林色芬
首先要明白什么是欧氏几何，也就是欧几里得几何。
欧几里得空间就是平直空间，空头晕眼间曲率为0，就是我们比较直观能够理解的空间。
提起几何，离不开第五公设。
欧几里德在《几何原本》中有五个公设：
1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
大家可以发现，第五条公设比较长，也比较复杂，没有前四条简明。第五公设，其实就是我们在中学时熟知的“过直线外一点，有且仅有一条直线与该直线平行。”
有人就想能不能通过前四条公设把第五公设推导出来，历史上好多人都就行了这个工作，可是没能成功。于是数学家就另辟蹊径，用反证法。
尼古拉.罗巴切夫斯基（1793-1856）假设过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行，结果发现了一系列匪夷所思，但逻辑上自恰的结论。罗氏几何后来被称为双曲几何。格奥尔格.黎曼假设过直线外一点不存在已知直线的平行线，这种几何被称为椭圆几何。
多元视角
非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。
非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。
