山東韓師傅膠業孟斌
黃金分割率又叫黃金分割比,把一條線段分成兩部分,使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比
把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等於較小部分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值為0.618，通常用希臘字母Ф表示這個值。
附：黃金分割數前面的32位為：0.6180339887 4989484820 458683436565
設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上，且AC為b，則a比b就是黃金數
黃金分割的發現與推廣:
在古希臘時期，有一天畢達哥拉斯走在街上，在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，於是駐足傾聽。他發現鐵匠打鐵節奏很有規律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數學的方式表達出來。
尺規作圖公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，關於黃金分割比例的起源大多認為來自畢達哥拉斯學派。
1、設已知線段為AB，過點B作BD⊥AB，且B
圖示
BD=AB/2
2、連結AD
3、 以D為圓心，DB為半徑作弧，交AD於E
4、以A為圓心，AE為半徑作弧，交AB於C，則點C即為黃金分割點
在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊於一點，過這個點，作一條直線垂直於較長邊，這時，生成的新矩形仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重複，產生無數個的黃金矩形.
黃金分割的擴展:
1.設
為黃金比，便有
。然後有
，得
。對等式右邊分母中的
又以
代替，可得
；以此類推，可得無窮連分數。對等式進行類似的代替，可得無窮連根號。
2.昨天有分析過斐波那契數列,
經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，而黃金分割是無理數，所以只是不斷逼近黃金分割。
3.黃金三角形:
所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度比為黃金比值，正是因為其腰與邊的比為(√5-1)/2而被稱為黃金三角形。黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由五角形的頂角是36度可得出黃金分割的數值為2sin18度（即2*sin(π/10)）。
將一個正五邊形的所有對角線連接起來，在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的，所產生的五角星裡面的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金分割的應用:
黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建築和藝術中最理想的比例。此外在股市中黃金分割線的應用十分廣泛,有興趣的朋友可以研究研究,說不定可以發財致富哦.
畫家們發現，按0.618:1來設計的比例，畫出的畫最優美，在達·芬奇的作品《維特魯威人》、《蒙娜麗莎》、還有《最後的晚餐》中都運用了黃金分割。而現今的女性，腰身以下的長度平均只佔身高的0.58，因此古希臘的著名雕像斷臂維納斯及太陽神阿波羅都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618。建築師們對數字0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，希臘雅典的巴特農神廟，都有黃金分割的足跡。
優選法中的應用:
0.618法（黃金分割法）
0.618法就是採用上面的思路來選取x1和x2的：
不失一般性，假定(a,b)區間是(0,1)，即f(x)在(0,1)區間上有單峰極值，選取得兩個點x1，x2分別記為x和1-x，即在x和1-x兩點進行實驗，不妨假定保留下來的是(0,x)區間。
繼而在(0,x)區間上兩個點x^2和(1-x)x處做實驗，如果x^2=1-x，那麼上次在1-x處的實驗就可以派上用場，節省一次實驗，而且捨去的區間是原來區間1-x的一部分。故有x^2+x-1=0，可以解得
第一次選擇0.382(b-a),0.618(b-a)，若保留了（0，0.618），由於0.618*0.618=0.382，因此下一輪只需要在0.618*0.382=0.216處做另一次實驗，0.382的實驗結果在上一輪中得出，減少了計算量，每次消去的區間還大。
這個其實在生活中用處是挺大的,例如要你猜一個數字,你不用一個一個猜,可以從給定數字範圍的0.618處開始.可以減少猜的次數哦,不信可以試試哦!
學霸數學
黃金分割，是初二數學比例線段中的一個重要內容，學好黃金分割對於學好相似形這一章很有必要。
提到黃金分割，大家最先想到可能就是0.618，其實0.618是個近似值。關於黃金分割的起源，大多數人認為來自畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派還有個重要發現，那就是畢達哥拉斯定理也就是勾股定理。
黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值，其比值是個無理數，約等於0.618。以線段為例，請看下圖。
我們可以用尺規作圖的方法來找出一條線段的黃金分割點，請讀者自行思考。
下面我們從數列的角度來認識黃金分割 。
設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，後面的每個數都是它前面兩數之和，這樣的數列叫菲波那契數列。例如1、1、2、3、5、8、13、21……通過計算，大家可以發現相鄰的兩個數的比值逐逐漸逼近黃金分割比。
黃金分割蘊藏著豐富的美學價值，被認為是建築和藝術中最理想的比例。建築師對數字0.618特別偏愛，古埃及的金字塔，巴黎聖母院，艾菲爾鐵塔，帕特農神廟都有黃金分割的足跡。
黃金分割還可以應用到優選法之中。優選法是以數學原理為指導，合理安排試驗，以儘可能少的實驗次數，儘快找到生產和科學實驗中最優方案的方法。優選法中就有一種方法就叫0.618法。
多元視角
黃金分割，就是把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比；其比值為（√5－1）╱2 ，這就是黃金分割率；它是一個無理數，近似值為 0.618（取小數點前三位數字）。
黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值；現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用黃金分割，展現其功能性與美觀性。
那麼，
如何求一條線段的黃金分割點 ？最佳方法是：用直尺和園規作圖。
作圖的步驟如下：
①
任意畫出一條線段 AB ，分別以 A、B 為園心，半經大於 1╱2 AB 作弧，相交於 D、E ，連接 DE 交 AB 於 M ，則 M 為線段 AB 的中點。（DE為線段AB的中垂線 )
② 
以 A 為園心，以 AM 長為半經作園，與 BA 的延長線相交於 N 。
③ 
分別以 M、N 為園心 ，半徑大於 1╱2 MN，在線段 AB 的同一側作弧，相交於 F ，連接 AF ，AF 或其延長線與 ⊙A 相交於 C ，連接 BC 。那麼，CA⊥AB，即△ABC 為 Rt△，並且 ∠CAB＝90℃ ，設線段長為單位＂1＂，即 AB＝1，則 AC＝1╱2 ，BC＝√5╱2 。
④ 
以 C 為園心，以 CA 的長為半徑作弧，交 BC 於 G。那麼，BG＝（√5－1）╱2 。
⑤ 
以 B 為園心，以 BG 的長為半徑作弧，交 AB 於 O ，那麼，O 點就是線段 AB 的黃金分割點。BO＝BG＝（√5－1）╱2 。
證明不再版述！
附：作圖求黃金分割點，用園規和直尺既規範又精確；倘若作圖用刻度尺、三角尺，或量角器，那麼，需要目測讀數……誤差難免增大！
