山列千重靜

我在回答如何學透勾股定理時，講到了課本上勾股定理的證明方法，這個方法的特點就是一目瞭然，等量關係非常明確。

今天我和大家共同學習另外一種證明勾股定理的方法，請先看下面這個圖。

這就是著名的弦圖，是由我國古代數學家趙爽畫的。他深入研究了周髀算經，為該書寫了序言並註釋。用弦圖證明勾股定理，勾股定理表述為“勾股各自乘並之，為弦實，開方除之即弦。”證明方法表述為“按弦圖，勾股相乘，為朱實二，被之為朱實四，勾股之差，自乘為中黃實，加差實，亦成弦實。”

這段文言文什麼意思，相信大家看了下面的公式後就明白了。中間斜放的正方形ABCD的面積等於邊長c的平方，同時它的面積還等於4個三角形的面積加上最中間的小正方形面積。請看下面的公式。

其實通過這個弦圖，還是可以直觀觀察出勾股定理的，請大家繼續觀察弦圖。

大家沿著AC方向向左邊引一條輔助線，我給大家畫好了，請繼續看圖。

請再觀察下我用粗波浪線標註的區域。這塊兒區域的面積等於a方加b方，是由四個三角形和一個小正方形組成。同時中間斜放的正方形ABCD的面積等於c方，也是由四個三角形和小正方形組成的。於是我們觀察出勾股定理。

多元視角

勾股定理的證明方法眾多，歷史上有148種之多，隨著數學的發展，證明方法還會增加，今天分享一些我們常見的，容易理解的方法，大家可以試著證明一下：

趙爽弦圖證明

此方法為面積法證明，弦圖模型在初中幾何證明中非常常見．

相似在三角形證明

此方法由我們熟悉在直角三角形中的相似證明；

歐幾里德證明

此方法用全等，同底等高面積法證明．

總統證明

此方法亦是面積法證明

切割線定理證明

圓中切割線定理也是非常實用

內切圓證明

面積法和切線長定理證明；

學霸數學

勾股定理的證明方法有成千上萬種，只有你沒想到的，沒有想不到的

最古老的證明

我先講講我們古人證明的一個勾股特例，即勾三股四玄五，《周髀算經》提到早在西周時期，就有的一個算法，如下圖

雖然證明過程比較粗糙，但是畢竟成圖於西周時期啊！不得不佩服，而且書中寫的是，周公向商高請教數學知識，商高告訴他這樣的證明，說完後還來句暴擊，說這個在大禹治水的時候就這麼證明了。

趙爽玄圖證明

後來中國數學家趙爽對這個圖進行了一般性的證明

圖中斜著放的一個正方形，是以斜邊C為邊長的，同時這個大正方形是由4個三角形和1箇中間的正方形組成的

中間正方形的面積是（B-A）*(B-A)

從面積上來說C^2=4*(1/2)*A*B+（B-A）*(B-A)

化簡右邊得到

C^2=A^2+B^2,得證

日常辦公

勾股定理是初中數學裡重要的幾何公式，在西方它被稱為畢達哥拉斯定理，因為畢達哥拉斯是證明勾股定理的第一人。

勾股定理有上百種證明方法，初中教材裡也給了好幾種，如果學了高中數學的向量會發現，用向量證明勾股定理是很簡單的，以下是我給的證明方法。

小小數學教師

先說下什麼是勾股定理吧，在一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理的證明方法有很多，我這裡說一個比較簡單，比較好理解，大家都看得懂的方法。如圖:

在一個大正方形裡面套了一個小正方形，四個角上的小三角形正好是一個直角三角形，兩直角邊分別是a和b，斜邊邊長是c。所以，大正方形的邊長是a+b，小正方形的邊長是c。則:

大正方形的面積S大=(a+b)2，小正方形的面積S小=C2，角上的三角形面S=1/2ab，根據面積關係，小正方形面積等於大正方形的面積減去四個小三角形面積。還是看圖吧

由此得證。

關鍵字: 證明 勾股定理 數學