事情逐渐变化了，人们开始考虑函数的各种性质，例如（图象的）对称性、增减性、连续性等．具体函数、具体函数的计算逐渐淡化了．

1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义（区间一般是指两个实数之间的所有实数）:如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一的y值与它对应，那么y是x的函数．

这个说法逐步演变为现在高中课本上用的函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称

为从集合A到集合B的一个函数，记作

或

其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合

叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素.

关于荻利克雷函数也可以用一个统一的式子进行表达：

(1)周期性：任何的非零有理数都是这个函数的周期。也就是说,此函数没有最小正周期。

(2)奇偶性：D(x)是偶函数。

(3)单调性：D(x)在任意区间都不具有单调性。

(4)处处不可导，处处不连续，处处不可积。

这个函数一般用分段表达：

有时高考相关的试题中也有它的影子：

对于一个人来说，如果你爱她，就让她学习函数吧，同样地，如果你恨她，也让她学习函数吧！这不应了那句话了吗？“恨之越切，爱之越深！”

莫忆花依旧

只存在画不出图像的函数。比如Dirichlet函数，在有理点取1，无理点取0。还有Riemann函数、y=sin(1/x)等。但是所有函数都有图像，图像(Graph)的定义就是所有形如(x,f(x))的点的集合。只要给出了函数的定义，就不可能不存在。

li2889

有的函数确实画不出函数图像，例如下面这个分段函数，定义:当x为有理数时，f(x)=1，当x为无理数时，f(x)=0。

解题套路很深的梁老师

只要你的函数表达式是正确的，那么它就能在坐标系中画出来，一维的、二维的、三维的……、直线、曲线、折线……、长方形、正方形、……球体、圆锥体……，有人可能会说4维的或者n维的怎么画，人画不出不代表没有图像，计算机可以！更有人会想到狄里克莱函数没有图像，这种想法是错的，他的涵数表示整个xoy 都是它的函数图像，在xoy 上涂满即可！

關鍵字: 函数 数学 科学