无闻漠漠
在量子力学中，物理问题的求解可归结为求解薛定谔方程：Hψ=Eψ
可惜的是，在数学上可以严格求解的问题是很少的，但这些问题的解在物理上又是存在的。为了找到这些解，物理学家发展出了一系列的近似方法。
最常见的近似方法是微扰论，即假设物理问题由两部分组成：
其中H0是数学上可以严格求解的，H'很小，我们认为H'对H0的影响很小，在最低阶的意义下H的解可以用H0的解来替代，然后在此基础上我们计算H'对系统能量E的修正，这就是所谓微扰论。
微扰论的精神很简单，就是小的相互作用会导致小的非本质的修正。具体在这里就是不改变本征值问题Hψ=Eψ的解的结构。
比如对H0而言，我们可以计算出n个能级，那么考虑H'以后计算出来的也是n个能级，而且这n个能级是一一对应的，每一个在能量上都只有“小”的修正，H对应的本征函数可以表示为H0本征函数的线性叠加。
微扰论的应用是有限制的，如果H'导致能级的本质性改变，那么微扰论就不可能适用了。此时我们可以用变分法、平均场近似等方法处理。其中变分法是一种比较强大的方法。
变分法的基础是由如下数学定理保证的：
对于归一化的波函数《ψ|ψ》=1，变分问题δ《ψ|H|ψ》=0等价于薛定谔方程：Hψ=Eψ。
这里ψ表示的是所有可能的归一化的波函数，换句话说就是一切可能的量子态，变分条件δ《ψ|H|ψ》=0意味着当波函数有微小的改变的时候，《ψ|H|ψ》的取值是极值，而《ψ|H|ψ》就是系统处于ψ时候的能量，换句话说此时系统的能量E达到极值。
在物理中我们最关心的是系统的基态，即能量E最低的态，我们一般用变分法求的是物理系统H的基态|0》，及此时对应的能量E0。
从道理上来说这个工作很简单，只要我们穷尽世间所有的波函数ψ，再分别把它们对应的能量E都计算出来，然后从中挑出最小的那个E就可以了。
当然这个穷举的方法因为计算量过大是不可能的，我们退而求其次就需要根据物理问题本身的特征猜出一个解来，这个解是基于我们对物理系统本身的特点猜出来的，而不是数学意义下推出来的。
我们一般是猜一个含参数的解，即选定一类波函数ψ(α)，然后我们计算：
由这个条件我们可以得到使极值条件成立时候的α0，波函数ψ(α0)就是我们要求的具有最小能量取值的波函数，当然这是一个近似，因为我们并没有穷举所有可能的波函数，而只是针对我们猜测的某一类波函数ψ(α)才成立。
尽管如此，只要你的试探波函数ψ(α)取得足够好，那么变分法求出的基态和真实的基态就是非常接近的。
如果我们看文献的话，我们经常会看到作者比较不同变分法求出的基态能，并讨论说由于某种变分法求出的基态能更低因此它对应的基态波函数是更好更可信的基态。
如何猜试探波函数ψ(α)是个很物理的工作，比如要考虑系统的对称性等，但这里并没有固定的套路可循，否则就不叫猜了。
物理思维
基本思路就是取变分试探波函数，求能量平均值，再由极值为零，可得能量和波函数的形式。中间过程涉及到求微分之类的，相信你也会做的，
天眷的宠儿
首先我觉得变分原理是用来求基态能量和基态波函数的。第一步自己设计一个波函数(抛物线，正弦，高斯，选择不同的波函数会影响结果)，参数待定，然后带入方程。求出能量，再对能量求导等于零(得到一个方程)，解方程算出参数。再把求出的参数带入设计好的函数里就求出了基态波函数，带入能量式 子就求出了基态能量。
